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Conditions aux limites transparentes et modélisation des vagues de surface dans un écoulement

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par Denis Maxime BISSENGUE
Ecole d'ingénieur du CNAM - Ingénieur en informatique option modélisation ingénierie mathématique 2011
  

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4.3 DiscréTisATioN eN TeMps

Dans cette partie, nous allons décrire et analyser la methode d'intégration numérique de l'équation différentielle matricielle du second ordre (3.9) avec les conditions initiales. Nous nous contenterons d'une méthode parmi les plus usitées.

L'intervalle de temps [0, T] sur lequel on souhaite évaluer la solution de (3.9) , est partagé en sous intervalles supposés égaux pour simplifier et de longueur At .

En posant Xn l'approximation obtenue par le calcul du vecteur X(nAt) à l'instant nAt on a :

Xn+1 + Xn

X(nAt) =

2

On utilise ensuite différentes estimations des dérivées Xÿ et X· à l'instant nAt :

Xn+1 - Xn

ÿX(nAt) =

At

·X(nAt) = Xn+1 - 2Xn + Xn-1

At2

L'équation différentielle du second ordre est résolue par un schéma au différences.

)0+1 - 2Xn + Xn-1 )0+1 - )0 Xn+1 + X M ) + C( ) + K( ) = F .

(

At2 At 2

L'avantage de telles méthodes est qu'elles sont moins coûteuse puisqu'elles ne nécessitent l'évaluation des inconnues fluide et vague qu'une seule fois par itération en temps.

(At)2 +1 (At)2

[M + AtC + 2 K]Xn [2M + AtC - 2 K]Xn + [M]Xn-1 = (At)2F

(4.1)

4.4 ETuDe De LA sTAbiLiTé Du scHéMA D'iNTégrATioN eN TeMps

ment, on a :

?

???????????? ?

?????????????

trouver XN ? Vh tel que ?Y ? Vh, M( Xn+1 - 2Xn + Xn-1,Y) +C( Xn+1-Xn

(4.2)

Ät , Y)

Ät2

+K( Xn+12 +Xn , Y) = F(Y).

Posons

Y = Xn+1 - Xn,

Une démarche similaire que celle de la section 2.4.1, tout en remarquant que l'opérateur C(.,.) contient des termes symétriques et des antisymétriques conduit A :

M( Xn+1 - Xn Ät , Xn+1 - Xn

Ät ) + 1 Ät(C(Xn+1 - Xn, Xn+1 - Xn)) + 1 2(KXn+1, Xn+1)

= M( Xn - Xn-1

Ät , Xn+1 - Xn

Ät ) + 1 2(KXn, Xn).

(4.3) Les termes antisymétriquess de l'opérateurr C(.,.) s'annulent,, et les termes symétriquess sont tels que

1 (Cs(Xn+11 --- Xn,, Xn+11 --- Xn)) => ,

Ätt

L'inégalitée de Cauchy-Schwarz suivante :

(MX, Y) =<221122(MX,,X))++11(MY,, Y),

appliquéee au premier terme du second membre de l'égalitée (4.3), donne :M( Xn - Xn-1

Ät , Xn+1 - Xn

Ät ) = 1 2 M( Xn - Xn-1

Ät , Xn - Xn-1 'Ätt )1 1Xn+1 i- _XnnXn+1 i- _Xnn+ +2M((Ät t,tt ),'

on obtient ensuite :2 M( Xn+1 - Xn

+ 2K(Xn+1 ,Xn+1)

1 Ät , Xn+1 - Xn

Ät ) + 1 Ät(C(Xn+1 - Xn, Xn+1 - Xn)) + 1

11Xnn-_Xn-11Xn n- _Xn-11=<2M(( Ät t, tt ).
·

(4.4) Et comme l'opérateurr symétriquee Cs(.,, .) est positif, alors l'inégalitée (4.4) donne l'inégalitée :2 M( Xn+1 - Xn

1 Ät , Xn+1 - Xn

Ät ) + 1 2K(Xn+1, Xn+1) =1 2 M( Xn - Xn-1

Ät , Xn - Xn-1 'Ätt )

+ 12 K(Xn,, Xn).

Considérons l'énergie mécanique est définie par l'expression :

1 Ät , Xn -- Xn--1

En = 2 M( Xn -- Xn--1 Ät ) + 1 2K(Xn, Xn),

nous aboutissons à la même conclusion que dans le cas dimension c'est-àdire :

En+1 En.

L'energie mécanique totale est décroissante au sens large au cours du temps, ce qui assure la stabilité de ce schéma numérique.

N

ous décrivons maintenant les différentes étapes et l'algorithme de résolution de notre problème.

- Une première étape consiste à determiner les frontières optimales sur les quelles seront appliqueés les conditions transparentes. Pour cela, nous allons d'abord chercher la solution stationnaire q'0 du système (2.7).

Nous pouvons ensuite obtenir à partir des gradients de cette solution stationnaire la vitesse de l'écoulement. Les lignes de courants peuvent être defini par la suite en observant au même instant l'ensemble des points de l'écoulement pendant une durée assez courte en description lagrangien.

Les frontières optimales seront obtenues alors par découpage du domaine suivant les courbes équipotentielles orthogonales aux lignes de courant.

Rappelons que, les deux conditions aux limites (2.34), ne sont valables que pour une frontière perpendiculaire à la direction de l'écoulement, c'est-à-dire pour des écoulements dont les champs de vecteurs vitesses sont colinéaires à la normale sortante de la frontière considerée. Ainsi, pour un écoulement quelconque avec une frontière curviligne quelconque, l'apparition des composantes tangentielles de la vitesse de l'écoulement sur la frontière considérée entraîne des difficultés supplémentaires que nous n'abordons pas dans ce travail.

- Dans un second temps, nous appliquons la condition aux limites au cas d'un écoulement transitoire.

- Et enfin, une extension au équations des vagues progressives sera étudiée. Les calculs sont effectués dans un cadre bidimensionnel et les scripts de simulation sont développés en langage Python.

5.0.1 Solution stationnaire

Nous nous plaçons dans le cas d'écoulement potentiel et incompressible. Nous avons donc à resoudre le système suivant définit au (2.7) :

? ?????????

?????????{

?0o = 0 dans Ù,,???0o= =0 0sur r0 o? Ub b? us,,??0" = (e1,, U) sur 1i ?u 2,,

?ív

ou ?0 est définie à constante près, que nous fixons en prenant la condition de moyenne nulle sur s :

Z

?0 = 0. s .L'espace des fonctions test consideré pour la formulation variationnelle de

ce problème sera :

H1(Ù)) = {v/v ?E L2(Ù)// ?kvv ?E L2(Ù)}}

et la formulation variationnelle est :

Z Z Z ??0

?ø ? H1(Ù); - Ù Ä?0ø = Ù r?0rø - ?í ø,

?Ù

??0

en tenant compte des valeurs de sur les frontières de l'ouvert Ù, on

a :

Z Z

?ø ? H1(Ù); Ù r?0rø = u ø,

1?2 '

Le problème à resoudre devient :

?

???

???{

Trouver ?0o ?E H1(Ù)) telle que :

Z Z

Ù r?0rø = u ø , ?ø ? H1(Ù).

1?2 2

Ce problèmee admet bien une solution unique. Pour s'enn assurer, nous vérifionss les hypothèsess du théorèmee de Lax-Milgram.

Commençonss par montrer :Z

la continuité de la forme bilinéaire : a(?0, ø) = Ù r?0rø lZ

|a(?0, ø)| = | Ù r?0rø| = kr?0kL2(Ù) × krøkL2(Ù) = |?0H1(Ù)||øH1(Ù)| l
= 1?01L2(Ù)1ø1L2(Ù).
·

Ainsi :

La forme bilinéaire a(.,.) est donc continue sur H × H et elle est H-coercive.

Montrons maintenant la continuité de la fonctionnelle

Z

l(ø) = u ø :

1?2

|l(ø)|= ~ ~u(f 2 ø - f 1 ø) ~~~ = u(k Z øIIL2(Ù) + 11 øIIL2(Ù))

1 2

= u(køkL2(1) + IøIIL2(2)) Cauchy-Schwarz

= u(c1 + c2)IIøIIH1(Ù) par l'inégalité de Trace

d'où :

|l(ø)| = u(c1 + c2)IIøIIH1(Ù), avec c1 , c2 et u des constantes

Ainsi l'existence et l'unicité de solution au problème (2.7) sont démontrées.

Les figures (5.1) et (5.2) montrent les solutions obtenues avec deux maillages contenant respectivement une structure symétrique et non symétrique. Pour ce calcul nous avons considérer une vitesse d'écoulement de U = 0.01m.s-1.

FIGURE 5.1 - Résultat avec stucture symétrique : une ellipse.

La différence est significative au niveau de la répartition des champs de vitesse autour des structures.

FIGURE 5.2 - Résultat avec stucture non symétrique :un sous-marin.

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