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Conditions aux limites transparentes et modélisation des vagues de surface dans un écoulement

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par Denis Maxime BISSENGUE
Ecole d'ingénieur du CNAM - Ingénieur en informatique option modélisation ingénierie mathématique 2011
  

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6.0.6 Conclusion

Cette étude a montré la faisabiité de la mise en oeuvre de la condition aux limites transparentes sur un cas transitoire. Les solutions obtenues

sont satisfaisantes.

Le choix de l'utilisation de la condition de Neumann au fond du bassin plutôt qu'une condition transparente à permis de visualiser d'une par les ondes piègées et d'autre part de vérifier l'algorithme développé.

6.0.7 Modèle avec couplage avec les vagues

L'objectif suivant est de coupler ce modèle avec le modèle de vague à la surface.

Cependant, ce objectif ne peut pas être atteint sans difficulté. Premièrement, les frontières de la surface libre Fs sont réduit en des points géometrique conduisant à une singularité. Ainsi il est difficile de définir analytiquement une conditions aux limites adaptée en ce deux points.

Et par soucis de simplification, nous appliquons pour les differentes expériences numériques, une condition aux limite de type:

= 0 au point géometrique situé à gauche de la frontière

-

s

?Fs de Fs ,

- et au point géometrique situé à droite de cette frontière, nous im-

?ç ?ç

posons : + cr = 0 .

?t ís

cr est la vitesse de ride et determinée par la relation:

r ó

cr =2,

avec

- ó = 7.5 × 10-3 : la constante de capillarité,

- ñ = 103 : masse volumique de l'eau.

De cette relation, nous obtenons une valeur numérique de l'épaisser de la surface capillaire, en supposant que la vitesse de ride est égale à la vitesse de l'écoulement du fluide u.

Ce qui nous donne une expression de la constante e sous la forme:

e =

ó

2u2ñ

De ce fait, la matrice T intervenant dans la matrice d'amortissement notée C est une matrice carrée dont la dimension est égale au carré du nombre de noeud sur la frontière Fs et contenant un seul élement définie comme suit:

0 ... 0 0

T= ... ... ...

0 ... 0 0
0 ... 0 u

Deuxièment, la présence des différentes ondes (ondes de gravité , on-des acoustique et ondes de capillarité) entrainent une grande disparité des vitesses d'ondes et de celle du bateau conduit à des difficultés numériques, que nous surmontons en utilisant un schéma d'intégration en temps adapté (4.1).

6.0.8 Résultats numériques

L'algorithme des simulations numériques que nous présentons ciaprès sont très similaires aux précedentes, la différence majeur étant le couplage avec les équations de vagues et l'application d'une condition aux limites transparentes au fond du bassin (I'0) pour éviter les ondes piègées entre le fond de la structure et le fond du bassin.

Dans un premier temps, nous utilisons le même maillage que dans le cas précedent avec la même structure (une ellipse) et les mêmes données numériques. La condition initiale étant la même, mais cette fois-ci définie sur la structure.

Ensuite, nous présentons les résultats numériques pour un domaine con-tenant un sous-marin.

FIGURE 6.19 - Step 1-2 : couplage avec les vagues

FIGURE 6.20 - Step 3-4 : couplage avec les vagues

Pour le domaine contenant une ellipse, nous avons les figures suivantes

FIGURE 6.21 - Step 5-6 : couplage avec les vagues FIGURE 6.22 - Step 7-8 : couplage avec les vagues FIGURE 6.23 - Step 9-10 : couplage avec les vagues FIGURE 6.24 - Step 7-8 : couplage avec les vagues

73

FIGURE 6.25 - Step 13-14 : couplage avec les vagues FIGURE 6.26 - Step 15-16 : couplage avec les vagues FIGURE 6.27 - Step 17-18 : couplage avec les vagues FIGURE 6.28 - Step 9-10 : couplage avec les vagues

FIGURE 6.29 - Step 21-22 : couplage avec les vagues FIGURE 6.30 - Step 11-12 : couplage avec les vagues FIGURE 6.31 - Step 13-14 : couplage avec les vagues FIGURE 6.32 - Step 15-16 : couplage avec les vagues

FIGURE 6.33 - Step 29-30 : couplage avec les vagues FIGURE 6.34 - Step 31-32 : couplage avec les vagues FIGURE 6.35 - Step 17-18 : couplage avec les vagues FIGURE 6.36 - Step 19-20 : couplage avec les vagues

FIGURE 6.37 - Step 37-38 : couplage avec les vagues FIGURE 6.38 - Step 21-22 : couplage avec les vagues FIGURE 6.39 - Step 23-24 : couplage avec les vagues FIGURE 6.40 - Step 43-44 : couplage avec les vagues

FIGURE 6.41 - Step 25-26 : couplage avec les vagues FIGURE 6.42 - Step 27-28 : couplage avec les vagues FIGURE 6.43 - Step 29-30 : couplage avec les vagues FIGURE 6.44 - Step 29-30 : couplage avec les vagues

dynamique produit par la source et la forme de la structure.

Nous avons aussi l'existence d'ondes à la surface de l'eau (les vagues) due, d'une part à la pesanteur qui tend à maintenir l'interface air-eau horizontale (ondes de gravité), et d'autre part à la tension de surface qui tend à maintenir l'interface plane (onde capillaires).

D'autre part, l'amplitude des réflexions parasites des ondes sur les frontières latérales sont minimiser par l'effet transparent de la condition aux limites transparentes appliquées sur ces frontières.

Valeurs propres

Considérons toujours le domaine contenant une ellipse avec les frontières adaptées (cas précédent). L'étude de la stabilité du système consiste à étudier les valeurs propres de l'opérateur de raideur K(.,.) obtenu après couplage :

ZK(X, Y) = Ù[c2 f V?(x)
· Vø(x) - (V?0(x)
· V?(x))(V?0(x)
· Vø(x))]dx

Z

+ c2 [Vs?0(s)
· Vs?(s)v(s) - Vs?0(s)
· Vsç(s)ø(s)]ds

f s

Z Z

+ gc2 ç(s)v(s)ds + óa Vsç(s)
· Vsv(s)ds,

f s s

dont la matrice est :

?

K = ?

Kf -Bc1 Bc2 Ks

?

? .

Pour cette étude, nous-nous intéressons à la première valeur de la vitesse de l'écoulement u, pour laquelle la plus petite valeur propre notée ëmin est négative (ëmin = 0). Nous avons appelée cette vitesse, vitesse critique et notée uc.

Des simulations numériques montrent l'instabilité du modèle lorsque la vitesse u est supérieure à la vitesse critique.

C'est la vitesse à partir de laquelle le modèle peut devenir instable.

La figure suivante donne l'allure de la courbe représentant les valeurs de la plus petite valeur propre obtenue en fonction des vitesses d'écoulement.

Les calculs sont faits pour des données suivantes :

fluide

- masse volumique du fluide ñ = 1000 kg.m-3 - intensité pésanteur g = 9.8 m.s-2

- coefficient de tension superficiel ó = 0.075 N.m-1 Le domaine plus la structure (ellispe) est maillé en :

- 85075 élèments triangles

- contient 42020 noeuds intérieurs

- et 1027 noeuds sur les frontières.

On observe que uc 0.18m.s-1 ce qui signifie qu'au dessus de cette valeur le modèle peut être instable.

FIGURE 6.45 - Courbe des valeurs propres en fonction des vitesses

FIGURE 6.46 - Step 1-2 : couplage avec les vagues

FIGURE 6.47 - Step 3-4 : couplage avec les vagues

Pour le domaine contenant un sous-marin.

Les simulations numériques que nous présentons dans cette section sont très similaires aux précedentes, la différence majeure étant que la structure immergée est remplacée par un sous-marin.

Ainsi, nous avons les figures suivantes :

FIGURE 6.48 - Step 5-6 : couplage avec les vagues

Nous observons sur les premières figures l'apparition des ondes de surface

81

FIGURE 6.49 - Step 7-8 : couplage avec les vagues

FIGURE 6.50 - Step 7-8 : couplage avec les vagues

FIGURE 6.51 - Step 11-12 : couplage avec les vagues

FIGURE 6.52 - Step 9-10 : couplage avec les vagues

FIGURE 6.53 - Step 15-16 : couplage avec les vagues FIGURE 6.54 - Step 17-18 : couplage avec les vagues FIGURE 6.55 - Step 11-12 : couplage avec les vagues FIGURE 6.56 - Step 21-22 : couplage avec les vagues

FIGURE 6.57 - Step 13-14 : couplage avec les vagues FIGURE 6.58 - Step 25-26 : couplage avec les vagues FIGURE 6.59 - Step 15-16 : couplage avec les vagues FIGURE 6.60 - Step 29-30 : couplage avec les vagues

FIGURE 6.61 - Step 31-32 : couplage avec les vagues FIGURE 6.62 - Step 17-18 : couplage avec les vagues FIGURE 6.63 - Step 19-20 : couplage avec les vagues FIGURE 6.64 - Step 37-38 : couplage avec les vagues

85

FIGURE 6.65 - Step 21-22 : couplage avec les vagues FIGURE 6.66 - Step 41-42 : couplage avec les vagues FIGURE 6.67 - Step 23-24 : couplage avec les vagues FIGURE 6.68 - Step 45-46 : couplage avec les vagues

86 Chapitre 6. Résultats numériques

FIGURE 6.69 - Step 25-26 : couplage avec les vagues
FIGURE 6.70 - Step 49-50 : couplage avec les vagues

Conclusion

Ici encore les résultats sont concluantes et sont presques analogues à ceux obtenus dans la simulation précedente.

En effet, on observe les sillages hydrodynamiques autour du sous-marin
et les vagues à la surface, ce qui semble correct du point de vue physique.

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"Piètre disciple, qui ne surpasse pas son maitre !"   Léonard de Vinci