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ANNEXE
8.1 RAppEL DEs OutiLs mAthémAtiquEs Les espaces
fonctionnels
Commençons par rappeler les définitions classiques
des espaces fonctionnels les plus courants.
Nous noterons Ù un ouvert borné de
IRn (n = 1,2, ou 3). Sa frontière
est désignée par ?Ù et supposée au moins
de classe C1 par morceaux et globalement lipschitzienne.
- Espace de Banach
L1(Ù)
Il s'agit de l'espace des fonctions à valeurs
réelles, mesurables au sens de Lebesgue sur l'ouvert Ù et dont
l'intégrale du module sur Ù est finie.
L1(Ù) = {v : Ù ?
Rn mesurable / I| v|
(x)dx < 8}
ca
Cet espace est muni de la norme :
v ? L1 (Ù)
ilvil0,1,Ù = f
?
ca |v|(x)dx
- Espace L2(Ù)
Il s'agit de l'espace des fonctions à valeurs
réelles, mesurables au sens de Lebesgue sur l'ouvert Ù et dont
l'intégrale du carré du module est finie sur Ù.
L2(Ù) = {v : Ù ?
Rn mesurable /
I|v(x)|2dx < 8}
ca
Cet espace est un espace de Hilbert muni du produit scalaire
:
u, v ? L2(Ù) ?
(u, v)0,Ù = I
cu(x)v(x)dx
et dont la norme associée est :
v ? L2(Ù) ?
11v110,Ù = (I.
|v(x)|2dx)12.
- Espace Hk(Ù)
On désigne par Hk(Ù) l'espace
de Sobolev d'ordre k définit par :
Hk(Ù) = {v ?
L2(Ù)/Dáv ?
L2(Ù), |á| < k}
où Dáv est la
dérivée de v au sens de distributions . De plus on notera
Hk0(Ù) = {v ?
Hk(Ù)/v = 0 sur ?Ù}
- Espace H1(Ù) Il
est défini par :
H1(Ù) = {v/v
? L2(Ù)/ ?kv ?
L2(Ù)}
où ?k est la dérivée partielle par
rapport à xk et est muni de la norme :
v ? H1(Ù), ?
kvk1,Ù = {lv120,Ù + ?
k?kvk2 0,Ù}1 2
k=1,n
C'est un espace de Hilbert dont le produit scalaire est :
u, v ? H1(Ù) =
f u(x)v(x)dx + ? f
?ku(x)?kv(x)dx
k=1,n
On a, aussi l'espace : - Espace
H2(Ù)
Il est défini par :
H2(Ù) = {v/v ?
H1(Ù) / ?ikv ?
L2(Ù) i, k ? {1,2,3}}
Théorème de trace
Dans la mesure où nous cherchons à
étudier des problèmes aux limites, nous aurons besoin de
connaître le comportement des fonctions de
H1(Ù) au voisinage du bord de Ù.
Il n'est pas évident que cette question ait un sens les
fonctions de L1(Ù) sont définies presque
partout.
Or le bord est une « variété »de
dimension n - 1 si Ù ? IRn.
Disons simplement que dans le cas qui nous intéresse, il
s'agit de la généralisation d'une surface dans 1R3.
En particulier, est de mesure nulle, et il n'est pas possible
de définir la restriction d'une fonction quelconque de
L2(Ù) à .
Toutefois, la régularité supplémentaire
des fonctions de H1(Ù) permet de définir
cette restriction. Plus précisément, nous avons le
résultat suivant. Théorème de trace
Soit Ù un ouvert borné régulier, de
frontière . On définit l'application trace ã0
:
H1(Ù) n C(Ù) ?
L2() n C()
v ? ã0(v) = v
(8.1)
Cette application se prolonge par continuité en une
application linéaire continue de H1(Ù)
dans L2(), encore notée ã0.
En particulier, il existe une constante c > 0 telle
que, pour toute fonction v ? H1(Ù), on a
Iv/IL2() =
cIvIH1(Ù) (8.2)
Il est naturel de vouloir identifier le noyau de l'application
trace ã0, noté usuellement
H10(Ù).
En effet, H10(Ù) est le sous-espace
des fonctions de H1(Ù) «qui s'annulent sur le
bord ».
H10(Ù) = {v/v
? H1(Ù)/ v=0 sur }
C'est un espace de Hilbert, muni de la semi-norme
définie sur H10(Ù)
par :
Z
2
|v|H1 0(Ù) = ( Ù
|rv(x)|2dx)1
qui est une norme sur H10(Ù)
,équivalente à la norme de H1(Ù)
Théorème de Green
Le flux d'un champs de vecteurs, sortant d'une surface
fermée S, est égal à l'intégrale de la
divergence de ce champ étendue au volume Ù limité par
S :
ZS
Vnds = I Ù
div(V)dv (Stokes)
LEMME DE GREEN
Soient u,v deux fonctions telles que u ?
H2(Ù) et v ? H1(Ù).
On a alors
ZÙ
Z Z
Äuv = (8.3)
?Ù v?u
?í - Ù ru.rv,
où ?í désigne la
dérivée normale le long de la frontière ?Ù
de l'ouvert ?
Ù.
Théorème de Reynolds
La formule de Leibniz permet de différencier par rapport
au temps des intégrales, dont les bornes sont fonctions du temps.
En dimension un, cette formule s'écrit :
Z b(t) Z b(t)
d ? f (x, t)
a(t) f (x, t)dx
= ?t dx + f
(b(t))db
dt - f
(a(t))da
dt a(t) dt
Elle se généralise à des intégrales
multiples (c'est-à-dire des intégrales sur des volumes au lieu
d'intégrales sur des intervalles).
On obtient la relation suivante appelée «
théorème de transport».
Z Z Z
d ? f
V f dV = ?t dV + S f
u.ídS, (8.4)
dt V
- où V est un volume de contrôle contenant
une certaine masse de fluide,
- S est la surface enveloppant ce volume,
- et v est la normale à la surface
S,
- la normale v est unitaire (|v| = 1) et
orientée vers l'extérieur. Cette relation peut
s'interpréter de la façon suivante :
La variation temporelle d'une quantité f
définie sur un volume de contrôle V est égale
à la somme de :
1. la variation de f au cours du temps au sein du
volume de contrôle (variation dite locale);
2. le flux de f à travers la surface S
enveloppant le volume de contrôle ( flux = ce qui entre - ce qui sort de
V).
Autre formulation du théorème de transport en
utilisant le théorème de Green-Ostrogradski :
d fdV = I (a +
(2.4.2)
d t iv v at (8.5)
Théorème de Lax-Milgram
Soit V un espace de Hilbert réel dont la norme
est notée k.kV et a(.,.) une forme bilinéaire sur
V vérifiant :
i- Continuité : ?M > 0, ?u,
v ? V, |a(u, v)| =
MIulVIvIV,
ii- V-coercivité : ?a > 0, ?v ?
V, a(v, v) =
aIvI2V
Alors pour tout forme linéaire continue sur l'espace V
(c'est-a-dire dans l'espace dual V' de V ),
notée l , il existe une solution unique u dans V du
modèle variationnel suivant :
?v ? V, a(u, v)
= l(v).
En outre nous avons l'inégalité suivante :
.
klkV0
kukV = a
oil la norme sur VI est définie par
:
IlvIlV.
11l11v = supv?V
l(v)
Théorème spectral
Soient :
- a(., .) une forme bilinéaire symétrique
positive et équivalente au carré de la norme sur un espace de
Hilbert V,
- m(., .) une forme bilinéaire symétrique
positive et équivalente au carré de la norme sur un espace de
Hilbert H.
On considère le problème de valeurs propres :
(u, A) ? V × IR, ?v
? V, a(u, v) = Am(u,
v), m(u, u) = 1.
8.2 EQuATioNs DE LA mécANiQuE DEs fLuiDEs
Les lois de la mécanique s'écrivent selon le
type de description choisie, mais elles expriment les mêmes principes.
Ces principes sont au nombre de trois :
- la masse se conserve;
- la variation de quantité de mouvement (masse×
vitesse) est égale à la somme des forces appliquées ;
- l'énergie totale se conserve : c'est le premier
principe de la thermodynamique.
Nous ferons un rappel de ces principes pour des systèmes
fluides. Il existe une multitude de formulations possible du mème
principe :
- formulation sur un volume de contrôle (formulation dite
globale ou intégrale) ou bien pour un volume infinitésimal
(équation dite local);
- formulation sur des volumes de contrôle ouverts ou
fermés. Cette multitude s'avère fort pratique car cela permet une
meilleure compréhension physique et une résolution plus simple
des problèmes.
Conservation de la masse
On applique le théorème de transport (8.4)
à la fonction scalaire : f =
ñ.
On déduit :
d t ap(x, t)
jvñdV = iv ?t dV +
I ñu.ídS,
d
avec V un volume matériel et la la surface
enveloppant ce volume. En
utilisant le théorème de la divergence
(Théorème de Green), on tire :
Z d
dtV v t ñdV = Ia
(?ñ(x,
t)
+ div(ñu))dV,
De plus, si ñ est continue, alors on a
l'équation de conservation local de la masse (ou équation de
continuité) :
?ñ(x, t)
+ div(ñu) = 0. (8.6)
?t
Conservation de la quantité de
mouvement
On applique a nouveau le théorème de transport
(8.4) à la fonction vectorielle représentant la quantité
de mouvement local : f = ñu.
d t v
jvñudV = I
?ñatudV + I
ñu(u.í)dS.
d
En utilisant le théorème de la divergence, on
obtient :
d t
jv I pudV =
(?ñatu +
div(ñu.u))dV,
d
et en utilisant l'equation de continuite on obtient :
dt
ipudV = I p(?u +
div(uu))dV. v v ?t
Le principe
fondamental de la dynamique montre que toute variaton de
quantite de mouvement resulte de l'application de forces. Donc,
on peut ecrire une relation generale de la forme :
d
dt jV ñudV = mg
|{z}
poids
is ódS
force de surface
= I ñgdS + I E.ndS.
- ó = E.n designe la contrainte,
- et E le tenseur des contraintes qui se decompose en tenseur
des pressions -pId et tenseur des extra-contraintes T :
E = -pId + T, avec Id tenseur
identite.
Le tenseur T depend de la nature du fluide etudie ou du niveau
d'approximation :
- T= 0 correspond au cas des fluides parfaits (ou non
visqueux),
- T= 2uD correspond au cas des fluides newtoniens,
- T= g-(D) correspond au cas des
fluides non newtoniens, avec g- la loi du comportement du fluide.
Et une application de Theorème de Green-Ostrogradski,
permet d'aboutir à la formulation locale des equations de la quantite de
mouvement :
?ñu
?t
+ div(ñu.u) =
ñg - Vp + div(T), (8.7)
ou bien :
?u
ñ ?t + ñuvu =
ñg - Vp + div(T).
Conservation de l'énergie
Pour l'energie, rappelons que le premier principe de la
thermodynamique enonce que l'energie totale E varie au cours du temps,
à cause du travail des forces exterieures et du flux de chaleur :
äE
ät =
äQ ät .
äW + ät
avec :
- SE = (k + pe) : la variation
d'énergie totale, c'est-à-dire l'intégrale sur le volume
de contrôle de l'énergie cinétique k et de
l'énergie interne pe ( e étant l'énergie
interne massique );
- Sw : le travail des forces extérieures au sein
du volume de contrôle,
- SQ = jQ = -KV'T : la
quantité de chaleur à travers la surface de contrôle
S , et K la conductibilité thermique T la
température,
- St : incrément de temps En faisant tendre
St vers 0 , on obtient :
. (8.9)
dt fv(k +
pe)dV = I pg.udV + f
o-.udS - f jQ.vdS
s | {z 0.
· | {z }
Qÿ
Wÿ
La puissance des forces extérieures comprend des termes
positifs (puissances fournie au volume de contrôle) et négatifs
(puissance dissipée au sein du volume ou aux frontières) :
Z
+
S
pg.udV
ZWÿ =
| {z }
V
puissances fournies au volume V
o-.udS
| {z }
puissances dissipées aux frontières et dans V
Par définition de la contrainte via le tenseur des
contraintes E , on a o- = E.v = (-pId
+ T).v = -pn + T.v,
ce qui permet d'écrire
ZV pg.udV + I u.(-pn +
T.v)dS,
pg.udV + I (-pu +
T.u).vdS,.
Wÿ =
Et la formulation du premier principe de la thermodynamique est
donc le suivant :
dt iv(k +
pe)dV = I pg.udV + I (-pu +
T.u - jQ).vdS,
L'application du théorème de Stokes fournit
immédiatement
dt iV(k +
pe)dV = I pg.udV + I div(-pu
+ T.u - jQ)dV,
Et on , obtient finalement l'équation locale de
conservation de l'énergie totale :
|
d(k + pe)
dt
|
= pg.u + div(-pu +
T.u - jQ). (8.10)
|
| 
