PRopRiéTés DEs MoDèLEs
D
Epuis l'avènement des ordinateurs, la simulation
numérique a parfois remplacé l'expérimentation directe
trop coûteuse et longue à mettre en oeuvre.
Sur le plan mathématique, la simulation
numérique nécessite essentiellement la résolution
numérique d'équations aux dérivées partielles qui
conduisent à l'obtention de solutions approchées.
Il existe de nombreuses méthodes d'approximation qui
présentent toutes des avantages et des inconvénients; citons
à titre illustratif, la méthode des différences finis, la
méthode des volumes finis, les méthodes spectrales, la
méthode des élèments finis...
Dans ce rapport, nous nous intéressons à la
méthode des éléments finis qui est très
utilisée dans l'industrie. Cette méthode est intéressante,
compte tenu de sa souplesse d'utilisation, en particulier vis-a-vis de
l'approximation des divers opérateurs modélisant des
phènomènes en physiquemathématique et également
pour la prise en compte de conditions aux limites portant sur les gradients de
la fonction à calculer.
La méthode des éléments finis est une
méthode d'approximation des solutions d'équations aux
dérivées partielles qui est construite à partir d'une
formulation équivalente du problème à résoudre;
cette dernière est appelée formulation variationnelle du
problème et nécessite le minimun de régularité de
la solution.
Cette phase de transformation du problème est la plus
délicate et la plus difficile à traiter car, en toute rigeur,
elle nécessite l'utilisation de notions mathématiques très
fines et très abstraites.
Dans cette section, nous-nous efforcerons d'aplanir les
difficultés en établissant séparemment la formulation
variationnelle du modèle hydroacoustique et celle du modèle de
vague.
3.1 FoRMuLATioN vARiATioNNELLE
3.1.1 Formulation variationnelle du modèle
Hydroacoustique avec écoulement
Nous supposons que la géométrie de l'ouvert 1
est celle de la Figure 2.2 (modèle). Sur les frontières
latérales F1 ou F2, on utilisera les conditions aux limites
transparentes définies par (2.34).
Et sur Fs qui représente la surface
libre, nous avons le couplage entre le potentiel de vitesse du fluide et le
déplacement d'un point de la surface libre défini par
l'équation (2.17).
On considère comme espace des fonctions admissibles,
l'espace : H1(Ù) = {v | v ?
L2(Ù) | ?kv ?
L2(Ù) k = 1,2}
En multipliant l'équation ci-dessous par une fonction test
arbitraire ø de l'espace H1(Ù), nous
obtenons :
?
(?t ?
2Vrpo
· v(??
) + v?0
· v(v?0
·
v?)-c.1.Ä?).ø=
0 dans Ù×]0, T[,
?t
puis après intégration sur l'ouvert Ù :
Z Z Z Z
?2?
?t2 ø + 2 Ù
r?0
· r(?? ?t
)ø + Ù G?0
· V(V?0
· V?)ø- c2
ÙÄ?ø = 0,
f
Ù
qui s'écrit
|
Z Z Z
?2?
?t2 ø + Ù
r?0
· r(?? ?t
)ø + Ù r?0
·
r(?? ?t ).ø
Ù | {z }
*
|
Z
+ Ù
V?0
· V(V?0
·
v?).ø
| Sys.
**
|
= 0.
Z
- c2 Ù Ä?.ø a
Nos.
***
On utilise la formule d'intégration par partie de Green
aux intégrales suivantes :
Z Z Z
* Ù r?0
· r(??
?t ).ø = -
Ù(r?0
· rø)??
?t + ?Ù(r?0
· í)??
?t ø,
Z Z Z
* * Ù r?0
· r(r?0
·
r?)ø = - Ù(r?0
·
r?)(r?0
· rø) +
?Ù(r?0
· V?)(V?0
· í)ø,
Z Z Z
* * * Ù Ä?ø = - Ù r?
· rø + ?Ù(r?
·
í)ø,
et comme :
?
??? ?
????
?0
Gr?0
· í = ? ?í
,
??
'?
· í = ?í
.
En remplaçant dans l'équation
précédente , on obtient :
|
Z Z f
?2?
?t2 ø + Ù V?0
· V(?? ?t )ø -
Ù(V?0
·
Vø)??
Ù
?t
|
ZÙ
|
(V?0
· V?)(V?0
·
Vø)
|
Z
+ c2 Ù V?
· Vø
= L(ø),
a
Le second membre est une somme des intégrales sur la
frontière de notre domaine.
Il est defini de la façon suivante :
Z Z Z
?? ??0 ??
L(ø) = c2 f ?í
ø - ?t ø -
?Ù(r?0
·
r?)??0
?í ø.
?Ù ?Ù ?í
Or, nous savons que l'un des avantages de la formulation
variationnelle des équations de la physique, est de permettre la prise
en compte des conditions aux limites dans les termes frontières.
L'expression explicite de ce second membre est obtenue en
évaluant ces différentes intégrales sur la
frontière du domaine Ù découpée en 5 parties :
?Ù = 0 ? 1 ? 2 ? s ?
b,
ce qui nous amène à faire une évaluation de
L(ø) sur chaque sous frontière en
commençant par:
Le fond du bassin noté 0,
Nous supposons d'abord que le fond de notre bassin est
étanche, dans ce cas la condition de non
pénétrabilité du fluide s'écrit :
?? = 0.
?í
où í est la normale unitaire sortante
à l'ouvert Ù, et dirigée vers le bas. Nous
précisons par ailleurs que pour les applications numériques, nous
utiliserons une condition aux limites transparentes. Elle permettent
d'éviter les rebonds, les ondes piègées et de laisser
sortir les ondes.
Ensuite, sur la frontière latérale gauche
1,
nous appliquons la condition limite transparente pour
modéliser la sortie des ondes en présence dans le fluide.
Pour un écoulement permanent représenté
par le potentiel de vitesse : ?0(x) = ux1, nous
auront donc une condition aux limites dite condition transparente de type:
?? ?t + (??0
?í - cf)??
?í = 0, sur 1.
Et la frontière latérale droite
2,
pour la même raison que précedemment, la condition
aux limites sur 2 est :
?? ?t + (??0
?í + cf )??
?í = 0, sur 2.
Pour la surface libre du liquide notée
s,
la condition aux limites n'est nullement évidente car
les deux composantes (air et eau) sont en mouvement, mais pour assurer le
couplage entre le fluide et le déplacement transverse de la surface
libre, nous considérons l'équation :
??
?í =
?ç
?t +Vs?0
·
Vsç, sur s×]0,
T[.
Enfin sur la structure immergée
délimitée par la frontière notée
b,
nous avons d'après l'analyse faite sur le traitement
des différentes conditions limites dans la section précedent, une
condition de type Neumann homogène :
??
= 0,
?í
traduisant l'immobilité de notre structure dans le
repère qui lui est lié, et la non
pénétrabilité du fluide à travers sa surface.
Ainsi le terme L(ø), devient en tenant
compte d'abord des conditions sur 0 et b :
L(ø) = c2ffr,
avø I
??0 ap ?t .
??
(Vpo
· Vp)
1?2?s av r1?2?s ?í
fr1?2?s ?0í
c'est-à-dire
Z L(ø) =
cf?í vy+cf 2
?
r1urí riur2
?? 2 f ?? 4' I
??0 ??ø I ?
riur2(Vq)o
· Vp)? ?í
0
?í
· ?t
or sur s, nous avons :
?? ?ç
= + rs?0
·
rsç,
?í ?t
et dans la base local, nous avons par définition
|
V?0 =
|
?
??? ?
????
|
??0
|
et
|
? ??
|
|
?í
??0
|
??? ?
?í ,
V? =
???? ??
|
|
?s
|
?s .
|
L'apparition des dérivées tangentielles de
?0 sur les frontières latérales entraînent des
difficultés supplémentaires pour la prise en compte de condition
aux limites transparentes.
De ce fait, nous proposons dans la partie suivante une
construction des nouvelles frontières latérales F1 et F2 suivant
les équipotentielles telle que toutes les dérivées
tangentielles de la vitesse d'écoulement du fluide soient nulles.
Nouvelles frontières F1 et
F2
Intéressons nous aux profils des vitesses (lignes de
courants) autour de la structure.
Dans le domaine contenant la structure (le sous-marin) le
fluide est considéré comme incompressible et irrotationnel,
l'écoulement étant uniforme. La recherche du potentiel des
vitesses pour un tel écoulement autour de la structure doit satisfaire
uniquement deux conditions : loin de l'obstacle, on doit retrouver un
écoulement presque uniforme avec un potentiel de vitesse
?0 = Ux,
et sur l'obstacle, la vitesse normale à la paroi doit
être nulle. Ainsi la structure constituant une perturbation de
l'écoulement uniforme.
Nous obtenons à partir du potentiel de vitesse et de la
relation,
les composantes du vecteur vitesse
Ux = U et Uy =
0,
en chaque noeud du maillage éloigné de la
structure. Et au voisinage de la structure dans 1), nous avons cette fois
Ux =6 0 et Uy =6 0.
Les lignes de courant au voisinage de la structure sont alors
définies comme des lignes tangentes aux vecteurs vitesses en chaque
noeud du maillage. Ce sont des courbes qui ne se croisent jamais (sinon il y
aurait deux directions différentes d'écoulement pour une
même particule de fluide à un instant donné).
Elles sont définies par l'équation,
|
dx
=
Ux
|
dy
Uy
|
= Uxdy - Uydx = 0.
(3.1)
|
Au même titre que la fonction potentiel, nous
introduisant au voisinage la structure la fonction de courant que nous notons
ø à partir des composantes de la vitesse. Pour cela nous
posons :
?ø ??0
? ?
y x
?ø ??0
Uy = -=
?x ?y
Ux = =
En utilisant la relation (3.1) et les deux équations
précédentes on a,
?ø ?ø
dy + dx = 0 = ø = constante.
?y ?x
ce qui signifie qu'en chacun de ses points, la courbe est
orthogonale au vecteur vitesse (voir figure 3-1). Il en résulte par
ailleurs que les équipotentielles sont partout orthogonales aux lignes
de courant.
FIGURE 3.1 - les équipotentielles sont orthogonales
aux lignes de courant.
Ainsi, nous pouvons à partir des lignes de courant
construire deux équipotentielles représentant respectivement la
frontière latérale gauche et droite du domaine. Ces deux
frontières sont construites de façon à éviter les
ondes tangentielles, l'expression du gradient de ?0 dans le
repère local devient :
?
????
????
V?0 =
??0 =6 0 ?í
= 0.
??0
?s
L(ø) = c2 I
(?ç + Vspo
·
vs/)1p+ fr
ø[c2??- ??0.??-
(??0)2??]
rs ?t 1?2f ?í ?í
?t ?í ?í
r2
(?ç + v (p
· v
11.1 t??0 v??
_L ??0 ?? ??ith
= cf ?t s , 0 n1
s , fr1?2 ?í L ?t ?í
. ?í - (ate) ?í
`r .
2 is
L'écoulement permanent est caracterisé par le
potentiel de vitesse
??0
?0 tel que =6 0 ,
?í
alors
L() = c (( ??0
)?0 2 c2)
??0 f
r?? kk ?í
f??]
øf ?t + vspo
·
vs0p ?í r1?2 L ?t + ?
?í
2 I (?ç
?í
En prenant en compte les expressions des conditions aux limites
transparentes sur 1 et 2 décrite dans la section précedent, on a
:
??
?t sur
((??0
?í ) - cf)
- 1
- 1
((???í 0) + cf)
??
?t sur 2.
?
????? ?
??????
??
?v
??
=
?v
Ce qui donne, après remplacement et simplication dans
L(ø), une expression de la forme :
? ??o f
?t ((?:)-cf)
act
9)
L(ø) = c2I
(?ç + vspo
· vs1)
41 ø(
I-s ?t ?í r1
? ??0 at
?í
??0 f ø( ??
?í cf) ??)]
2
§ ?í r ?t ??0
?t
?í
qui s'écrit encore de manière plus
simplifiée :
ZL(ø) =
c2:t ø+
q. fr Vs?0
· Vsçø
+ cf fr1 ??? t ø-cf
??q): fr2
??q;ø.
Finalement la formulation variationnelle du modèle
hydroacoustique devient : ?ø ?
H1(Ù)
Z Z Z Z
?2?
?t2 ø + ÙG?0
· V(???t )ø
- Ù(G?0
·
vø)???t - c2
vs?0
· rsçø
f
Ù s
- ca(cr?0
·
V?)(V?0
· vø) +
q./ 'Cr?
· vrø
2 I c ??0 I ??4'+ c
??0 I ?? = 0
cf rs f
?í rl ?t f ?í r2 ?t ø
.
(3.2)
| 
