Conditions aux limites transparentes et modélisation des vagues de surface dans un écoulement

Conclusion

En effet, comme le montre ces différentes figures nos résultats sont en parfaits accord avec le modèle physique et l' approximation est justifiée pour une équation d'onde acoustique en dimension un.

L'étape suivante de l'étude est de formuler analytiquement et de tester cette condition de manière genérale.

2.4.2 Condition aux limites transparente en dimension n=2; 3 Nous considérons une équation d'ondes non-homogène

???? ?

???? u(x, 0) = u0(x), ?t (x, 0) = u1(x) pour tout x ? Rⁿ,

?²u

?t2(x, t) - c2 f Äu(x, t) = f (x, t), pour tout x ? Rⁿ et t ?]0, 8[, ?u

(2.28)

dont les termes sources

f : R+ × Rⁿ ? Rⁿ, u0 : R+ ? Rⁿ et u1 : R+ ? Rn

sont des fonctions de classe C⁸ et dont les supports sont inclus dans le borné :

Ù = [-L, L]ⁿ avec L > 0.

Et

f (x, t) = 0, u0(x) = 0 et u1(x) = 0 pourx ?6 Ù = [-L, L]ⁿ et t = 0.

Cherchons maintenant à calculer les valeurs de la fonction u, solution du système (2.28) dans le domaine Ù = [-L, L]ⁿ, tout en modélisant le comportement de cette pour tout

x ? Ù^c = {x ? Rⁿ : |x| > L}

à l'aide des conditions aux limites en espace posées à une interface entre Ù et Ù^c définie par :

= {x ? Rⁿ : |x| = L}

Comme en dimension un, nous faisons une étude pour les ondes planes. Désignons par í, la normale unitaire sortante à .

Ensuite, considérons la relation (2.21) en dimension 1, nous envisageons une condition aux limites à l'interface du type :

?u

?x ? , _?t (x, t) + (cf
· í)^?u

?í (x, t) = 0 t ?]0, 8[. (2.29)

?

??????????????????? ?

????????????????????

Trouver une fonction u(x, t) : Ù × [0, 8[? R telle que :

?t2(x, t) - c2 f Äu(x, t) = 0, pour tout x ? Ù et t ?]0, 8[,

?²u

On est alors amené à resoudre le problème équivalent

?u

(2.30)

u(x, 0) = u0(x), ?t (x, 0) = u1(x) pour tout x ? Ù,

et les conditions aux limites,

?u

?t (x, t) + (cf
· í)_?^u (x, t) = 0 sur et t ?]0, 8[.

La restriction de la solution du problème (2.28) à x ? Ù, vérifie (2.30). Pour montrer que l'on peut calculer cette restriction en résolvant (2.30), il nous suffit de montrer que ce problème admet une unique solution. Commençons par définir l'espace admissible sur lequel, une formulation variationnelle du problème (2.30) sera établie. Nous considérons pour cela, l'espace

V = {v ? H¹(Ù) : Äu ? L²(Ù) et ?u ?t + (cf
· í).^?u

?í = 0 sur }

En multipliant la première équation du système (2.30), par une fonction test arbitraire de l'espace V, on peut construire formellement la formalution variationnelle de ce système :

at?v ? V, I_{n at} (x, t)v(x) - äu(x, t)v(x) = f (x, t)v(x)dx.

Appliquons, toujours formellement (car nous ne connaissons pas la régularité de la solution éventuelle) la formule de Green et compte tenu des conditions aux limites sur , cela conduit à :

?l i ?t u ?u (x, t)v(x)d

r

= f (x, t)v(x)dx.

On place cette écriture dans un cadre général en introduisant les formes bilinéaires suivantes :

fr)

?t (x, t)v(x)dx + cf2

I

u(x, t)
·

V

v(x)dx + (cf
· í)

(2.31)

?

????????? ? ??????????

?v, w ? V, a(w, v) = cfI w(x, t) · Vv(x)dx, ?v, w ? V, m(w, v) = cw(x)v(x)dx, ?v, w ? V, c(w, v) = (cf · í) frw(x)v(x)dx,

ainsi que la forme linéaire :

?v ? V, L(v) = I f (x, t)v(x)dx.

L'équation que nous avons obtenue se formule de la façon suivante avec ces notations :

? ?? ??

trouver u telle que à chaque instant t on ait u(x, t) ? V : et vérifiant, ?v ? V, m( ·u, v) + c( ÿu, v) + a(u, v) = L(v).

(2.32)

L'espace des fonctions admissibles V étant un espace de Hilbert. Il existe donc une famille totale {wⁿ}, de cet espace qui forme une base de V. Nous désignons par V^N le sous espace de V engendré par les N premiers vecteurs de cette famille.

Pour établir l'existence d'une solution à l'équation (2.32),nous utilisons

une suite de problèmes approchés construits à partir de V^N .

Nous montrons alors que cette suite converge vers une solution de (2.32) lorsque N tend vers l'infini, et cela dans un espace Hilbert ad hoc, que nous introduisons a priori par

W(0T) = {v = (vi); v E L²(0T; V) ; ?v ?t E L²(0T; (L²(Ù))³)}, muni de la norme définie à partir du produit scalaire :

Z _{T Z} Z _T Z ?u ?u

(u, v) = _Ù(Vu
· Vv + uv) + ?t .

0 0 Ù ?t

Nous lui associons le sous espace :

W^N(0T) = {v E W(0T) ; v(t) E V^N}, A chaque entier N, on associe le problème :

? ?? ??

trouver u^N E W^N(0T) tel que : ?v E V^N, m( ·u^N, v) + c( ÿu^N, v) + a(u^N, v) = L(v).

(2.33)

auquel on adjoint les conditions initiales :

u^N(t = 0) = ð^Nu0(x) et ÿu^N(t = 0) = ð^Nu1(x).

ðN désignant l'opérateur d'interpolation (ou d'approximation) de V dans V^N.

Il vérifie la propriété

lim IIu0 - ð^Nu0llV = 0.

N?8

Choisissons dans (2.33)

v = ÿu^N,

On obtient

1 d

2 dt

[m( ÿu^N, ÿu^N) + a(u^N, u^N)] + c( ÿu^N, ÿu^N) = L( ÿu^N). La forme bilinéaire c vérifie

j1? ÿu^N E V^N, |c( ÿu^N, ÿu^N)| = |(cf .í)| |ÿu^N|²dx = 0, cela permet d'obtenir l'inégalité suivante :

Z t

2[m(

ÿuN, ÿu^N) + a(u^N, u^N)](t) = 1 1 ₂[m( ÿu^N, ÿu^N) + a(u^N, u^N)](0) + ₀ L( ÿu^N).
On fait alors l'hypothèse que L(.) définit une forme linéaire continue sur (L²(Ù))³, de telle façon que :

Z t

| 0 L( ÿu^N)| = IILIIL²(0t;(L²(Ù))³).II ^ÿu^NIIL²(0t;(L²(Ù))³).

Et comme les formes m(., .) et a(., .), sont continues et coercives sur l'espace V, on deduit qu'il existe une constante positive C, independante du temps et telle que :

I ÿuNk20,Ù(t) + Iu^NI²_1,Ù(t) = C[I ÿuNl20,Ù(0) + IuNI21,Ù(0) + ll II²

I^, ..L²(0t;(L²(Ù))³)] t

I

+ C I ÿuNl20,Ù.

En appliquant le lemme de Gronwall à la fonction

t

((f MÿuNaÙ) + 1114N1120,Ù(t)) C,

((f

on en deduit alors l'estimation

Iu^NiW(0T) = C,

Puisque l'espace W(0T) est reflexif, on peut extraire de u^N, une sous suite notee u^N, telle que :

u^Ni ? u^* ? W(0T) (convergence faible dans W(0T)),

Par un passage à la limite (faible) dans l'equation (2.33), nous obtenons l'existence d'une solution dans l'espace W(0T) à l'equation (2.32).

L'unicite decoule de l'inegalite suivante :

si u¹ et u² sont deux solutions de (2.32), alors

2[m(

^ÿu¹ - ÿu², ÿu¹ - ÿu²) + a(u¹ - u2, u¹ - u²)](t) = -c( ÿu¹ - ÿu², ÿu¹ - ÿu²) = 0. 1

ce qui implique

₂[m( ÿu¹ - ÿu², ÿu1 ÿ2

- u ) + a(u¹ - u2, u¹ - u2)](t) = 0,

1

et

1 2

u = u .

En conclusion, la restriction de la solution du problème (2.28) admet bien une solution unique. Ce qui montre que le problème (2.30) est bien pose.

Conditions aux limites sur 1 et sur 2

D'après ce qui precede, on peut construire une condition aux limites transparentes conduisant à des problèmes bien poses dans le cas d'ondes acoustiques. Cette condition aux limites, fournit un comportement le plus "transparent" possible, c'est-à-dire qu'elle laisse passer les ondes entrantes et sortantes.

Ainsi le traitement aux frontières, 1 et 2 du domaine Ù ne se fait pas sur les grandeurs physiques, mais sur des variables calculees à partir de celles-ci en supposant que les ondes se propagent orthogonalement aux frontières considerees.

Dans le cas oil les ondes se propagent suivant des directions quelconques

aux frontières considerées, des difficultés supplémentaires apparaissent à cause des dérivées tangentielles de la vitesse sur ces frontières. Ce cas ne sera pas abordé dans ce travail, nous traiterons uniquement le cas oü les ondes se propagent orthogonalement aux frontières.

Définissons la frontière 1 comme étant l'ensemble :

1 = {x ? R³; e1
· í(x) = 0}

oü í(x) est la normale unitaire sortante à l'ouvert Ù et au point de coordonnées x et e1 est le vecteur directeur de la direction de l'écoulement

sur laquelle le champ de vitesse des particules fluides est imposé. On a,

u = ue1, u > 0 sur 1, et u = 0 sur b,

et le produit scalaire intervenant dans la formulation analytique des conditions aux limites (2.29) devient :

cf.(e1
· í(x)) = -cf

Nous définissons de même la face sortante de l'écoulement notée 2, par:

2 = {x ? R³; e1
· í(x) = 0}

Sur cette dernière, nous laissons l'écoulement sortir librement sans reflex-ion. Et comme la normale sortante à cette frontière est supposée colinéaire au champs de vitesse, le produit scalaire intervenant dans (2.29) s'écrit

cf.(e1
· í(x)) = cf.

Ainsi en tenant compte de l'écoulement et de l'onde acoustique, il est naturel de considérer sur ces deux frontières les conditions suivantes :

?? + (u - cf)^?? ?í = 0, sur 1, ?t (2.34) ?? ?t + (u + cf )?? ?í = 0, sur 2.

2.4.3 Conclusion

Ce chapitre a été consacré à la présentation et la définition mathématique des modèles utilisés dans cette étude.

Le travail reporté dans ce chapitre porte aussi sur la construction mathématique d'une condition aux limites particulière sur les frontières verticales 1 et 2 du domaine Ù .

Cette condition aux limites dite transparente, qui prend en compte le comportement à l'infini de l'onde et qui la laisse passer sans réflexion est étudiée dans ce chapitre pour une propagation d'onde acoustique dans un écoulement uniforme.

Nous avons ensuite réalisé un test numérique de validation en dimension

un, les résultats obtenus sont en très bon accord avec le modèle physique. Le chapitre suivant concerne la formulation variationnelle en dimension deux du modèle. Nous allons dans un premier temps établir la formulation variationnelle du modèle fluide et ensuite du modèle de surface. Puis une étude d'existence et d'unicité du modèle couplé fluide-vague de surface dans un espace des fonctions admissibles approprié sera faite.

3