Eléments d'une philosophie de l'espace chez Ernest Cassirer

II.2.3.2.4. Bernhard RIEMMANN : la géométrie Elliptique

C'est Riemann qui a donné une nouvelle orientation à la géométrie. Bien que Gauss pensa réaliser un espace elliptique, et que par la suite sa géométrie était considérée comme hyperbolique. C'est Riemann, qui avait donné une nouvelle formulation à la géométrie Euclidienne. Son point de départ révolutionnaire réside dans son oeuvre même. Il écrit : « des hypothèses qui sont au fondement de la géométrie »^71(*).

D'après Cassirer, le titre parait révolutionnaire dans «la manière de penser accomplie au coeur des mathématiques »^72(*). Ainsi, pour Cassirer, Riemann voit des vérités hypothétiques là où l'on voyait des principes absolus et nécessaires, c'est-à-dire dans les axiomes d'Euclide. Raison pour laquelle, il a préféré parler des hypothèses que des axiomes. En effet, nous devons encore dire que, c'est plus la physique qui a déterminé la validité d'une telle géométrie que la logique ou les mathématiques. C'est Albert Einstein qui a appliqué l'espace elliptique dans la construction de sa théorie de la relativité générale, à partir des équations gravitationnelles. Dans l'esprit de la géométrie sphérique, par un point situé dans un plan, ne peut passer aucune parallèle. Il y a possibilité de Zéro parallèle. Par sa contribution, Riemann introduit les espaces très généraux. Cet apport sera bien expliciter quant nous ferons le rapport entre la physique et la géométrie.

Tableau synthétique concernant les différentes géométries

Type de géométrie	Nombre de parallèles	Somme des angles d'un triangle	Proportion entre la circonférence d'un cercle et son diamètre	Mesure de la courbure
Euclide	1	180°		0
Lobatchevsky	infini	180°		0
Riemann	0	180°		0

* ⁷¹ RIEMANN, OEuvres mathématiques, Paris, J. Gabay, 1990.

* ⁷² E.CASSIRER, Le problème de la connaissance t₄, p.31