Chapitre 3
Figure 3.4 : Elément triangulaire plan à
trois noeuds.
3.2.2. Matrice de rigidité
élémentaire
Cet élément possède deux degrés de
liberté en déplacement par noeuds.
Figure 3.5 : Elément triangulaire plan avec deux
degrés de liberté par noeuds.
La matrice de rigidité élémentaire
utilisée dans les calculs est :
eE
[K l 4A( 1 -- v2)
Sym
x11 + Cyiz
Avec :
66 /176
Chapitre 3
3.3. Elément fini tétraédrique
à quatre noeuds 3.3.1. Définition
Le tétraèdre à champ
linéaire est l'élément tridimensionnel le plus
simple, son élément de référence se présente
comme suit :
Figure 3.6 : Elément de référence de forme
tétraédrique.
Celui-ci est construit par extension du triangle
isoparamétrique à trois noeuds. Il possède trois
degrés de liberté en déplacement par noeud, ce
qui correspond à un total de douze degrés de
liberté (DDL).
3.3.2. Construction de la matrice des fonctions
d'interpolation
Choix de la base polynomiale (P())
La base polynomiale utilisée est celle-ci : (P())
= ( 1 f i 0 Evaluation de la matrice nodale [Pa]
Calcul de la matrice [Pa] :
[ ]
67 /176
Chapitre 3
|
, -
|
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
< >
< >
< >
< >
|
Le calcul de , - donne :
, -
[
]
Inversion de la matrice nodale , -
Le calcul de , - donne :
, -
( ) < ( )>, -]
( ) < > [
10 0
--1 1
--1 0 0
< ( )> < >
Chapitre 3
L'élément de référence
tétraédrique à 4 noeuds ayant 12 DDL, la matrice des
fonctions d'interpolation se présente comme suit :
, ( )-
[
]
Avec :
3.3.3. Calcul de la matrice jacobienne de la
transformation géométrique
< >
, - [< > ] [* + * + * + ]
< >
, - [ ] [
68 /176
, - [
69 /176
Chapitre 3
(J) = (x2 -- x1)(Y3 --
Y1)(z4 -- z1) + (Y2 --
Y1)(z3 -- z1)(x,,4-- x1)
+ (z2 -- z1)(x3 --
x1)(Y4 -- Y1) -- (x2 --
x1)(z3 -- z1)(y4-- Y1)
-- (Y2 -- Y1)(x3 --
x1)(z4 -- z1) -- (z2 --
z1)(Y3 -- Y1)(x4 --
x1)
det(J) = 6Ve
Ve représente le volume du tétraèdre
défini par l'élément dans l'espace
réel.
Champ de déplacement
Le champ de déplacement se calcule par la relation :
u(k) = [ N(k)]{un}
Champs de déformation
Il est défini par la relation { E} = [
B]{un}
La matrice [ B] est obtenue par application de
l'opérateur dérivée sur le champ de
déplacement, donc par la relation :
[ B] = [ D][ N( k)]
[ B (x)] = [[ B1(x)] [ B2 (x)] [
B3 (x)] [ B4(x)]]
o
aY ax
70 /176
Chapitre 3
, -
, - , - [
, - [ ]
Avec :
|
V représente le volume du
tétraèdre
|
|
|
|
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|
(
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)(
|
)
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(
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)(
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)
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(
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)(
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)(
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)(
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)
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)(
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)(
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)(
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)
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(
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)(
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(
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)(
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)
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)(
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(
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)(
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)
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(
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)(
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)
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(
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)(
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)
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(
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)(
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(
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)(
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)
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(
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)(
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)
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(
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)(
|
)
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