Modélisation et simulation par éléments finis. Cas d'un tablier de pont.

1.6. Méthode de GALERKIN pour la résolution des équations de Lamé

1.6.1. Modèle mathématique étudié

Supposons qu'un solide élastique occupe dans l'espace à trois dimensions un domaine 0 délimité par une surface fermée S.

Nous obtenons les équations de Lamé, caractérisant le comportement, sous la forme suivante [2] :

(A+u) V ( divA) (1.1)

Avec la condition aux limites en déplacement (condition de type Dirichlet) :

(1.2)

Où A et u sont les coefficients de lamé tels que :

(1 + v)(1 -- 2v)

(1 + v) , 2 (À. + u)

(y étant le coefficient de poisson et E le module de Young)

A = A(x, y, z) = ( u(x, y, z) , v(x, y, z) , w(x, y, z)) E R³ sont les

composantes du vecteur déplacement en chaque point du solide de 0 délimité par la surface S.

Ao = (uo, _vo,wo) est le vecteur déplacement imposé à la surface du solide ; p est la densité du solide.

P = ( P₁, P₂, P₃) la charge constante.

1.6.2. Transformation du modèle mathématique L'équation vectorielle (1.1) peut alors s'écrire sous la forme :

Chapitre 1

( ) ( )

( ) ( ) (1.3)

( ) ( )

Nous allons chercher la solution de ces équations sous la forme

,

Où est un vecteur harmonique c'est-à-dire : ,

???????????

est le gradient d'une fonction scalaire c'est-à-dire : Nous adoptons les hypothèses suivantes :

13 /176

{ (1.4)

Soit ( ) ; alors {

(1.5)

(1.6)

Puisque ( ), on a :

{

En substituant (1.6) dans (1.3) on a :

(		, (		(		(
	)		)		)		)-
(
	)	, (	)	(	)	(	)-
(		, __ (		(		(
	)		__)		)		)-

(1.7)

En prenant en compte (1.5), le système d'équations (1.7) devient :

Chapitre 1

( ) , ( ) ( ) ( )-

( ) , ( ) ( ) ( )-

( ) , ( ) ( ) ( )-

(1.8)

En réorganisant le système d'équations ci-dessus, on aboutit au système suivant :

, ( )-

0 ( )1 (1.9)

{ , ( )-

(1.9)		,(	)	(	)
		,(	)	(	)
	{	,(	)	(	)

-

- (1.10)
-

14 /176

L'intégration de ce système d'équations nous donne :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .. ( )

(1.11)

Où f1, f2, f3 sont des fonctions arbitraires.

Sans perdre la généralité et pour la compatibilité du système, nous supposons que :

( ) ( )

( ) ( ) (1.12)

( ) .. ( )

15 /176

Chapitre 1

En substituant (1.12) dans (1.11), on ramène le système (1.11) sous forme de l'équation de Poisson:

( ) ( ) (1.13)

En remplaçant dans cette équation le coefficient de Poisson par son expression, on obtient :

( ) , ( ) (1.14)

			Ou , ( )- ( )	(1.15)

1.6.3. Résolution de l'équation de Poisson par l'approche variationnelle de GALERKIN

1.6.3.1. Méthode de GALERKIN

La méthode de GALERKIN consiste en ce qui suit :

Nous cherchons une solution de l'équation de Poisson (1.15) sous la forme d'une combinaison linéaire de fonctions linéairement

indépendantes vérifiant la condition aux limites (1.4), c'est-à-dire Ø/S=0.

On substitue la solution approchée dans (1.15) et on multiplie par les fonctions linéairement indépendantes ; ensuite on intègre par partie suivant le domaine 0 pour obtenir une relation intégrale à partir de laquelle on détermine les coefficients de la combinaison linéaire.

1.6.3.2. Application de la méthode de GALERKIN En multipliant l'équation (1.14) par une fonction non nulle on a : ( ( ) , ( )-) En intégrant suivant 0, on obtient :

(1.16)

? ( ( ) , ( )-) (1.17)

16 /176

Chapitre 1

? ( )

( ) ? , ( )-

(1.18)

Par une intégration par parties, on a :

? ( ) ? , (

( )

)- pour ö/S = 0. En posant , on a : ? (. / ( ) ? , ( . / . / ) )-

(1.19) (1.20)

Pour l'application, nous considérons le domaine d'intégration 0 défini par :

* ( )

+

Figure 1.4 : Représentation 3D du domaine 0

17 /176

Chapitre 1

Considérons la partie S1 de la surface S définit par :

* ( ) +

La condition se présente alors comme un cas particulier de

la condition aux limites (1.4)

Les conditions aux limites (1.4) et (1.5) sont équivalentes aux conditions suivantes :

{ (1.21)

{ (1.22)

{ (1.23)

Choisissons un point arbitraire ( )

( ) ( ) les fonctions prennent les valeurs

suivantes :

( ) les fonctions prennent les valeurs suivantes :

( )

( ( ) ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )

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