Le cadre théorique
I. Quelques éléments théoriques et
historiques
La numération a pour but d'exprimer une quantité
grâce à des signes choisis. Les signes sont les chiffres, dans
notre système français actuel. Il a existé
différents signes à travers les différentes époques
(exemple : chiffres romains, numération égyptienne...). En
France, il existe dix signes (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) qui nous permettent
de réaliser une quantité indéfinissable de nombres
grâce à la combinaison de ces mêmes signes. Si nous pouvons
combiner ces signes, c'est grâce à la base choisie de notre
système français de numération qui est la base 10. La base
est un choix de groupement ; selon les pays cette base peut varier. En effet,
le choix de celle-ci entraine la création de règles selon
lesquelles les différents signes pourront être combinés
afin de former des nombres.
Exemple : en France,
- lorsque l'on a dix unités, on peut les «
échanger contre une dizaine »
- lorsque l'on a dix dizaines, on peut les « échanger
contre une centaine » - et ainsi de suite avec les milliers, les millions,
les milliards etc.
S'il existe ce genre de règles dans le domaine de la
numération, c'est pour que les Hommes n'aient pas à créer
autant de signes que de nombres pouvant exister. En effet, il existe une
infinité de nombres qui ne peuvent évidemment pas être
associés à une infinité de signes puisque le cerveau
humain ne serait pas capable de retenir un signe par nombre. La création
de base dans la numération est donc un moyen économique pour
combiner un nombre fini de signes (en France, dix signes) afin de créer
une quantité infinie de nombres.
D'autres règles existent telles que le sens de
l'écriture des nombres ou encore la manière d'oraliser ces
nombres. Ces règles constituent le système de
numération.
Les chiffres, en France, sont souvent appelés «
chiffres arabes », mais étaient déjà connus des
Indiens qui utilisaient un système décimal proche du notre.
Dans un système de numération, si la base est un
nombre entier, le nombre de chiffres utilisés dans la
représentation des nombres est strictement égal à la
valeur de la base. Ces bases diffèrent à travers les
époques et les civilisations.
Le système positionnel de numération existe
depuis le IIIème millénaire avant Jésus Christ. Les
mathématiciens babyloniens de l'époque utilisaient un
système séxagésimal (base 60) et la transmission de ce
système en Occident s'est faite au VIIème siècle
grâce à un moine syrien, ayant attesté qu'il existait neuf
signes indiens (sans le zéro). Au IXème siècle,
l'algébriste arabe Al-Khwarismi rédige le traité « De
numero Indorum » (en latin, « Des chiffres indiens »), et c'est
à partir de là que la transmission est véritablement faite
en Occident.
Les systèmes positionnels de numération sont
conformes à des bases qui peuvent varier. La base définit la
puissance qui déterminera l'ordre de grandeur (donc la place du chiffre)
dans un nombre ; en effet, plus la puissance est faible, plus le chiffre se
trouve à droite. Dans notre système d'écriture
français, nous écrivons de gauche à droite et dans le
système de numération, le chiffre ayant la plus grande valeur
(donc la plus forte puissance) est placé en premier (donc le plus
à gauche). Prenons l'exemple de notre système décimal de
numération pour mieux illustrer ce propos :
Le zéro signifie l'absence de groupement (exemple : 108
signifie qu'il y a une centaine, zéro dizaine et huit unités).
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De nombreux systèmes positionnels ont été
utilisés par les peuples et à travers les époques :
- Le système binaire - base 2 (utilisé en
informatique)
- Le système quinaire - base 5 (utilisé jusqu'au
XXème siècle notamment par les
peuples africains)
- Le système sénaire - base 6
- Le système octal - base 8
- Le système décimal - base 10 (système
étant aujourd'hui le plus utilisé et le plus
répandu puisqu'utilisé par rapport au nombre de
doigts des deux mains)
Puis les systèmes au-delà du système
décimal ; duodécimal (base 12), hexadécimal (base 16),
vigésimal (base 20) ou encore sexagésimal (base 60 permettant de
mesurer le temps des secondes jusqu'aux heures / 60sec = 1 min, 60 min = 1h
mais 60h ? 1 jour et 60 centièmes ? 1 sec).
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