2.7 Méthodes
Il existe trois (3) méthodes de discrétisation
d'un maillage dans les domaines de calcul numérique: La méthode
des différences finies, des éléments finis et des volumes
finis. Chacune de ces méthodes à une particularité dont
nous ferrons état avant de s'immerger profondément dans celle
qu'utilise notre code de calcul.
2.7.1 Méthode des éléments finis
Cette méthode introduit une fonction test
polynômiale de faible ordre permet d'intégrer les équations
et de minimiser les résidus [83]. Elle traite des
géométries complexes (maillages composés de
tétraèdres), et la validité mathématique des
équations est bien démontrée. Elle a comme
inconvénients : complexité de mise en oeuvre et grand coût
en temps de calcul et mémoire.
2.7.2 Méthode des différences finis
Introduit en 1800, cette méthode fonctionnant sur un
maillage régulier permet d'atteindre des précisions d'ordre
élevé avec un faible coût de calcul; mais elle ne permet
pas l'assurance que les flux intégraux sont conservés et un
traitement des géométries complexes puis la prise en compte des
conditions aux limites de type Neumann est difficile. Cette méthodes ne
présente pas un intérêt particulier pour l'emploi dans
notre étude du fait que les configurations d'incendie sont trop
complexes et nécessitent une considération intégrale du
domaine.
2.7.3 Méthode des volumes finis
La méthode des volumes finis, très
utilisée dans les calculs numériques trouve son importance par sa
facilité de mise en oeuvre et sa robustesse numérique. Cette
dernière se fonde sur la division du domaine à des volumes de
contrôles élémentaires sur lesquelles les équations
sont intégrées. Elle permet de traiter des
géométries complexes et déterminer les conditions
2.7 Méthodes 42
Rédigé par: MBAINGUEBEM Arnaud
Mémoire de fin d'études
aux limites de type Neumann. Toutes les discrétisations
du code OpenFOAM sont faites en se basant sur cette discrétisation. Le
principe de la discrétisation est de transformer les équations
aux dérivées partielles considérées,
précédemment présentées, en un système
d'équations algébriques [82]. La démarche de la
discrétisation peut être divisée en deux étapes, la
première est la décomposition du domaine en un ensemble de
volumes élémentaires que l'on appelle volume de contrôle
(VC). La deuxième est l'intégration des équations du
problème sur ces volumes de contrôle. La méthode des
volumes finis (FVM : Finite Volume Method) est
caractérisée par les propriétés suivantes :
- La discrétisation de la forme intégrale des
équations sur un volume de contrôle. Les quantités
"primaires" comme la masse ou la quantité de mouvement sont donc
conservées par construction dans le temps et dans l'espace;
- Le maillage est défini dans le système de
coordonnées cartésiennes et est fixe dans le temps;
- Les volumes de contrôle sont exclusivement des
hexaèdres, c'est-à-dire constitués de six volumes voisins
[82].
2.7.3.1 Discrétisation du domaine
Dans la discrétisation du domaine, le choix du domaine
est arbitraire en ce sens que le nombre de face est limité. Les volumes
de contrôle sont généralement appelés des mailles
polyédrales. Les paramètres de discrétisation sont
définis sur la figure 2.4. Les règles de construction applicables
aux volumes de contrôle sont les suivantes :
- Toutes les faces sont plates;
- Le point P est localisé au centre du volume de
contrôle;
- Toutes les inconnues sont définies à partir du
point P;
- Les volumes de contrôle sont constant dans le temps.
2.7 Méthodes 43
Rédigé par: MBAINGUEBEM Arnaud
Mémoire de fin d'études
(A) Paramètres de discrétisation (B) Domaine
temporaire
FIGURE 2.4 - Paramètres et domaine de
discrétisation
Considérons que N est le centre du volume de
contrôle voisin et P est le point central
?- d tels que ?- d = --?
du volume considéré. P et N sont reliés par
un vecteur P N. Le vecteur
unitaire orthogonal ?- S à la face commune aux
deux volumes de contrôle est nommé Sf. Pour permettre la
discrétisation des équations, les variables u et p sont
définies au centre P du volume de contrôle (VC). Cette
répartition simplifie l'implémentation dans le code et minimise
le nombre d'informations nécessaires relatives à la
géométrie du volume de contrôle [82]. Il sera
intéressant de pénétrer dans les équations pour les
rendre linéaires.
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