à‰tude numérique du feu généralisé avec sortie de flamme de diffusion en situation d'incendie.

2.7.3.2 Discrétisation des équations

La discrétisation des équations consiste à convertir les équations aux dérivées partielles en des équations algébriques généralement sous la forme:

[A][X] = [b] (2.37)

Où [A] est une matrice carrée, [X] est un vecteur colonne dépendant des variables et [b]. Considérons un déplacement d'un petit élément de volume selon le Point P, une intégration volumique centrale suivant le point P peut s'exprimer par :

ZV _p(x - xP)dV = 0 (2.38)

Celle d'un élément de surface peut également être écrit :

Zf(x - xf)df = 0

(2.39)

2.7 Méthodes 44

On peut matérialiser l'équation générale de transport d'un scalaire ö représentative des tenseurs par l'expression suivante :

?(ñö) | ?t Y J Dérivée temporelle

+? · (ñUö) | {z J Convection

- ? · (ñ15?ö) | Y J Diffusion

= Sö(ñö) | Y J Sources

(2.40)

Où o représente le coefficient de la diffusion ö. En volume fini, l'équation (2.40) peut donc être écrite sous la forme intégrale volumique par :

Lt+Ät ?[?tfvP (ñö)dV + ^fP V V. (ñUö)dV - fP ? · (4,?ö)dV dt =

Zt

rt+Ät

Z ] VP Sö(ñö)dV dt (2.41)

Rédigé par: MBAINGUEBEM Arnaud Mémoire de fin d'études

Par ailleurs, cette expression assume que les valeurs de ö varient linéairement en espace et en temps de la manière suivante :

ö(x) = öP + (x - xP) · (?ö)P (2.42)

ö(t + Ät) = ö^t + Ät8(a ) l t (2.43)

_C /

Dans l'équation de transport, les termes de convection et diffusion contiennent les opérateurs divergence dans l'intégrale alors que les termes temporels et sources ne l'ont pas. En un premier temps nous considérons les termes n'ayant pas l'opérateur divergence, les intégrales volumiques pourraient être évaluées par :

fvP

(p0(x))dV = p [ f °pdV + f(x --xp)
·(Vc)pdV] (2.44)

Vp p

En utilisant l'hypothèse que le point P est localisé au centre du volume alors le second terme de l'équation (2.44) sera éliminé par l'utilisation de l'équation (2.38), l'expression se réduit à :

fv

(ñö(x))dV = ñöP ^f dV = ñöPVP (2.45)
p P

2.7 Méthodes 45

Les intégrales volumiques contenant l'opérateur divergence sont traitées différemment par la théorie de Gauss comme suit :

f V · adV = f dS · a (2.46)

vp VP

En utilisant l'impact que le volume de contrôle a un nombre fini de faces, l'intégrale de surface peut être considéré comme la somme des surfaces autour de la surface du volume de contrôle :

ImVP dS · a =E (f dS · a) (2.47)

f f

L'intégrale de surface sous la somme pourrait être réécrite par utilisation de l'équation (2.42) : _{Z (Z} ) _Z ~

f dS · a = f dS · af + _f dS(x - xf) .(Va)f (2.48)
En utilisant l'équation (2.39), on élimine le second terme de l'équation (2.48) et elle se résume à :

f

dS · a = (f dS) · af = S · af (2.49)
f Maintenant les intégrations volumiques avec l'opérateur de divergence peuvent être écrites

comme suit :

fV · adV =ES · af (2.50)

Vp f

Communément, pour déterminer les valeurs de a à la surface des mailles (af); nous allons discuter de cela dans les sections suivantes en traitant terme par terme l'équation de transport. Par ailleurs, la forme intégrale standard de l'équation de Navier-Stockes dans un volume de contrôle VP de centre P est exprimée par :

Zt

t+Ät d

dt fP ñûdV + _fvP V · (pûû)dV - fP V · [ueff(Vu + VuT )] dV dt =

-

Zt

~t+Ät

Z ~ VP V ^P dV dt (2.51)

Rédigé par: MBAINGUEBEM Arnaud Mémoire de fin d'études

Où ueff = u + ut est la viscosité effective dans laquelle est inclue la viscosité turbulente, û, P sont des variables moyennées où soit filtrées. Cette équation nous servira à présenter la manière de transformation des équation aux dérivées partielles continues en des équations algébriques discrètes utilisées dans OpenFOAM pour les solveurs de feu FireFOAM et

2.7 Méthodes 46

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2.7 Méthodes 47

ReactingFOAM du module de combustion.