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Phénomènes induits par le bruit dans les systèmes dynamiques décrits par des équations différentielles.

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par Bouanani Oussama
saida - Master 2015
  

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République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l'enseignement supérieur et de la recherche scientifique

 

N° Attribué par la bibliothèque

 

Année Univ.: 2015/2016

Phénomènes induits par le bruit dans les

systèmes dynamiques décrits par des

équations différentielles.

Mémoire présenté en vue de l'obtention du diplôme de

Master
Universitaire de Saida
Discipline : MATHEMATIQUES
Spécialité : Analyse stochastique, statistique des processus et
applications

par

Oussama Bounani

Sous la direction de

Encadreur : Dr. A.Kandouci

Soutenu le 30/mai/2016 devant le jury composé de Dr.F. Madani Université de Saida Président

Dr.A. Kandouci Université de Saida Directeur de thèse

Mlle.F. Benziadi Université de Saida Examinatrice

Me.FBenziadi Université de Saida Examinatrice

Table des matières

Introduction

1 Équations Différetielles Stochastiques

8

12

 

1.1

Définitions et propositions

12

 

1.2

Exemples

13

 

1.3

Théonème d'existence et d'unicité

15

 

1.4

Exemple

21

 

1.5

Théorème de Yamada-Watanabe

23

 

1.6

Difusions d'Itô

24

 
 

1.6.1 Définitions et propositions

24

2

Systéme lent-rapide stochastique

29

 

2.1

Résultats généraux sur les systèmes lents-rapides déterministes . . . .

29

 

2.2

Système lentement dépendant de temps avec une dimension

31

 

2.3

Branches d'équilibre stables

31

 
 

2.3.1 Hypothèse (cas stable)

31

 
 

2.3.2 Cas linéaire

33

 

2.4

Équation déterministe de FitzHugh-Nagumo

34

 
 

2.4.1 Système découplé : cas b = 0

35

 

2.5

Systèmes lents-rapides stochastiques

48

 
 

2.5.1 Variété lente

49

 
 

2.5.2 Concentration des trajectoires

49

 
 

2.5.3 Bifurcations dynamiques

53

 
 

2.5.4 Bifurcation selle-noeud

53

 
 

2.5.5 Bifurcation Hopf

54

 

2.6

Résonance stochastique

57

TABLE DES MATIÈRES 3

2.6.1 Présentation des systémes dynamiques non linéaires bistables . 60

2.6.2 Quelques résultats antérieurs 62

2.6.3 Description des trajectoires 64

3 Étude qualitative des systèmes de FitzHugh-Nagumo 68

3.1 Limite inférieure du régime bruit fort 68

3.2 Étude qualitative du rayon moyen du petit cycle 71

3.3 Étude qualitative de la transition du bruit fort au bruit faible . . . 75

3.3.1 Transformation de l'équation stochastique 76

3.4 Commentaire 81

4 Simulation avec R 85

4.1 Le modèle de Hull-White,Vasicek 85

Bibliographie 93

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