Phénomènes induits par le bruit dans les systèmes dynamiques décrits par des équations différentielles.

2.6.3 Description des trajectoires

Nous considérons ici le cas où a0 = A_c - A est un petit paramètre, ce qui a pour effet de rendre probables les transitions sur des échelles de temps sous-exponentielles.

FIGURE 2.7 - [16] Trajectoires prés d'une bifurcation selle-noeud évitée. (a) Pour u < a3/4

0 V å³/⁴, les trajectoires restent confinées, avec grande probabilité, dans un voisinage B(h) de la solution détermiste xdet

t . (b) Pour u ~ a3/4

0 V å³/⁴, les trajectoires ont toutes les chances de traverser la barrière de potentiel en x^? ₀(t) durant l'intervalle [-u²/³, u²/³]

Pour simplifier la présentation, nous nous concentrons sur l'équation (2.67), bien que les résultats de [16] s'appliquent à des équations plus générales.

Si a0 est petit mais positif, on est dans une situation de bifurcation selle-noeud évitée. Lorsque cosy = -1, la variété stable x^?₊(y) et la variété instable x^? ₀(y) s'approchent à une distanc e d'ordre /a0, et la barrière de potentiel a une hauteur d'ordre a3/2

0 . Nous choisissons l'origine du temps de manière que cos yt = -1 en t = 0.

2.6 Résonance stochastique 65

Dans le cas déterministe ó = 0,donne (c.f.[16][Théorème 2.5])

xdet t- x^?+(y) , å |yt | pouryt = -c0(va0 ? vå) xdet t- xc va0 ? vå pour | yt |= c0(va0 ? vå) xdet t- x^?+(y) ^ - å |yt | pouryt = c0(va0 ? vå)

(2.69)

pour une constante c0 > 0, où x_c = 1/v3 est le "centre" de la bifurcation évitée. Nous pouvons en définissant à nouveau

B(h) = {(x,t) .

. (x æ(t)ett)2 < h²}, (2.70)

avec ici,

1 1 æ(t) ~ (2.71)

| ?xf(xdet _t ,t) | ~ | t | ?va0 ? vå

Alors il existe une constante h0 telle que pour h = h0[| t |³/² ?a^3/4

0 ? å³/⁴] et

t = c0(va0 ? vå),

6

P^t0,x0{ôB(h) < t} = const (t 2t0 + 11 e-kh2/ó2, (2.72)

avec,k = 1 - O(å) - O(h/[| t |³/² ?a^3/4

0 ? å³/⁴]). Comme précédemment, nous avons

donc deux cas à considérer :

1. si ó < a3/4

0 ? å³/⁴, alors les trajectoires restent concentrées dans un voisinage

/

d'ordre ó æ(t) de la solution déterministe, et des transitions vers l'autre variété

stable sont peu probables

2. si ó = a³₀^/4 ? å³/⁴, alors le résultat ne s'applique que pour t = -ó²/³. Il suit du théorème (3.3.1) que le temps de premier passage ô⁰, disons, en x = 0, satisfait

P^t0,x0{ô⁰ < t} = const(t -2t°

to k[( t3)U ^3/2U 3/2]/ 2

å

-

₀å^ó

2 + 1 e

-- a

, (2.73)

2.6 Résonance stochastique 66

pour tous les t dans un voisinage de 0 dans le premier cas, et pour t < -u²/³ dans le second cas. Le comportement pour t > -u²/³ dans le second cas est alors décrit par l'analogue suivant du théorème (2.6.1).

Théorème 2.6.1. [16][Théorème 2.7]. Si u > a^3/4₀ Vå³/⁴, alors il existe une constante k > 0 telle que

P^t0,x0{ô⁰ > t} < 2 exp { - ku2 ⁱ (ogui /3)1 + e-k/ó2 (2.74)

pour -u²/³ + O(å) < t < u²/³.

Par conséquent, le système a une probabilité d'ordre 1- _e-kó⁴/³/å|log ó| d'effectuer une

transition dans l'intervalle de temps -u²/³ < t < u²/³. Une fois le niveau 0 atteint, le processus a une forte probabilité d'atteindre rapidement la variété lente en x^?_-(t), qu'il suit pendant une demi-période jusqu'à la transition suivante

Il est à relever que le seuil a3/4

0 V å³/⁴ de l'intensité du bruit rendant des transitions probables ne tend pas vers 0 avec le paramètre a0 contrôlant la hauteur minimale de la barrière de potentiel. Ceci est un effet purement dynamique, dû au fait que même si la barrière de potentiel disparait, elle le fait durant un intervalle de temps trop court pour augmenter la probabilité de transition.

Remarquons finalement que des résultats analogues peuvent être obtenus dans le cas d'un potentiel symétrique, dont la barrière est modulée périodiquement, comme dans le cas

1 dxt = [(a0 + 1 - cos t)xt - x3 t ]dt + u ./ådWt å dyt = 1.

(2.75)

Le petit paramètre a0 correspond à nouveau à la hauteur minimale de la barrière de potentiel. Les instants t tels que cos t = 1 correspondent à une bifurcation fourche évitée. Les résultats sont similaires aux précédents, avec d'autres exposants. Ainsi,

1. si u < u_c = a0 V å²/³, les trajectoires restent concentrées dans un voisinage d'ordre u/(| t | V./u_c) de la solution déterministe, et des transitions vers l'autre variété stable sont exponentiellement peu probables ;

2.6 Résonance stochastique 67

2. si u = u_c, les trajectoires peuvent passer d'un puits de potentiel à l'autre durant l'intervalle de temps [-vu, vu] ; aprés cet intervalle de transition, elles suivront à nouveau l'une des branches stables, et auront changé de branche avec probabilité exponentiellement proche de 1/2.