Phénomènes induits par le bruit dans les systèmes dynamiques décrits par des équations différentielles.

3.4 Commentaire

Nous allons regarder comment évolue le comportement de la solution du système (3.6) suivant les valeurs des différents paramètres. Avant d'étudier le système (3.6), nous considérons d'abord une approximation de ce système. Nous étudierons dans une autre partie l'écart entre la solution approchée et la solution de (3.4.1) et nous montrerons que cet écart est petit. Nous pouvons séparer le comportement de la solution en deux parties :

1. la trajectoire reste au voisinage du point d'équilibre P. La variable z est alors positive.

2. la trajectoire s'éloigne du point d'équilibre en allant dans la région z < 0

Nous considérons qu'il y a un spike quand la trajectoire coupe la ligne séparatrice z = 0 Pour z petit, nous pouvons approcher la première équation par dît/dt ' 1/2 et nous approchons î par

t

ît = 2 + î0 (3.22)

En prenant î0 = 0, nous avons alors pour zt l'équation approchée

dzt = [u + tzt]dt - ó1dW¹ + ó2d W² (3.23)

Par la méthode de la variation de la constante, nous obtenons :

t

zt = e^t2/²(z0e^-t2/² + u J e^-s2/²ds - ó1 J t e^-s2/²dW_s¹ + ó2 J t e-s2/2d W_s²) (3.24)

to to to

Le processus zt suit une loi normale N(E(zt), Var(zt)). Calculons E(zt) et Var(zt) :

t

E(zt) = e^t2/²(z0e^-t2/²

+ u f e^-s2/²ds) (3.25)

to

3.4 Commentaire 82

var(zt) = E[(zt - E(zt))²]

= et2E(-ó1 ^J e^-s2/²d_s¹ + ~2 ^J e-s2/2dWs2 )2

_to W to

/t t

(3.26)

to to

= et2(-ói _J e^-32ds + ó₂²J e^-s2/²ds)

par l'isométrie 'Itô.

Regardons la probabilité qu'il n'y ait pas de spike, c'est à dire que zt est plus grand qu'une valeur seuil x :

P[zt > x] =

Zæ

+00 e-(y-E(zt))^2/2var(zt) .2ðvar(zt)

dy (3.27)

100

æ _e-y²/2

(x) = 2ð

(3.30)

En faisant le changement de variable

u =	y - E(zt) (3.28) .var(zt)
nous obtenons +00 L P[zt > x] = e--u^2/2 -E(zt))/var(zt) du ü 2ð = 1 - ö(x - E(zt) .var(zt)^) où ö est la fonction de répartition de la loi normale standard		(3.29)

3.4 Commentaire 83

Nous prenons t0 = 0, x = 0 et z0 << u et étudions alors

x - IE(zt)

limt?+8 (3.31)
Vvar(zt)

Nous avons

Z0	+82 1 f+Ô0 2 ð s^2e^-sds = 2 ,J e^-sds = 4 (3.32) 0

Nous pouvons alors approcher

lim Vvar(zt) = Vð e^t2/²ó (3.33)

t?+8 4

Cela nous donne

lim t?+8

-E(zt Vvar(zt)

ð1/4 (3.34) ó

La probabilité p de faire un spike est égal à

P = ö(-

^f...1,ð1/4) = ö(-(ðE)^1/^4ä/2 +/~2 ~ (3.35) V/ 1 2

3.4 Commentaire 84

Nous pouvons distinguer les trois différents régimes suivant la valeur de u/ó

1. u >> ó alors la probabilité p est très petite et nous sommes dans le régime où il

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n'y a pas de spike. Dans les variables de départ, cela donne ó2 1 + ó2 2 << €¹/⁴ä

2. u << ó, alors la probabilité p est proche de 1. Nous sommes dans le régime où il y a une suite de spikes u << ó implique que u² << ó² qui s'écrit dans les

\/

variables d'origine ó2 1 + ó2 2 >> 3/4

3. |u| = O(ó) nous avons alors le régime intermédiaire avec une alternance de suite

\/

de spikes et de petites oscillations. Cela correspond à €¹/⁴ä << ó2 1 + ó2 2 << 3/4 Dans ce régime, nous avons le cas particulier u = 0 C'est a' dire ó1 = vcä où la probabilité de faire un spike est égale à 1/2.