Phénomènes induits par le bruit dans les systèmes dynamiques décrits par des équations différentielles.

Dédicaces

Je dédie ce travail à ma famille (au sens large) pour leur soutien et sa patience durant

ces années de formation.

A mes soeurs Kaouthar et Imen

A ma grand-mère-père

A eux, j'exprime ici toute ma gratitude et ma franche reconnaissance.

A mes collègues et mes amis

Le dernière dédicace, le plus important, va à mes parents (Khadidja et Berrezoug)

pour leur dévouement, leur compréhension et leur grande tendresse.

Je souhaite que Dieu leur préserve une longue vie.

OUSSAMA

Remerciements

Je remercie chaleureusement mon Directeur de mémoire M^r A.Kandouci, pour la façon de m'avoir encadré, orienté, aidé et conseillé. Je le remercie pour la deuxième fois.

Je remercie M^r. F.Madani, qui m'a fait l'honneur de présider le jury de ce mémoire. Je tiens à remercier aussi M^lle F.Benziadi et M^me F.Benziadi, qui ont accepté d'évaluer mon travail.

Je tiens à remercier M^r D.Djebbouri, pour m'avoir suivi et encourager dès le début.

Je remercie particulièrement les enseignants de master Probabilités et statistique, sans oublier les membres du laboratoire de Modèles stochastiques, statistique et Applications.

Je saisi cette occasion pour remercier l'ensemble des enseignants qui m'ont initié aux mathématiques.

je pense aussi à ceux et celles avec qui j'ai étudié. Pour finir, je remercie tous les amis et collègues qui m'ont soutenu et encouragé.

Introduction

Les équations différentielles stochastiques servent de modèle mathématique à des systèmes faisant intervenir deux types de forces, l'une déterministe et l'autre aléatoire. Par exemple, le mouvement d'une particule macroscopique dans un fluide ou un gaz peut être décrit par une équation de la forme

,, mx

= Fext + Fstoch

Ici _Fext décrit une force extérieure deterministe, par exemple la gravite ou une force électromagnétique. _Fstoch décrit l'effet des collisions erratiques des molécules du fluide avec la particule macroscopique. Le mouvement des molécules n'étant pas connu en détail, nous voulons modéliser le second terme par une force aléatoire, ou un bruit. La manière de modéliser le bruit dépend évidemment de la nature du fluide et des échelles de temps et de longueur en jeu. La situation la plus simple apparaît lorsque le temps de de corrélation des molécules est négligeable par rapport à l'échelle de temps caractéristique de la particule, on parle alors de bruit blanc.

les équations d'évolution sont des itérations d'applications (Collet et al. [1980]) ou des équations différentielles (Hirsch et al. [1974h]). Dans le premier cas, la terminologie consacrée est un système dynamique à temps discret, dans le second, à temps continu. Ce mémoire concerne plus particulièrement les systèmes dynamiques à temps continu, i.e, les systèmes d'équations différentielles dans lesquelles le temps n'apparaît pas explicitement, lorsque de tels systèmes font intervenir plusieurs échelles de temps caractéristiques, ce qui se traduit par la présence d'un ou plusieurs petits paramètres facteur dans l'une ou plusieurs des composantes de leur champ de

vecteurs vitesse, ils sont qualifiés de lents-rapides. Les systèmes dynamiques lents-rapides ont, dans un premier temps, été étudiés à l'aide de la théorie des perturbations

TABLE DES FIGURES 9

singulières (Andronov et al. [1966]) qui a permis de mettre en évidence une dichotomie du mouvement en trajectoires lentes et rapides. Le qualificatif "singulier" fait référence au fait que lorsque l'on fait tendre " vers zéro, le nombre de degrés de liberté du système change. Ses solutions convergent alors de façon exponentiellement rapide (Tihonov [1952]) vers voisinage de variétés lentes,

Le plus célèbre système lent-rapide est l'équation de van der Pol dont l'analyse peut aller retour au travail de van der Pol dans le 1920 [1] De nouveaux phénomènes (tels que des oscillations d'éclatement) peuvent être induite par une perturbation aléatoire impact sur un système en temps multiples échelles [2][43] et stochastiques réonance.[44][45] Freidlin et Wentzell [46] considérés comme le travail classique sur les perturbations systèmes dynamiques stochastiques Berglund et al.[47] [48] discuté des systèmes dynamiques lent-rapide avec gaussien bruit blanc et le bruit additif. Les résonnace stochastique est une des phénomènes qui se découlet des systémes lents-rapide

Le phénomène tres surprenant de résonnance stochastique est etudie par les physiciens depuis une vingtaine d'années et s'est récemment impose de façon évidente dans de nombreux domaines des sciences naturelles : les lasers, les systèmes électroniques, les transmissions neuronales, la climatologie, Le point commun des problèmes étudies est la présence d'un système Dynamique (plus ou moms complexe) qui subit deux perturbations extérieures :

1. une perturbation déterministe et périodique en temps généralement de faible intensité

2. une perturbation aléatoire lie soit a un source aléatoire soit a une agrégation d'erreurs de toutes sortes (erreurs de mesures, simplifica- tion de modèle,...)

Une combinaison optimale de ces deux perturbations cree le phenomene de résonance: la solution du système dynamique comporte alors une forte composante périodique qui ne peut provenir uniquement de la perturbation déterministe. C'est ainsi notamment que certains climatologues expliquent les grands changements climatiques qui apparaissent tous les 100 000 ans (changements amplitude 10 degres) et qui seraient une conséquence d'une très faible vari- ation de la constante solaire associées a une perturbation aléatoire de la température de la terre lie notamment au temps, aux saisons

TABLE DES FIGURES 10

Je passe à l'étude générale de l'équation de FitzHugh-Nagumo stochastique dans le

Le plan de ce travail est une conséquence des préoccupations pédagogique déjà énoncées.

Dans le premier chapitre

On donne une définition mathématique d'une équation différentielle stochastique accompagnée de quelques exemples. On citera ensuite l'un des théorèmes les plus importants, à savoir le théorème d'existence et d'unicité de la solution d'une EDS. On finira ce chapitre par l'énoncé d'un grand théorème qu'on doit aux mathématiciens Yamada et Watanabe

.

Dans le deuxième chapitre

Dans une premire partie bref survol de résultats connus sur les EDO rapides-lentes déterministes, on rappele d'abord le théorème de Tikhonov [10] et celui de Fenichel [11] sur la dynamique au voisinage de variétés lentes; puis nous discutons la notion de bifurcation dynamique, en particulier les cas de la bifurcation noeud-col et de la bifurcation fourche

Dans la deuxième partie on commençe par l'effet du bruit sur une classe particulière de systèmes singulièrement perturbés puis j'ai établir un résultat général sur la concentration des trajectoires au voisinage d'une variétés lente stable d'une EDS rapide-lente. Ensuite, nous examinons la précision d'une approximation de la dynamique par sa projection sur la variétés lente. Les résultats présentes ont été publies dans l'article [12]. après avoir donné des résultats généraux sur les équations lent-rapides, (section 1) j'ai étudié le comportement des solutions du système déterministe associé au modèle de FitzHugh-Nagumo en introduisant des coordonnées adaptées que je utilisé par la suite

Ensuite on passe de résultats connus sur les EDO rapides-lentes stochastique puis on donne une description détaillée de l'effet du bruit sur une bifurcation Noeud-col dynamique [12], puis d'une bifurcation fourche dynamique [12]. On finira ce chapitre par le phénomène de la résonance stochastique et les système potentielle bistable sont également étudies en détail

Dans le troisième chapitre

TABLE DES FIGURES 11

cas général .puis en utilisant des résultats généraux sur les systèmes lents-rapides stochastiques. Ensuite, à l'aide de différents changements de variables, nous obtenons des premières approximations pour les frontières

entre les différents régimes de comportement des solutions. Nous distinguons trois régimes

1. un régime où les spikes sont isolés et rares, pour un bruit faible

2. un régime où il y a une suite de spikes sans période de repos, pour un bruit fort,

3. un régime intermédiaire où il y a des trains de spikes espacés par des période de repos, pour un bruit intermédiaire. La transition entre les régimes de bruit fort et de bruit faible

Dans le dernier chapitre on traitera le modèle de Hull-white/Vasicek qui sera un exemple illustratif, on va tracer quelques trajectoires pour ce processus moyennant le langage de programmation R