Résolution numérique des équations différentielles ordinaires linéaires

Chapitre 1

Rappels et notations

1.1 Généralités

Une équation différentielle est une relation entre la variable x, une fonction inconnue y = y(x) et ses dérivées y',y'', ..., y(n)

y(n) = f (x, y^', y^'', ..., y(fl_1)) : (1.1.1)

L'entier n s'appelle ordre de l'équation différentielle (1.1.1).

Intégrer l'équation différentielle (1.1.1), c'est trouver toutes les fonctions y qui vérifie la relation (1.1.1), le graphe de la fonction y est appelé courbe intégrale de l'équation différentielle (1.1.1). Intégrer l'équation (1.1.1) revient à trouver toutes les courbes intégrales.

1.2 Équations différentielles du premier ordre

1.2.1 Classification des équations différentielles du premier ordre

Définition 1.2.1 Une équation différentielle du premier ordre est de la forme :

y' = f(x,y) (1.2.1)

On distingue trois classes principales d'équations différentielles du premier ordre :

1. Équations dont on peut séparer les variables.

2. Équations homogènes (où y' ne dépend que du rapport y/x).

3. Équations linéaires.

1.2 Équations différentielles du premier ordre 3

Ces dernières peuvent être à coéfficients constants ou non, sans second membre (équations homogènes) ou avec second membre. Ce sont les équations différentielles les plus utilisées dans toutes les branches de la physique (mécanique, électricité,...).

1.2.2 Les équations différentielles linéaires du premier ordre

Définition 1.2.2 Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation de la forme

y' (x) + a(x)y (x) = b(x), (1.2.2)

où a et b sont deux fonctions de la variable réelle x continues sur le même intervalle I C II1. On appelle solution de (1.2.2) toute fonction y dérivable sur I qui vérifie (1.2.2).

Lorsque le second membre b (x) est nul, on dit que l'équation différentielle (1.2.2) est sans second membre.

Résolution d'une équation différentielle linéaires sans second membre

Proposition 1.2.1 Soit a(x) est une fonction continue sur un intervalle ouvert I de II1_; la solution générale de l'équation différentielle sans second membre

y' + a(x)y = 0 (1.2.3)

est

y = k exp(--A(x))

où A(x) est une primitive de a(x) et k est une constante réelle. Preuve Si y ne s'annule pas sur I on peut séparer les variables

_y'

y

= --a(x). (1.2.4)

_Z

ln(jyj) =

I

--a(x)dx

En intégrant les deux membres de (1.2.4), on obtient

1.2 Équations différentielles du premier ordre 4

fOn déduit que si A = I

a(x)dx est une primitive de a(x) sur I alors

ln(jyj) = --A(x) + c, (c 2 II1).

D'où

jyj = e(A(x)+c) = y = e^ce^~A(x).

En posant k = #177;e^c, la solution de l'équation différentielle ( 1.2.3) devient

y = ke~A(x) = ke

Z~ I

a(x)dx , (k 2 II1). (1.2.5)

y = k(x)e_A(x),

Exemple 1.2.1 Soit l'équation différentielle du premier ordre sans second membre suivante:

y' + y sinx = 0.

La solution générale de cette équation est :

y = k _ecos x, (k 2 II1).

Résolution d'une équation différentielle non homogène avec second membre Théorème 1.2.1 La solution générale de l'équation avec second membre (1.2.2) est

fy = eA(x) I

b(x)e^A(x)dx

où A(x) est une primitive de a(x).

Preuve Pour résoudre l'équation différentielle (1.2.2) , on procède de la manière suivante : Etape 1 Résolution de l'équation homogène (1.2.3) (sans second membre).

Etape 2 On applique la méthode de variation de la constante

En posant k k(x), la solution (1.2.5) de l'équation différentielle (1.2.3) devient

1.2 Équations différentielles du premier ordre 5

k

y = k exp(-- ln(x)) =

x

, (xE1I8*).

et on a

y' = k^'(x)e^-A(x) -- A^'(x)k(x)e^-A(x) = k^'(x)e^-A(x) -- a(x)k(x)e^-A(x)

En remplaçant y et yi dans l'equation (1.2.2), on obtient :

k^'(x)e^-A(x) -- a(x)k(x)e^-A(x) + a(x)k(x)e^-A(x) = b(x)

D'où

k^'(x)e^-A(x) = b(x) =) k^'(x) = b(x)e^A(x) (1.2.6)

En intégrant les deux membres de l'équation (1.2.6), on trouve

Zk(x) = I

b(x)e^A(x)dx.

Donc la solutions générale de l'équation (1.2.2) est

Zy = e-A(x) I

b(x)e^A(x)dx

Exemple 1.2.2 On considère l'équation différentielle suivante

1 y' + x

y = 3x, (x E 1[8^*) . (1.2.7)

Etape 1 : On commence par la résolution de l'équation homogène

1

y = 0, (x E 1[8^*) . (1.2.8)

y' +

x

On écrit l'équation différentielle (1.2.8) sous la forme

dy y

dx

= --. (1.2.9)
x

En intégrant les deux membres de (1.2.9), on obtient

1.3 Équations différentielles linéaires d'ordre n 6

Etape 2 : La méthode de variation de la constante. On pose k - k(x), comme

, (xEIIB^*)

k(x)

y(x) = x

est une solution de l'équation différentielle (1.2.7), alors

x k^'(x) - k(x) + x2

1 k (x) x x

= 3x

ce qui implique

k^'(x) = 3x².

on intègre cette dernière équation, on trouve

k(x) = x³ + c, (c E I[8)

Donc la solution générale de l'équation (1.2.7) est

x3 + c

y=

, où c est une constante réelle et (x E II8^*) .

x