1.3 Équations différentielles
linéaires d'ordre n
1.3.1 Cas d'une équation non homogène
Une équation différentielle
linéaire d'ordre n, (n E N) à
coéfficients fonctions continues à valeurs réelles est de
la forme suivante
y(n) + an-1
(x)y(n-1) + ... + ai (x)y(i) +
... + a1 (x)y(1) + a0 (x)y =
r (x) (1.3.1)
où y(i), 1 < i
< n sont les dérivées d'ordre i de la
fonction y par rapport à x, et ai , 1 <
i < n sont des fonctions continues à valeurs
réelles.
Une solution de cette équation est une fonction
y (x) , n fois dérivable sur un intervalle ouvert I de
IL
Cependant pour trouver cette solution, on commence
tout d'abord par la résolution de l'équation homogène
associée pour trouver la solution dite homogène ou
complémentaire puis on utilise une méthode analogue à la
méthode de variation de la constante définie
précédement (1.2.1).
1.3 Équations différentielles linéaires
d'ordre n 7
1.3.2 Cas d'une équation homogène
L'équation homogène associée
à l'équation différentielle (1.3.1) est
y(n) +
an-1 (x)
y(n-1) + ... +
ai (x)
y(i) + ... + a1
(x) y(1) +
a0 (x) y = 0
(1.3.2)
Proposition 1.3.1 Toute combinaison linéaire
de fonctions solutions de l'équation différentielle
homogène (1.3.2) est aussi une solution de cette
équation.
Preuve Si les fonctions y1,
y2, ...yn sont toutes solutions de
(1.3.2) linéairement indépendantes, alors
|
8
<>>>>>>>
>>>>>>>:
|
(n)
y1 +
an-1 (x)
y(n-1)
1 + ... + ai
(x) y(i)1 + ...
+ a1 (x) y(1)
1 + a0 (x)
y1 = 0
y2 +
an-1 (x)
y(n-1)
(n) 2 + ... + ai
(x) y(i)2
+ ... + a1 (x)
y(1)
2 + a0 (x)
y2 = 0
:
:
:
yn +
an-1 (x)
y(n-1) (n) n+
... + ai (x)
y(i)n + ... +
a1 (x) y(1)
n + a0 (x)
yn = 0
|
(1.3.3)
|
Xn i=1
(n)
(n-1)
(i)
En multipliant chaque ligne i du système (1.3.3)
par une constante Ci,1 < i < n , on
obtient
i=1 i=1
n
n
!Ciyi +
an-1 (x)
XCiyi! + ... +
ai (x) XCiyi
+
!Ciyi + a0
(x) XCiyi!
= 0
(1)
+ a1
(x)
i=1
n
i=1
|
Donc
|
Xn i=1
|
Ciyi est solution de
(1.3.2).
|
Définition 1.3.1 La solution
générale de l'équation homogène est une combinaison
linéaire des n formes solutions
y1, ... , yn
toutes linéairement indépendantes
yh = c1y1 + ... +
cnyn
Lorsque les fonctions y1,
... , yn sont toutes linéairement
indépendantes, on dit que l'ensemble {y1, ... ,
yn} forme une base de solutions de
l'équation (1.3.2).
1.4 Problème avec conditions initiales
8
Remarque 1.3.1 Si les fonctions ai ;
1 < i < n sont toutes constantes sur 1[8,
l'équation (1.3.1) est dite équation différentielle
d'ordre n à coéfficients constants avec second
membres.
y(n) +
an-1y(n-1) + ::: +
aiy(i) + ::: +
a1y(1) + a0y = r (x)
(1.3.4)
Définition 1.3.2 On définit le
polynôme caractéristique de l'équation (1.3.4) par
P(À) = An +
an-1Àn-1 + ::: + a1io + a0
(1.3.5)
Théorème 1.3.1 ([2]) Lorsque
le polynôme caractéristique p(À) a des
racines A1; :::; Àk d'ordre de multiplicité
respectif r1; :::; rk l'ensemble des solutions de
l'équation différetielle (1.3.2) est le (C-espace vectoriel de
dimension m ayant pour base les fonctions
yj;q (x) =
tqeA3x ; 1 < j < k ; 0
< q < rj - 1.
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