1.4 Problème avec conditions initiales
En général, les problèmes physiques font
intervenir des conditions initiales sur la fonction y et ses
dérivées y'; y'';
:::; y(n) afin d'obtenir un certain comportement de la solution y de
l'équation différentielle (1.3.1). Dans cette section on
s'intéresse à la résolution des équations
différentielles (homogènes ou non-homogènes) d'ordre n et
de n conditions initiales de type
{
y(n) + an-1
(x) y(n-1) + ::: + ai
(x) y(i) + ::: + a1
(x) y(1) + a0 (x) y = r
(x)
y (0) = k0
y' (0) = k1
.
.
.
y(n-1) = kn-1
(1.4.1)
Théorème 1.4.1 ([2],
[1])"Existence et unicité de la solution" Si les
fonctions an-1; :::; a1; a0 sont toutes
continues sur un intervalle ouvert I C 1[8, alors le problème
(1.4.1) a une solution unique.
1.4 Problème avec conditions initiales
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Exemple 1.4.1 On résout le
problème:
|
y'' - 4y
8
y(0)
<
: y'(0)
|
=
=
=
|
0
1
2
|
(a)
(b)
(c)
|
(1.4.2)
|
où (a) est une équation
différentielle linéaire d'ordre deux à coefficients
constants sans second membre, (b) et (c) sont deux conditions
initiales.
L'équation caractéristique associée à
(a) est
r2 - 4 = 0 (1.4.3)
elle admet deux racines r1 = 2 et r2 =
-2. L'ensemble des solutions de l'équation (a) est
l'ensemble des fonctions y définies sur par:
y(x) = c1e2x +
c2e_2x, c1, c2 E .
Comme y vérifie les conditions initiales (b) et
(c) , alors :
J
c1 + c2 = 1
c1 - c2 = 1
d'où
J c1 = 1 c2 = 0 :
Donc l'ensemble des solutions du système (1.4.2)
est la fonction y définie sur par y(x) = e2x.
T
h = N
| 
