II/Collecte des données
A l'issue des questionnaires, nous avons recueilli les
réponses des25 enseignants : instituteurs et professeurs .Ainsi, il
a été retenu comme résumé des
réponses :
1. UNE CATEGORISATION DES REPRESENTATIONS DES
MATHEMATIQUES
1-1 -Quel est votre point de vue sur les
mathématiques ?
(Cf. Questionnaires pages
précédentes)
Analyse des données
a.chez les instituteurs :
Les mathématiques sont des outils
(nombres-formules-relations calculs opératoires-figures etc....) dont
l'acquisition permet de résoudre des problèmes de vie. L'ensemble
de ces outils acquis constitue des objets appelés connaissances
mathématiques et ces objets seront réinvestis dans d'autres
situations de résolution de problèmes
(techniques-économies-mécaniques-statistiques etc....)
d'où le schéma objet-outil et outil-objet.
b. chez les professeurs
Les mathématiques sont des objets à enseigner
aux élèves dont l'acquisition passe par l'étude des outils
s'appuyant sur la démonstration et la construction de la
connaissance : objet à enseigner. Cet objet devenu une nouvelle
connaissance,intégrera le champ des connaissances mathématiques
et permettra de fixer d'autres objets à acquérir
ultérieurement. Et dans ce cas cet objet sera considéré
comme outil pour la démonstration et la construction de la nouvelle
connaissance (objet) ; d'où le schéma : outil-objet.
Analyse comparative des
données :
Comme pour les instituteurs, les professeurs aussi
considèrent les mathématiques aux concepts : objet et outil.
Mais les relations dialectiques sont différentes selon leur
représentation.
En effet, les instituteurs et les professeurs
considèrent les mathématiques comme des outils pour les autres
sciences et pour les connaissances mathématiques en
général. Dès lors pour découvrir des
vérités mathématiques universellement approuvées,
il faut valider des outils à savoir
(théorème-axiome-définition...) par des
démonstrations ou des preuves univoques. Et ces outils seront
maniés, réétudiés dans d'autres situations pour
clarifier la pensée logique, le raisonnement, la démarche et la
résolution de problème.
En guise d'exemple, si nous nous intéressons à
l'objet : `'étude des nombres complexes'' dont l'origine date
de la nécessité de résoudre des équations
polynomiales du 3edegré où les nombres positifs et
négatifs ont été connus. La question à poser
était : comment résoudre des équations à
coefficients numériques positifs ou négatifs ayant trois racines
numériques positives ou négatives. Le besoin de calculer des
racines carrées de nombres négatifs se faisait alors sentir. Il a
fallu attendre au 18esiècle (wessel 1798) et même le
début du 19e siècle avec les travaux de Gauss pour que
ces nombres complexes acquièrent du sens. Ainsi on a :
i2=-1 ou z=3+i avec 3(partie réelle) et (partie imaginaire).
Nous disons alors qu'un tel concept est appelé outil lorsque son usage
permet de résoudre un problème. L'outil est alors engagé
par quelqu'un, dans un contexte problématique et à un moment
donné.
Par ailleurs les instituteurs et les professeurs voient les
mathématiques comme des objets en corps de connaissances. Et ces objets
peuvent êtremodifiés par les outils intégrateurs pour
créer de nouvelles connaissances Par exemple la fonction exponentielle
utilisée dans l'objet : les nombres complexes ; modifie la
constitution de celui-ci, c'est-à-dire son architecture.
C'est ainsi que e2i peut s'écrire sous la
forme :(cos2i +sin2i)/2
Cependant on note une dialectique entre l'outil et l'objet
Pour les instituteurs le schéma est le suivant :
objet-outil-objet. Et pour eux l'objet mathématique a une dimension de
savoir à un moment donné, culturellement et socialement reconnue
par tous indépendamment de ses usages et vient d'étendre les
connaissances mathématiques. Cet objet sera réutilisé et
réinvesti dans d'autres contextes et devient outil dans ce cas. Par
exemple pour l'objet « aire d'une figure » l'instituteur
utilise des situations d'enseignement-apprentissage de découvertes
nouvelles par intuition pour faire remarquer la formule de l'aire de la figure
proposée ; et dès que la figure est connue par les
élèves ceux-ci utilisent d'autres situations d'application en
guise d'objet de connaissance.
Enfin pour les professeurs le schéma est le
suivant : outil-objet .Les outils à savoir,
propriétés, théories, définitions, axiomes
déjà acquis par les élèves serviront d'outils de
connaissances pour l'installation de l'objet à enseigner. Ce passage de
l'outil à l'objet repose sur la démonstration et la
construction.
Par exemple pour enseigner l'objet : « la
bissectrice d'un angle » il faut passer par les
outils : « équidistance d'un point à une
droite » pour pouvoir démontrer que les trois bissectrices
d'un triangle sont concourantes et que le point de concours est le centre du
cercle inscrit dans le triangle.
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