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CHAPITRE I : REVUE SUR QUELQUES TECHNIQUES DE
COMPRESSION D'IMAGES
rationnel. Ce code de sortie est un nombre à virgule
flottante compris entre 0 et 1, dont le nombre de chiffres après la
virgule correspond au nombre de symboles. Le codeur arithmétique est
plus performant que le codeur de Huffman, mais il est plus complexe à
implémenter.
CONCLUSION
Dans ce chapitre, nous avons présenté plusieurs
techniques de compression d'images fixes sans et avec perte. Nous allons dans
la suite de ce document nous intéresser précisément
à deux méthodes de compression qui sont : la méthode de
compression par ondelettes et celle par curvelets appartenant à la
famille des méthodes de compression avec pertes par
transformées.
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CHAPITRE II : DE L'ANALYSE DE FOURRIER A L'ANALYSE PAR
ONDELETTES
CHAPITRE II : DE L'ANALYSE DE FOURIER A L'ANALYSE
PAR
ONDELETTES.
INTRODUCTION
L'idéal lors du traitement numérique d'une
image en vue d'une compression ou d'un tatouillage d'informations, est de
conserver d'avantage le caractère agréable de l'image. Par
contre, dès lorsque l'on veut réduire d'avantage le poids d'une
image pour répondre aux limites des systèmes de transmissions ou
de stockages ou encore pour un éventuel tatouillage d'informations, il
est indispensable de trouver un compromis optimal et satisfaisant. En effet
l'on observe dans les détails d'une image plus de régions (zones
lisses ou basses fréquences) que de frontières (zones à
brusque variations ou hautes fréquences ou contours), il est donc
évident de penser que si l'on veut compresser l'image, une
transformée affectant de faibles valeurs aux zones lisses de l'image et
de fort coefficients là ou l'intensité varie beaucoup sera bien
adaptée : il suffira alors de garder les plus gros coefficients.
Un outil mathématique s'est avéré
particulièrement efficace aussi bien pour le débruitage, que pour
la compression, ou encore pour la détection de contours : il s'agit de
la transformée en ondelette. L'analyse par ondelette découle tout
naturellement de l'analyse de Fourier. Il est donc naturel de commencer par
celle-ci afin de saisir les bases de cette nouvelle technique.
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CHAPITRE II : DE L'ANALYSE DE FOURRIER A L'ANALYSE PAR
ONDELETTES
I. L'ANALYSE DE FOURIER
I.1 DECOMPOSITION EN SERIE DE FOURIER DES FONCTIONS
PERIODIQUES
Beaucoup d'équations physiques n'avaient pas de
solution sous forme de fonctions simples. Ces solutions ont été
représentées sous formes de séries de fonctions
trigonométriques. En reprenant cette méthode, Fourier a
montré que l'on pouvait ainsi représenter une large classe de
fonctions.
Si x(t) est une fonction complexe de variable complexe
périodique de période T on a :
8
f(x)=2a0+/ (an cos
~ ~ ~~ sin ~~~~
~ ~
n-_1
Les coefficients sont calculés donc par :
2 T
~~ ~~~ ~~~~ cos ~~~~ ~ ~
~ dx ~ ~ ~~~~ sin ~~~~
et ~~ ~
~ ~ ~ dx
Interprétation
Cela peut paraître bizarre de recomposer une fonction
en sommant en l'infini les intégrales de produit de celle-ci avec les
sinus et les cosinus. C'est en réalité exactement
équivalent à ce que l'on fait en algèbre vectoriel,
à savoir exprimer un vecteur dans une base et pouvoir chaque coefficient
en utilisant le produit scalaire. Le principe reste le même, le plus
difficile est de faire abstraction de la notion habituelle de fonction pour se
les représenter dans un espaces fonctionnels comme étant des
vecteurs, autrement dit, les points ! De plus, le facteur
n sur lequel a lieu la sommation nous indique que pour une
fonction de fréquence í= T
donnée, les sinus et cosinus de sa série de
Fourier ont une fréquence de ní ; c'est-à-dire une
fréquence multiple entier de la fréquence du signal
analysé.
Voici un exemple de série de Fourier. Soit la fonction
périodique suivante
F : R-) R telle que : F(x)= (2 !"#$ -- % & x & 0
2 !"#$ 0 & x & %
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