CHAPITRE II : DE L'ANALYSE DE FOURRIER A L'ANALYSE PAR
ONDELETTES
déplaçant la fenêtre d'analyse. L'ensemble
de ces transformées de Fourier localisées forme la
transformée de Gabor du signal. On obtient donc une analyse du signal
à la fois en temps et en fréquence. Les coefficients de cette
transformée qui dépendront donc des deux paramètres que
sont la fréquence ë ?et la position de la fenêtre
b sont donnés par l'équation.
Wf (ë,b) = ~ ~(*) co(* --
b)e-2ti'l/d* '
où la fonction w est la fenêtre choisie pour
analyser le signal.
Le principe de cette transformée s'exprime dans la figure
ci-dessous :
Il consiste à observer le signal par intervalles de
durée 250ms où on suppose le signal comme stationnaire et on fait
une étude globale de cette portion par la TF permettant d'en
déduire les 4 fréquences qui le composent et surtout leur cadence
temporelle.
Inconvénients de la Transformée de Fourier
fenêtrée
· Taille fixe de la fenêtre
On peut cependant noter que c'est un inconvénient
majeur de la méthode de Gabor. En effet, la fenêtre est de
longueur fixe, ce qui est un handicap important lorsqu'on veut traiter des
signaux dont les variations peuvent avoir des ordres de grandeur très
variables. En particulier, l'attaque d'une note de musique est une phase
siège de hautes fréquences. Bien qu'étant très
brève, cette phase est caractéristique de l'instrument et de
l'interprétation. Elle est donc tout aussi importante que la phase de
maintien de la note qui contient en général des fréquences
plus basses. Ce pendant, le fait de garder constante la taille de la
fenêtre d'analyse implique un sérieux
Rapport Rédigé et présenté
par SIMO TEGUEU et EMBOLO AURELIEN Page 18
CHAPITRE II : DE L'ANALYSE DE FOURRIER A L'ANALYSE PAR
ONDELETTES
compromis. Avec une fenêtre
étroite, on localise plutôt bien les composantes
transitoires de hautes fréquences mais on devient alors aveugle aux
composantes de longue durée, donc de basse fréquence, car la
période du phénomène observé est trop grande pour
rentrer dans une petite fenêtre. A l'inverse, quand une fenêtre est
trop large, on ne peut préciser l'instant où se produit un
changement brutal dans le signal (pic ou discontinuité) : cette
information est noyée dans la totalité de l'information
correspondant à l'intervalle de temps sélectionné par la
fenêtre. Ce compromis peut être relié au principe
d'incertitude d'Heisenberg concernant la dualité
onde-corpuscule. Dans son papier « Uncertainty paper »
(1927), Heisenberg écrit qu'une particule élémentaire n'a
simultanément une position et une quantité de mouvement
précise. Cet énoncé, rapporté au domaine du
traitement du signal, signifie qu'un signal n'a pas
simultanément une localisation précise en temps et en
fréquence.
L'analyse par gaborettes a pour objet de déployer le
signal dans le plan temps-fréquence. Cela résout le
problème de la dictée musicale (qui consiste à
écrire la partition en entendant la musique), mais toutes les notes ont
alors la même durée puisque la taille de la fenêtre reste
constante.
Nous venons donc de voire que garder constante la taille de la
fenêtre durant l'analyse d'un signal ne nous donnait pas la
totalité des informations : il faut faire un choix entre la localisation
des hautes fréquences ou la localisation des basses fréquences.
Il a donc fallu trouver un outil induisant une méthode de reconstruction
qui soit indépendante de l'échelle d'analyse. Ce nouvel outil
s'appelle les ondelettes.
II. L'ANALYSE PAR ONDELETTES
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