CHAPITRE II : DESCRIPTION DU PROBLEME ET
FORMULATION
MATHEMATIQUE
Mémoire de Master Recherche en physique.
Rédigé par Haroun Boukoun Abdoulaye Page 21
Dans ce qui suit nous allons faire une description du
problème de notre étude, ensuite présenter les
équations de bases à résoudre dans le code de calcul
industriel FLUENT pour obtenir les profils de champs dynamiques; profils de la
vitesse et de la trainé et enfin présenter la méthode de
résolution numérique utilisée par le code de calcul
industriel FLUENT.
II-1- Description du problème physique
Le dispositif expérimental utilisé pour la
validation de la simulation est une cuve, présenté par
Rojaona et al. (2009). La cuve ayant 20m de longueur, une
hauteur égale à 1m et une largeur de 1m. On place quatre
cylindres de même dimension perpendiculairement au sens de
l?écoulement dans la cuve. Le diamètre varie pour
différentes formes de la géométrie des cylindres a
étudié.
y z
0
x Surface libre
H
H
D
Figure 10 : Géométrie et
coordonné du système
II.2 - Formulation mathématique
II.2.1- Hypothèses simplificatrices
Les hypothèses simplificatrices appliquées dans
notre étude sont les suivantes : -le fluide (eau) est
incompressible
-le régime est turbulent
-l'écoulement est bidimensionnel
-les propriétés physiques sont supposées
constantes (u, )
II-3 Equation de continuité
Pour un écoulement incompressible, les bilans
fondamentaux locaux pour un fluide de masse volumique (en kg/m-3)
s'écrivent dans leur forme non conservative en coordonnées
cartésiennes.
Le principe de l'équation de continuité
s'énonce ainsi : la variation totale de matière est égale
à la diminution de la masse dans le volume.
L'équation de continuité est donnée par la
formule suivante :
( ? (2.1)
Ou encore ( )
L'eau est considérée comme un fluide
incompressible ( =constante) L'équation devient alors :
( )
II-3.1 Equation de quantité de mouvement
La loi de conservation de quantité de mouvement traduite
par les équations de Navier-Stokes exprime tout simplement la loi
fondamentale de la dynamique à un fluide Newtonien. Les équations
de quantité de mouvement écrites suivants x (i =1, 2,3) sont :
( )
( )
(
Le terme visqueux peut s'écrire en fonction de tenseur de
déformation Sij, soit:
( )
Représente les forces dues à la pression
( )
(
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II-3.2 Equation de transport de quantité de
mouvement
On applique pour cela l'opérateur moyen d'ensemble aux
équations du mouvement en pratiquant une décomposition de
Reynolds sur les inconnues, et on retrouve :
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( ) * ( )+ ( )
( )
Les Fi sont les forces de volumes.
L'idée développée par Boussinesq pour
amener la fermeture des équations est de rassembler les termes visqueux.
Pour ce faire, il a utilisé l'analogie aux tensions visqueuses pour
définir le concept de viscosité turbulente. Ainsi, les
contraintes turbulentes seront proportionnelles aux gradients des vitesses
moyennes :
Sont les composantes du tenseur des contraintes de Reynolds,
traduisent l'effet de la turbulence sur l'évolution du mouvement moyen
et rendent les systèmes d'équations ouverts, pour les relier
à l'écoulement moyen, on faut recours au concept de Boussinesq
qui permet de les exprimer en fonction des gradients des vitesses moyennes.
= [ (2.5)
] ( )
Dans cette expression le deuxième terme est là
pour assurer l'égalité lorsque i = j et constitue une
pression.
Le terme k représente l'énergie cinétique
turbulente.
Le tenseur de déformation
Sij= [
] (2.6)
2 représente l'énergie cinétique
turbulente
v k3/2 / = K2 /L (2.7)
=La viscosité turbulente
Et le taux de dissipation
Le terme est quant à lui appelé viscosité
turbulent et, au contraire de la viscosité moléculaire, n'est pas
une propriété du fluide mais dépend fortement de
l'état de turbulence du fluide.
L'énergie cinétique turbulente ne formera donc
pas une inconnue supplémentaire et seul le terme de viscosité
turbulente restera à déterminer.
C'est pourquoi le concept de viscosité turbulente ne
nous apporte qu'une fermeture « apparente » des équations.
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