II-4- Les équations pour un écoulement
diphasique et turbulent
Notre milieu diphasique est constitué d'un milieu
continu d'eau, dans lequel se trouvent des bulles d'air. Il existe une
interaction forte entre l'eau et l'air. Les équations de conservation de
la masse et de la quantité de mouvement doivent donc prendre en compte
ce couplage.
ü Equations de continuité pour la phase q :
( ? ) ?
( )
: représente le transfert de masse de la
pième phase à la qième phase
Où on a et
: la masse volumique de la phase q et sa vitesse
(m.s-1)
ü Equation de la conservation du moment
l'équation d'équilibre de la quantité de mouvement pour la
phase q : en ne prenant en compte que les forces significatives donnent :
( ? ? ) ?????????? ?( ???
? ) ( ?? ????????? ) ( )
Où:
- : tenseur des contraintes (Pa) de la qiéme
phase.
|
- ??
|
: force extérieures de volumes (N.Kg-1 )
(poids, poussé d'Archimède).
|
-
????????? : force de masse ajoutée (N.Kg-1
).
-
?? : force d'interaction (N.m-3)
à l'interface.
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II-5 Modélisation de la méthode de volume
finis
La méthode des volumes finis est
caractérisée par son avantage à faciliter la
résolution des équations de conservation de masse, de
quantité de mouvement, et d'énergie dans tous les volumes finis
ainsi que dans tout le domaine de calcul.
Elle facilite la linéarisation des termes non
linéaires des équations de conservation telle que le terme
source.
La méthode consiste à mettre les équations
sous la forme d'une équation générale de transport
(convection - Diffusion) pour la variable Ö :
( ) ( ? ) ? ( )
Où I est les termes de convection, II les termes de
diffusion et III les termes sources de la grandeur considérée.
II-6 Problème de fermeture du système
Dans l'optique de modéliser la turbulence, il faut
associer à ces équations de Reynolds des équations dites
de « fermeture ». A cause de la nature non-linéaire des
équations bilans, de nouveaux termes de corrélations doubles
appelés les tenseurs de Reynolds apparaissent dans les
équations de conservation moyenne (ces termes sont ici
intégrés dans les termes de diffusion). Ils représentent
le transport des fluctuations de vitesse par elles-mêmes et traduisent
l'effet de la turbulence sur l'évolution du mouvement moyen et rendent
le système d'équation ouvert (plus d'inconnues que de relations).
Cette phase de formulation de nouvelles équations de fermeture du
système correspond à la modélisation de la turbulence
proprement dite.
Par définition, nous dirons qu'un modèle de
turbulence est la procédure numérique de fermeture du
système d'équations de l'écoulement moyen. Pour ce faire,
depuis 1970, divers modèles de turbulence ont été
développés et appliquées aux écoulements
turbulents.
La première est celle des modèles à
viscosité turbulente pour lesquels on évalue le tenseur des
contraintes turbulentes à partir du tenseur des déformations.
La seconde est celle des modèles aux tensions de
Reynolds, pour lesquels on résout une équation de transport pour
chacune des composantes du tenseur des contraintes turbulentes.
Nous nous intéresserons aux modèles à
viscosité turbulente (en Anglais, « Eddy-Viscosity Model »),
il s'agit d'établir des équations reliant la viscosité
turbulente aux autres inconnues du problème telles que les gradients de
vitesse via une échelle de longueur appelée
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longueur de mélange (modèle à zéro
équation), l'énergie cinétique turbulente (modèle
à une équation) et des variables de turbulences (modèles
à deux équations supplémentaires) (Wilcox, 1998 ;2006,
Chassaing, 2000).
II-6.1 Modèles de fermeture en hydrodynamique
Parmi les modèles à deux équations
supplémentaires qui existent nous pouvons citer le modèle
«K - E»
standard proposé par Jones et Launder
(1972), qui consiste à exprimer la viscosité turbulente comme une
fonction des variables de turbulences à savoir le taux de dissipation et
l'énergie cinétique turbulente.
Une échelle de vitesse permet d'obtenir
l'énergie cinétique turbulente k et l'équation de
transport portant sur le taux de dissipation est définit par une
échelle de longueur L quelconque tel que:
e=cuK2 /L
En adoptant comme hypothèse sur í une relation
du type Prandtl-Kolmogorov reliant la viscosité turbulente et
l'énergie cinétique turbulente (Jones et Launder, 1972):
ut = L-klK ( 2.15)
L est longueur homogène du canal K l'énergie
cinétique turbulent
e=cuK3/2/L (2.16)
Les équations du modèle de K -epsilon sont
obtenues en manipulant les équations algébriques de
quantité de mouvement, allant de la multiplication par les termes de la
vitesse appropriée et la modélisation découlant des
termes.
Nous présentons ici les équations de
l'énergie cinétique turbulente et du taux de dissipation du
modèle de fermeture k- e standard tel qu'elles sont
implémentées dans le code de calcul industriel FLUENT, et en
tenant compte des hypothèses simplificatrices énoncées
plus haut.
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