III. Généralité sur la couche
limite
Quand un écoulement de fluide rencontre un obstacle, la
vitesse de l'écoulement est, dû au frottement sur la surface de
l'obstacle et à la viscosité de l'écoulement, égale
à zéro sur la surface de l'obstacle. Au-dessus de la surface, la
vitesse de l'écoulement augmente progressivement jusqu'à une
certaine hauteur où la vitesse de l'écoulement non
perturbé peut être retrouvée. Cette zone, dans laquelle la
vitesse de l'écoulement passe de zéro jusqu'à sa vitesse
non perturbée, s'appelle la couche limite, notée ô. La
figure.5 montre une illustration d'une couche limite se développant sur
un obstacle.
Figure 7 : Couche limite sur un obstacle
(Cousteix (1989)).
L'épaisseur de couche limite ô est définie
conventionnellement par la distance à la paroi où la vitesse a
atteint une certaine fraction de la valeur extérieure ;
généralement ô est la valeur pour laquelle on trouve 99%de
la vitesse extérieur :
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Afin de caractériser les différentes
régions de la couche limite, des épaisseurs
caractéristiques ont été définies. Parmi ces
épaisseurs, on distingue :
Épaisseur de déplacement :
L'épaisseur de déplacement ä est la distance que la paroi
devrait avoir pour maintenir le même débit de masse que
l'écoulement non visqueux. Elle est obtenue par l'expression
intégrale :
ä ? (
00 ) ( )
Cette définition mathématique montre que
l'épaisseur de déplacement varie seulement avec le profil de
vitesse sans dimension 00 et l'épaisseur ä.
Épaisseur de quantité de mouvement
: L'épaisseur de quantité de mouvement O montre la
quantité de mouvement déficitaire dans la couche limite. Une
conception de l'épaisseur O semblable à celle de
l'épaisseur ä consiste à définir O comme la distance
que la paroi devrait avoir pour maintenir le débit de quantité de
mouvement. L'épaisseur O est définie par l'expression :
( )
O ?
( )
Le rapport de l'épaisseur de déplacement ä
sur l'épaisseur de quantité de mouvement O
définit le facteur de forme : H = ä*/O,
ce paramètre joue un rôle important dans la théorie de la
couche limite. Il permet de distinguer les régimes de la couche limite
et de mettre en évidence les phénomènes de
décollement s'ils existent.
Dans la théorie classique d'une couche limite sur
plaque plane non décollée, le facteur H est constant et
égale à 2:5pour une couche limite laminaire et 1:3pour une
couche limite turbulente.
III.1 Structure de la couche limite turbulente
La couche limite turbulente se décompose en deux
régions caractéristiques : l'une, loin de la paroi, est
contrôlée par la turbulence : c'est la région externe,
cette région constitue le lien avec l'écoulement extérieur
à la couche limite, l'autre, près de la paroi, est dominée
par la viscosité : c'est la région interne. Dans chaque
région, la turbulence est caractérisée par une
échelle de longueur et une échelle de vitesse.
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a. Région interne
La région interne de la couche limite turbulente subit
simultanément l'influence de la paroi via la viscosité
moléculaire et l'agitation turbulente. Trois zones sont
généralement distinguées dans cette région :
ü La sous-couche visqueuse est la région de
l'écoulement au contact de la paroi. Les effets turbulents Y sont
négligeables par rapport à ceux liés à la
viscosité moléculaire. Le profil de vitesse longitudinale moyenne
dans cette zone est souvent modélisé via la relation :
U+=Y+ (7)
U+ = U(8)
í
U désigne la composante longitudinale de la vitesse
moyenne, y est la distance normale à la paroi et í la
viscosité cinématique du fluide. La vitesse de frottement est
définie par :
u = V / (10)
avec la contrainte de frottement et la masse volumique du
fluide. Cette loi est considérée comme valide proche de la paroi
pour Y+ = 5.
ü La couche inertielle ou région logarithmique
constitue la zone la plus externe de la région interne.
L'écoulement reste fortement conditionné par la paroi, mais les
effets visqueux sont peu significatifs devant le frottement turbulent. Le
profil de vitesse longitudinale s'exprime généralement comme suit
:
U+= Log(Y +) + C (11)
Où K et C sont des constantes empiriques
adimensionnelles à déterminer. La région de
validité de cette loi s'étend entre 40< Y+<300 selon
Cousteix (1989).
Elles prennent les valeurs suivantes pour un
écoulement le long d'une plaque lisse : K 0.4 ; représente la
constante universelle de Von Karman. C 5.56
La loi logarithmique est valable pour : 5< Y+<300 a 500
notons que la limite supérieure diminue avec la présence d'un
gradient de Pression. Alors dans la région proche de la paroi (zones
interne), le profil de vitesse est exprimable en variables de paroi Y+ :
U+=f(Y+) ; C'est ce qu'on appelle la "loi de la paroi".
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? La zone intermédiaire ou tampon est soumise à
des effets visqueux et turbulents d'égale importance. Cette
région localisée entre5< Y+<40correspond aux limites des
domaines de validité des lois linéaire et logarithmique. Par
ailleurs, l'agitation turbulente devient importante dans cette zone. Une
représentation des profils de vitesses associés à ces
différentes lois est proposée sur la figure (6) où
plusieurs profils expérimentaux ont également été
reportés.
Pour un nombre de Reynolds relativement élevé,
l'écoulement turbulent est tel que la production et la dissipation de la
turbulence sont importantes dans la région interne et dans la
région externe.
Figure 8 : Profil de vitesse longitudinale
moyenne dans une couche limite turbulente sur plaque plane sans gradient de
pression, d'après Clauser (1956).
b. Région externe
Au-delà de Y+> 500, on se trouve dans la zone
externe, ou encore zone à vitesse déficitaire, fortement
liée aux conditions extérieures à la couche limite. Les
grandeurs caractéristiques dans cette zone sont la hauteur de la couche
limite ô et la vitesse extérieure à la couche.
La région externe est décrite par des lois
semi-empiriques dites "loi de sillage" ou encore" loi déficitaire" :
( ) (
ô)
(12)
A : est une constante
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ä : étant l'épaisseur de la couche limite.
Cette dernière équation est valable à
partir de Y+= 300 à 500
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