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Année : 2013-2014
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UNIVERSITE DE NGAOUNDERE
FACULTE DES
SCIENCES
DEPARTEMENT DE PHYSIQUE
BP 454
Ngaoundéré
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THE UNIVERSITY OF NGAOUNDERE FACULTY OF SCIENCE
DEPARTMENT OF PHYSICS P.O. Box 454 Ngaoundéré
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MEMOIRE DE MASTER DE PHYSIQUE
Spécialité : Mécanique et
matériaux
Parcours : Physique
ETUDE DU CHAMP DYNAMIQUE AUTOUR D'UN RESEAU DE QUATRE
CYLINDRES PLACES DANS UN ECOULEMENT A SURFACE LIBRE
Présenté par :
HAROUN BOUKOUN
ABDOULAYE
Titulaire d'une Licence en sciences
physiques
Matricule: 09A629FS
Sous la direction de :
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Pr. TCHEUKAM TOKO DENIS
Université
de Ngaoundéré
Dr. NTENGA
RICHARD
Chargé de Cours
(IUT)Université de
Ngaoundéré
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Pr. BEDA TIBI
Université de Ngaoundéré
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DEDICACE
A celle pour qui je dois toute réussite, à mon
adorable mère Mariam Abdoulaye A mon très cher
père : Boukoun Abdoulaye Alifa
A mes frère : Abdoulaye, Ali, Mahamat, Brahim,
Alifa
A mes soeurs : Zara, Khadîdja
Mémoire de Master Recherche en physique.
Rédigé par Haroun Boukoun Abdoulaye Page i
Mémoire de Master Recherche en physique.
Rédigé par Haroun Boukoun Abdoulaye Page ii
REMERCIEMENTS
Je tiens avant tout à reconnaitre la grâce qui
m'a été accordée de mener à terme cette
étude, pour cela je remercie Dieu tout puissant pour la merveille que je
suis. Ma reconnaissance va également à l'endroit de tous ceux qui
d'une manière ou d'une autre ont su m'apporter leur soutien. Je souhaite
qu'ils trouvent dans ce mémoire le témoignage de ma gratitude
à leur endroit.
Je pense particulièrement à :
Pr. BEDA TIBI pour avoir accepté de
superviser ce travail de recherche.
Pr. TCHEUKAM TOKO DENIS, pour sa
qualité d'encadreur et pour les documents qu'il a mis à ma
disposition .Ses remarques pertinentes et ses conseils m'ont permis
d'améliorer la qualité de mes résultats.
Dr. NTAMACK GUY EDGAR le chef de
Département de physique, pour ses encouragements et sa qualité
humaine.
A tous les enseignants qui ont contribué à ma
formation je pense particulièrement à :
Pr. BEDA TIBI, Dr. NTAMACK GUY EDGAR, Dr. NANA ENGO,
Dr EFFA, Dr. TSAMA ELOUNDOU, Dr. DJONYANG, Dr. HOUPA, Dr. TCHOUA PAUL, Pr.
BEKOLLE DAVID, Dr. MFOPAIN ABOUBAKAR, Dr. DJEUMAKO BONAVENTURE, Pr. TCHEUKAM
TOKO DENIS, Dr. NTENGA RICHARD, Dr. WAKE POLA, Mr. GUIDANA, Mr.
DJONDINE.
A mon père BOUKOUN ABDOULAYE ALIFA,
pour son soutien, ses multiples encouragements et sa patience ;
A mes oncles : ABAKAR ADOU, OUMAR, HAROUN, MAHAMAT,
DOGO pour ses conseils et ses orientations.
A ma tante FATOUMA ABDOULAYE, pour ses
conseils.
A mes chers camarades MANYO, DOUGSOUNA, SOUSSIA,
HAMA-ADAMA, KOUE, KONAI, KOLA, DESIRE, HATOUMVA, DJEPAZE, HANSE, RAKWA, OUSMAN
BOUKAR.
A mes chers amis MOUSSA, AZIZ, ABBA ALI, PENABEI,
ARABI, DJAMALADINE, ABDRAMANE RIGA, ABDOULYE YOUNOUS MAHDJER,
MAHAMAT ZEN pour les beaux et difficiles moments que nous avons
passé ensemble.
A mon petit Ali Boukoun, pour le bon moment que
nous avons eu à passer ensemble.
A monsieur MAXWEL, pour m'avoir initié
au calcul numérique et à l'étude de la turbulence, pour sa
disponibilité, et ses orientations.
Mémoire de Master Recherche en physique.
Rédigé par Haroun Boukoun Abdoulaye Page iii
A toutes les familles BOUKOUN ET ABDOULAYE.
Je ne saurai terminer sans également être
reconnaissant envers tous ceux qui, de près ou de loin ont
contribué à la réussite de ce dur labeur
Mémoire de Master Recherche en physique.
Rédigé par Haroun Boukoun Abdoulaye Page iv
TABLE DES MATIERES
DEDICACE i
REMERCIEMENTS ii
TABLE DES MATIERES iv
NOMENCLATURE vii
LISTE DES FIGURES viii
LISTE DES TABLEAUX ix
RESUME x
ABSTRACT xi
INTRODUCTION GENERALE 1
CHAPITRE I: ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE 2
I.1 Différents régimes de l'écoulement
autour d'un cylindre 2
I.11 Ecoulement rampant 2
I.12 Ecoulement stationnaire décollé 3
I.13- Régime laminaire instationnaire 2D 3
II. Forces de trainée 5
II.1- Trainée de pression et trainée visqueuse
5
II.1.1- Influence de la rugosité de la surface 6
III. Généralité sur la couche limite 8
III.1 Structure de la couche limite turbulente 9
a. Région interne 10
b. Région externe 11
III.2 Effet d'un gradient de pression sur le
développement de la couche limite 12
IV. Généralité sur les écoulements
à surface libre 12
IV.1 L'effet de la surface libre 13
IV.2 Analyse statistique 13
V- Etudes expérimentales 15
VI-Etudes numériques 18
CHAPITRE II : DESCRIPTION DU PROBLEME ET FORMULATION
MATHEMATIQUE
21
II-1- Description du problème physique 21
II.2 - Formulation mathématique 21
II.2.1- Hypothèses simplificatrices 21
Mémoire de Master Recherche en physique.
Rédigé par Haroun Boukoun Abdoulaye Page v
II-3 Equation de continuité 22
II-3.1 Equation de quantité de mouvement 22
II-3.2 Equation de transport de quantité de mouvement
22
II-3.3 Intensité de turbulence 24
II-3.4 Modèle de turbulence k- 24
a- Equation de transport du modèle k-epsilon
réalisable 24
b-Equation de transport de l'énergie cinétique
turbulente k : 24
c- Modèle aux tensions de Reynolds (RSM) 25
II-3.5 Equations adimensionnelles 25
II-4- Les équations pour un écoulement
diphasique et turbulent 26
II-5 Modélisation de la méthode de volume finis
27
II-6 Problème de fermeture du système 27
II-6.1 Modèles de fermeture en hydrodynamique 28
II-6.2 Equation de l'énergie cinétique
turbulente k 28
II-6.3 Equation de transport du taux de dissipation 29
II-6.4 Conditions aux limites associées aux
équations 29
CHAPITRE III : RESULTATS ET DISCUSSION 30
3.1- Introduction 30
3.2- GAMBIT 30
3.3 Géométrie 30
a- Maillage du domaine de calcul 30
3-4 Présentation du code de calcul FLUENT 31
3.5 Traitement près de la paroi 31
3.6 Champ moyen 32
3.7 -Champ turbulent 33
3.8 Intégration des Conditions aux limites 33
3.9-Choix des schémas de discrétisation 34
a- L'algorithme simple 34
b- Séquences de l'algorithme simple 36
3.10 Convergence des calculs 36
3.11 ETUDE DU CHAMP DYNAMIQUE 37
a-Topologie des sillages 37
b-Profils de vitesse longitudinale adimensionnelle U+= f (Y+)
40
c-Détermination de l'épaisseur de la couche
limite dynamique 41
Mémoire de Master Recherche en physique.
Rédigé par Haroun Boukoun Abdoulaye Page vi
3.12- Champ de pression adimensionnelle 42
a- Profils de pression adimensionnelle U+= f (Y+) 44
4- COMPARAISON DES RESULTATS 45
CONCLUSION ET PERSPECTIVES 48
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES 49
ANNEXES 53
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NOMENCLATURE
Lettres
C : Constante de la loi de paroi. Cx : Coefficient de
trainé
D : Diamètre du cylindre
E : Constante empirique dépend de la rugosité des
parois. Fr : Nombre de Froude
G : Accélération de la pesanteur.
I : Intensité turbulente. Ks : Rugosité
équivalente.
K : Constante universelle de Von Karman. Kp :
énergie cinétique turbulente au point p.
L : Echelle de longueur.
P : Pression.
Re : Nombre de Reynolds.
T : Trainé
U : Vitesse débitante. ui : Vitesse instantanée.
U+ : Vitesse adimensionnelle.
Y+ : Distance adimensionnelle.
Um.: vitesse moyenne
H : la hauteur d'eau
Symboles
: Masse volumique de l'eau.
: Épaisseur d'une couche limite.
Viscosité dynamique.
y : Viscosité cinématique.
K : Énergie cinétique turbulente.
: Taux de dissipation de l'énergie cinétique
turbulente.
: Viscosité dynamique turbulente.
k : Nombre de Prandtl.
ij :: Symbole de Kronecker.
Sij : tenseur de déformation
Mémoire de Master Recherche en physique.
Rédigé par Haroun Boukoun Abdoulaye Page viii
LISTE DES FIGURES
Figure 1 : Ecoulement rampant à
Re=0.16. Visualisation S. Taneda tirée de van Dyke
(1982)
3
Figure 2 : Écoulement rampant à
Re=26. Visualisation S. Taneda tirée de van Dyke (1982)
3
Figure 3 : Ecoulement instationnaire 2D
à Re=105. Visualisation S. Taneda tirée de
van
Dyke (1982) 4
Figure 4 : Régime t turbulent à
Re=10000 Visualisation S. Taneda tirée de van Dyke
(1982)
5
Figure 5 : La rugosité d'une paroi
caractérisée par la hauteur k (a) 7
Figure 6 : la rugosité
équivalente de grains de sable d'une hauteur ks (b). 7
Figure 7 : Couche limite sur un obstacle
(Cousteix (1989)). 8
Figure 8 : Profil de vitesse longitudinale
moyenne dans une couche limite turbulente sur
plaque plane sans gradient de pression, d'après Clauser
(1956). 11
Figure 9 : L'effet d'un gradient de pression
sur le développement de la couche limite. 12
Figure 10 : Géométrie et
coordonné du système 21
Figure 11 : Schéma
représentatif de l'algorithme SIMPLE 35
Figure 12 : Evolution des résidus au
cours des itérations 36
Figure 13 : Champs de vitesse adimensionnelle
U+ = f (X+, Y+) pour Re = 9.60 103 38
Figure 14 : Champs de vitesse adimensionnelle
U+ = f (X+, Y+) pour Re = 1.97 104 38
Figure 15 : Champs de vitesse adimensionnelle
V+ = f (X+, Y+) pour Re = 2.28 104 38
Figure 16 : Champs de vitesse adimensionnelle
V+ = f (X+, Y+) pour Re = 2.61 104 39
Figure 17 : Champs de vitesse adimensionnelle
V+ = f (X+, Y+) pour Re = 2.74 104 39
Figure 18 : Profils de vitesse longitudinale
adimensionnelle U+= f (Y+) 40
Figure 19 : Profils de vitesse longitudinale
adimensionnelle U+= f (Y+) 40
Figure 20 : Profils de vitesse longitudinale
adimensionnelle U+= f (Y+) 41
Figure 21 : Epaisseur de la couche limite
dynamique o = f(X+) 41
Figure 22 : Champs de pression
adimensionnelle P+ = f (X+, Y+) pour Re = 9.60 103 42
Figure 23 : Champs de pression
adimensionnelle P+ = f (X+, Y+) pour Re = 1.97 104 43
Figure 24 : Champs de pression
adimensionnelle P+ = f (X+, Y+) pour Re = 2.28 104 43
Figure 25 : Champs de pression
adimensionnelle P+ = f (X+, Y+) pour Re = 2.58 104 43
Figure 26 : Champs de pression
adimensionnelle P+ = f (X+, Y+) pour Re = 2.74 104 44
Figure 27 : Profils de pression dynamique
adimensionnelle P+= f (Y+) 44
Figure 28 : Profils de pression dynamique
adimensionnelle P+= f (Y+) 45
Figure 29 : Profils de vitesse longitudinale
pour Y+=0.2 et Y+=0.48 46
Figure 30 : Profils de vitesse longitudinale
pour Y+=0.78 et Y+=0.8 46
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Rédigé par Haroun Boukoun Abdoulaye Page ix
LISTE DES TABLEAUX
Tableau 1 : Constantes empirique proposés
par Jones et Launder (1974) 25
Tableau 2 : facteur de sous relaxation dans
fluent 34
Tableau 3 : Caractéristiques
hydrodynamiques de l?écoulement étudié 39
Mémoire de Master Recherche en physique.
Rédigé par Haroun Boukoun Abdoulaye Page x
RESUME
Le présent travail, a pour but d'étudier le
comportement hydrodynamique de l'écoulement du fluide autour des
obstacles cylindrique vu leurs larges applications industrielles dans plusieurs
domaines.
Comme il a été pris en compte l'effet de
l'espacement centre a centre, l'interaction entre les cylindres est tellement
importante que l'écoulèrent autour d'eux change de façon
significative, particulièrement autour du cylindre aval, qui induisant
la formation d'une zone de recirculation.
Le modèle utilisé dans cette étude est le
modèle de l'énergie cinétique K, et son taux dissipation
epsilon (E), appelé communément modèle k - E.
Les simulations ont été faites à l'aide
du code de calcul industriel FLUENT.
Mots-clés : Champ dynamique,
tourbillons, Écoulement à surface libre, Turbulence, Sillage,
CFD
Mémoire de Master Recherche en physique.
Rédigé par Haroun Boukoun Abdoulaye Page xi
ABSTRACT
The present work is to study the hydrodynamic behavior of the
flow of the cylindrical fluid around the obstacles considering their broad
industrial applications in several fields.
As it was taken into account the effect of spacing centers has
center, the interaction between the cylinders is so significant that ran out it
around them changes to a significant degree, particularly around the cylinder
downstream, which inducing the formation of a zone of recirculation.
The model used in this work we used, the k - å model,
the most reliable for these studies, with a treatment of the zone close to the
partition. The numerical simulation set with the help of the software
fluent.
Key Words: Dynamic field, Swirl, Open channel flow,
Turbulence, Wake, CFD.
Mémoire de Master Recherche en physique.
Rédigé par Haroun Boukoun Abdoulaye Page 1
INTRODUCTION GENERALE
Les écoulements à surface libre
présentent une grande variété de comportements à
cause de l'influence de l'inhomogénéité de la
bathymétrie sur la sélection des phénomènes
apparaissant à la surface libre. Cette interaction entre
latmosphère et la surface libre entraine des
déformations importantes. Le présent travail s'inscrit dans le
contexte de L'étude des écoulements autour des cylindres, qui
sont essentielle pour l'industrie pétrolière, automobile,
aéronautique mais aussi en géni-civil. Notamment elle est une
permise à la compréhension des phénomènes
d'interaction fluide-structure. Ces phénomènes sont liés
à l'arrachement et la migration de particules de la structure sur des
grandes distances. L'identification et le comportement hydrodynamique qui
surgissent dans le sillage des cylindres présentent des
intérêts d'actualités dans divers domaines.
L'objectif principal dans cette étude est de montrer
l'influence de la proximité des cylindres, sur la formation des
tourbillons dans le sillage de chacun des cylindres. Pour mener bien à
cette étude, nous allons dégager une méthodologie de
résolution de ce type de problème d'une part et d'autre part,
déterminer les champs dynamiques autour des cylindres placés dans
une configuration à surface libre. Dans ce travail, nous nous proposons
d'entreprendre une simulation numérique bidimensionnelle de
l'écoulement incompressible (eau) autour d'un réseau de quatre
cylindres. L'outil d'investigation étant le code de calcul industriel
«FLUENT » qui résout les équations de Navier-Stokes
?moyennées» par la méthode des volumes finis avec le
modèle k- E, qui est le plus utilisé dans les codes des
simulations.
Ce travail s'article sur trois chapitres et une conclusion
dont le premier chapitre, présente brièvement une revue
bibliographie concernant notre étude. Le contenu comporte un
détail géométrique des différents obstacles et fera
apparaître l'utilité de la continuité des recherches qui
restent inachevées et dont nous contribuons ici. Le second chapitre est
consacré à la description et la formulation mathématique
qui gouvernent le phénomène physique à étudier. Il
s'agit de la formulation des équations générales de
conservation puis du modèle de turbulence adopté pour la
simulation numérique bidimensionnelle. Dans le troisième
chapitre, nous présenterons l'outil numérique et méthodes
de résolutions, et discuterons les principaux résultats
numériques de cette étude en examinant l'influence des
paramètres adimensionnels sur l'évolution de la structure de
l'écoulement, et enfin, nous validerons nos résultats
numériques par une comparaison.
CHAPITRE I: ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
L'étude des mécanismes physiques des
écoulements autour des cylindres présente un grand
intérêt, tant sur le plan de la recherche fondamentale que dans le
domaine des applications industrielles. Ces écoulements ont fait l'objet
de nombreuses analyses dans la littérature. Après un rappel des
différents régimes de l'écoulement derrière un
cylindre fixe, nous présentons une synthèse bibliographique
effectuée dans le domaine des écoulements de fluide
incompressible autour des cylindres.
I.1 Différents régimes de
l'écoulement autour d'un cylindre
Pour les faibles nombres de Mach, le paramètre
généralement retenu pour opérer le changement de
régimes est le nombre de Reynolds.
Le nombre de Reynolds est le rapport des forces d'inerties sur
les forces visqueuses de l'écoulement.
Dans l'équation (1), U0 est la vitesse en amont, D le
diamètre du cylindre et V la viscosité cinématique du
fluide considère.
U . D
0
(1)
Mémoire de Master Recherche en physique.
Rédigé par Haroun Boukoun Abdoulaye Page 2
V
Le sillage derrière un cylindre fixe a fait l'objet de
plusieurs études, expérimentales et numériques,
fournissant une large gamme de résultats pour différents nombres
de Reynolds et permettant de mettre en évidence les différents
régimes de l'écoulement en fonction du nombre de Reynolds.
Citons, entre autres, les études expérimentales de
Crausse (1936), Roshko (1954) et
(1961), Bloor (1964), Gerrard (1966), Kourta et al.
(1987), Bloor(1964), et plus récemment celles
de Williamson (1992), et (1996), Prasad & Williamson (1997), Perrin
(2005), ainsi que les études numériques de Braza
(1986), Braza et al.(1986), (1990) et (2001), Persillon
(1995), Persillon & Braza (1998).
I.1.1 Ecoulement rampant
Pour Re=5, l'écoulement est dit rampant. Les forces de
viscosité étant prépondérantes, le fluide reste
attaché au cylindre et il n'y a pas de décollement.
L'écoulement est symétrique par rapport à l'axe central du
courant (axe longitudinal) et également entre l'amont et l'aval (figure.
1).
Mémoire de Master Recherche en physique.
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Figure 1 : Ecoulement rampant à Re=0.16.
Visualisation S. Taneda tirée de van Dyke (1982)
I.12 Ecoulement stationnaire décollé
Pour 5=Re=48, les forces d'inertie augmentent et
empêchent la couche limite de rester attachée au cylindre. On
observe un décollement de chaque côté du cylindre. Le point
de décollement se de place vers l'amont du cylindre quand le nombre de
Reynolds augmente. L'écoulement est stable et reste stationnaire et
symétrique par rapport à l'axe longitudinal. En aval du
décollement se forment deux lobes de recirculation contrarotatifs
attachés au cylindre (figure.2). Le point de rattachement, qui est
définit comme le lieu où la vitesse longitudinale est nulle sur
l'axe central du sillage, s'éloigne du cylindre quand le nombre de
Reynolds augmente. L'abscisse de ce point définit la longueur de
recirculation lc.
Figure 2 : Écoulement rampant à Re=26.
Visualisation S. Taneda tirée de van Dyke (1982) I.13- Régime
laminaire instationnaire 2D
Pour48=Re=180, l'écoulement devient instationnaire. Les
différentes perturbations possibles ne peuvent plus être amorties
et une instabilité se déclenche. Les deux tourbillons perdent
leur symétrie par rapport à l'axe longitudinal, se
détachent du cylindre alternativement et sont convectés dans le
sillage pour former l'allée tourbillonnaire de von-Karman (figure.3).
Cette
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instabilité absolue est de nature bidimensionnelle et
est caractérisée par une périodicité fortement
prononcée. Ainsi, le spectre temporel de la vitesse ou de la pression en
un point de l'écoulement présente un pic important à la
fréquence du lâcher tourbillonnaire Cette fréquence
adimensionnée par la vitesse de l'écoulement incident et le
diamètre du cylindre définit le nombre de Strouhal :
(2)
Par ailleurs, la moyenne temporelle de l'écoulement
conduit à une topologie symétrique par rapport à l'axe
longitudinal avec deux tourbillons contra-rotatifs attachés au cylindre.
La longueur de ces «bulbes» de recirculation croît
également avec le nombre de Reynolds.
Figure 3 : Ecoulement instationnaire 2D
à Re=105. Visualisation S. Taneda tirée de van Dyke
(1982)
Pour caractériser les forces exercées par le
fluide sur le cylindre, les coefficients de traînée et de portance
sont définis. Ils correspondent respectivement aux forces
appliquées sur le corps dans la direction de l'écoulement et
perpendiculairement au mouvement incident, adimensionnées par la masse
volumique du fluide, sa vitesse à l'infini amont et une surface
caractéristique calculée à partir du diamètre du
cylindre et de son envergure. Ces forces sont les résultantes des
actions de la pression et du frottement visqueux sur le cylindre obtenues par
intégration sur sa surface. La symétrie de l'écoulement en
moyenne temporelle conduit à un coefficient de portance nul en
moyenne.
Le coefficient de traînée moyen a tendance
à diminuer lorsque le nombre de Reynolds augmente sur l'intervalle
considéré (Braza et al. (1990).
300=Re=Rec
Mémoire de Master Recherche en physique.
Rédigé par Haroun Boukoun Abdoulaye Page 5
Cette plage de nombre de Reynolds est considérée
comme la phase de transition vers la turbulence, le régime est
sous-critique. La valeur du nombre de Reynolds critique dépend des
auteurs. Elle peut varier de Re-'2.105 à
Re-'1.106. Cette variation s'explique par la grande
sensibilité de l'écoulement à la rugosité du
cylindre ainsi qu'à la turbulence du fluide à l'infini amont.
L'allée tourbillonnaire y est turbulente (figure.4)
tandis que la couche limite est toujours laminaire. Entre Re-'1000-2600 selon
les conditions, une nouvelle instabilité apparaît à l'aval
des points de décollement inférieur et supérieur dans les
couches de cisaillement. Cette instabilité, de type Kelvin-Helmholtz et
d'origine bidimensionnelle, donne naissance à des tourbillons de petites
tailles dans la zone de mélange interagissant non-linéairement
avec l'allée tourbillonnaire de von Kármán et a pour
conséquence de diminuer la zone de recirculation derrière le
cylindre, et se traduit par une chute brutale du coefficient de
trainée.
Figure 4 : Régime t turbulent à
Re=10000 Visualisation S. Taneda tirée de van Dyke
(1982)
II. Forces de trainée
II.1- Trainée de pression et trainée
visqueuse
Lorsqu'un corps est immergé dans un écoulement
uniforme, on conçoit aisément que les efforts hydrodynamiques
doivent être fonction du champ des vitesses des particules de fluide
à chaque instant.
y' La résultante des forces de pression dans la direction
x est la « traînée de pression » y' La résultante
des forces de frottement dans la direction x est la « traînée
de frottement»
Mémoire de Master Recherche en physique.
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La somme de la traînée de pression et de la
traînée de frottement est simplement appelée «
traînée » T de l'objet. C'est la force totale
appliquée par le fluide sur l'obstacle suivant la direction de
l'écoulement.
Pour définir la force de trainé, on passe
généralement par l'intermédiaire d'un nombre sans
dimension le « coefficient de traînée » CX,
défini par :
T
CX = (1 (3)
lz)S Uz
Le coefficient ci-dessus, appelé par commodité
« le CX » de l'obstacle, est déterminé
expérimentalement ou par le calcul, puis la traînée est
obtenue en renversant la formule (3) :
C2) CX S U2 (4)
Dans le cas d'un obstacle cylindrique, la trainé est
donnée comme suit :
27r
fo (p cos 8 + ro sin 8) rd8 Où p est
la pression et ro est la contrainte de cisaillement.
II.1.1- Influence de la rugosité de la
surface
Les effets hydrodynamiques de la rugosité des surfaces
ont été essentiellement étudiés en premier lieu par
Nikuradse (1950), qui a considéré des conduites
rendues rugueuses par des grains de sable.
Le problème de la rugosité est aussi
compliqué par la possibilité d'avoir une grande diversité
de formes, de dimensions et de la distribution des aspérites. Un aspect
complet de plusieurs types de rugosité de la surface a été
donné par Jayatilleke.
Ce chercheur a développé des lois empiriques
décrivant les effets quantitatifs de la rugosité de surface sur
le processus de transfert de la chaleur et de quantité de mouvement
à travers la sous couche visqueuse. Plus particulièrement ; la
loi de transfert de la chaleur et de quantité de mouvement pour le type
le plus simple de la rugosité, à savoir une densité
maximale et une rugosité uniforme.
Ce type de rugosité est formé
d'éléments qui sont statistiquement de tailles constantes et
hermétiquement pleins sur la surface. Dans ce cas la grandeur de la
rugosité est caractérisée par une dimension
particulière, à savoir la hauteur de l'élément de
la rugosité k.
Pour permettre l'usage des résultats de cette
rugosité (de grains de sable) pour toute surface rugueuse ; Schlichting
introduit le concept de la rugosité, équivalente du grain de
sable ks (rugosité de référence). La hauteur
équivalente de cette rugosité est définie comme la hauteur
constante qui donne le même coefficient de frottement à la
paroi.
Mémoire de Master Recherche en physique.
Rédigé par Haroun Boukoun Abdoulaye Page 7
La rugosité d'une paroi est déterminée
selon plusieurs critères. Ainsi, la distribution, la forme
géométrique, la densité, la hauteur, etc. des
aspérités peuvent servir à définir la
rugosité de la paroi.
En ce qui concerne le développement de la couche limite
turbulente sur une telle surface, des expériences montrent que, si les
aspérités ont une hauteur k plus petite que l'épaisseur de
la sous-couche visqueuse, il n'y a pas d'influence de la rugosité ni sur
la distribution de vitesse universelle ni sur le frottement à la
paroi.
Par conséquent, une telle surface est lisse du point de
vue hydrodynamique. Il s'ensuit que le caractère hydrodynamique d'une
surface rugueuse donnée peut varier, puisque l'épaisseur de la
couche limite change le long de cette même surface. Ainsi, une surface
qui apparaît rugueuse au début du développement de la
couche limite peut ensuite devenir lisse. Les expériences montrent que
la distribution de vitesse universelle reste toujours valable,
indépendamment de la rugosité de la paroi.
Toutefois, la constante C devient une fonction de K+ et de la
géométrie des protubérances, où K+ exprime une
forme du nombre de Reynolds en fonction de K et U*
(5)
Cela implique que, dans la zone logarithmique de la
distribution de vitesse universelle, la ligne droite représentée
sur la figure (5) est déplacée dans le diagramme
parallèlement à elle-même vers le bas. L'importance du
déplacement dépend de la valeur de K+ et de la
géométrie de la rugosité. Du fait de cette observation, il
est admissible de comparer une surface rugueuse quelconque avec une surface de
rugosité standard qui produise dans la zone logarithmique exactement le
même déplacement de la distribution de vitesse. Une telle
rugosité standard est obtenue au moyen de grains de sable de taille
très précise. On parle donc d'une rugosité de grains de
sable équivalente d'une hauteur ks.
Figure 5 : La rugosité d'une paroi
caractérisée par la hauteur k (a)
Figure 6 : la rugosité équivalente
de grains de sable d'une hauteur ks (b).
Mémoire de Master Recherche en physique.
Rédigé par Haroun Boukoun Abdoulaye Page 8
La constante C de la distribution de vitesse dépend
alors du paramètre ks+ défini de façon analogue.
Selon les valeurs de ks+, on définit les régions
suivantes :
ks+ < 5, une région lisse dont les
protubérances sont limitées à l'intérieur de la
sous-couche visqueuse; 5 < ks+ < 70, une région
transitoire dont les protubérances sont suffisamment hautes pour
s'étendre en partie à l'extérieur de la sous-couche
visqueuse : ks+>70, une région brute ou rugueuse se produit le long
de la sous-couche visqueuse.
III. Généralité sur la couche
limite
Quand un écoulement de fluide rencontre un obstacle, la
vitesse de l'écoulement est, dû au frottement sur la surface de
l'obstacle et à la viscosité de l'écoulement, égale
à zéro sur la surface de l'obstacle. Au-dessus de la surface, la
vitesse de l'écoulement augmente progressivement jusqu'à une
certaine hauteur où la vitesse de l'écoulement non
perturbé peut être retrouvée. Cette zone, dans laquelle la
vitesse de l'écoulement passe de zéro jusqu'à sa vitesse
non perturbée, s'appelle la couche limite, notée ô. La
figure.5 montre une illustration d'une couche limite se développant sur
un obstacle.
Figure 7 : Couche limite sur un obstacle
(Cousteix (1989)).
L'épaisseur de couche limite ô est définie
conventionnellement par la distance à la paroi où la vitesse a
atteint une certaine fraction de la valeur extérieure ;
généralement ô est la valeur pour laquelle on trouve 99%de
la vitesse extérieur :
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Afin de caractériser les différentes
régions de la couche limite, des épaisseurs
caractéristiques ont été définies. Parmi ces
épaisseurs, on distingue :
Épaisseur de déplacement :
L'épaisseur de déplacement ä est la distance que la paroi
devrait avoir pour maintenir le même débit de masse que
l'écoulement non visqueux. Elle est obtenue par l'expression
intégrale :
ä ? (
00 ) ( )
Cette définition mathématique montre que
l'épaisseur de déplacement varie seulement avec le profil de
vitesse sans dimension 00 et l'épaisseur ä.
Épaisseur de quantité de mouvement
: L'épaisseur de quantité de mouvement O montre la
quantité de mouvement déficitaire dans la couche limite. Une
conception de l'épaisseur O semblable à celle de
l'épaisseur ä consiste à définir O comme la distance
que la paroi devrait avoir pour maintenir le débit de quantité de
mouvement. L'épaisseur O est définie par l'expression :
( )
O ?
( )
Le rapport de l'épaisseur de déplacement ä
sur l'épaisseur de quantité de mouvement O
définit le facteur de forme : H = ä*/O,
ce paramètre joue un rôle important dans la théorie de la
couche limite. Il permet de distinguer les régimes de la couche limite
et de mettre en évidence les phénomènes de
décollement s'ils existent.
Dans la théorie classique d'une couche limite sur
plaque plane non décollée, le facteur H est constant et
égale à 2:5pour une couche limite laminaire et 1:3pour une
couche limite turbulente.
III.1 Structure de la couche limite turbulente
La couche limite turbulente se décompose en deux
régions caractéristiques : l'une, loin de la paroi, est
contrôlée par la turbulence : c'est la région externe,
cette région constitue le lien avec l'écoulement extérieur
à la couche limite, l'autre, près de la paroi, est dominée
par la viscosité : c'est la région interne. Dans chaque
région, la turbulence est caractérisée par une
échelle de longueur et une échelle de vitesse.
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a. Région interne
La région interne de la couche limite turbulente subit
simultanément l'influence de la paroi via la viscosité
moléculaire et l'agitation turbulente. Trois zones sont
généralement distinguées dans cette région :
ü La sous-couche visqueuse est la région de
l'écoulement au contact de la paroi. Les effets turbulents Y sont
négligeables par rapport à ceux liés à la
viscosité moléculaire. Le profil de vitesse longitudinale moyenne
dans cette zone est souvent modélisé via la relation :
U+=Y+ (7)
U+ = U(8)
í
U désigne la composante longitudinale de la vitesse
moyenne, y est la distance normale à la paroi et í la
viscosité cinématique du fluide. La vitesse de frottement est
définie par :
u = V / (10)
avec la contrainte de frottement et la masse volumique du
fluide. Cette loi est considérée comme valide proche de la paroi
pour Y+ = 5.
ü La couche inertielle ou région logarithmique
constitue la zone la plus externe de la région interne.
L'écoulement reste fortement conditionné par la paroi, mais les
effets visqueux sont peu significatifs devant le frottement turbulent. Le
profil de vitesse longitudinale s'exprime généralement comme suit
:
U+= Log(Y +) + C (11)
Où K et C sont des constantes empiriques
adimensionnelles à déterminer. La région de
validité de cette loi s'étend entre 40< Y+<300 selon
Cousteix (1989).
Elles prennent les valeurs suivantes pour un
écoulement le long d'une plaque lisse : K 0.4 ; représente la
constante universelle de Von Karman. C 5.56
La loi logarithmique est valable pour : 5< Y+<300 a 500
notons que la limite supérieure diminue avec la présence d'un
gradient de Pression. Alors dans la région proche de la paroi (zones
interne), le profil de vitesse est exprimable en variables de paroi Y+ :
U+=f(Y+) ; C'est ce qu'on appelle la "loi de la paroi".
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? La zone intermédiaire ou tampon est soumise à
des effets visqueux et turbulents d'égale importance. Cette
région localisée entre5< Y+<40correspond aux limites des
domaines de validité des lois linéaire et logarithmique. Par
ailleurs, l'agitation turbulente devient importante dans cette zone. Une
représentation des profils de vitesses associés à ces
différentes lois est proposée sur la figure (6) où
plusieurs profils expérimentaux ont également été
reportés.
Pour un nombre de Reynolds relativement élevé,
l'écoulement turbulent est tel que la production et la dissipation de la
turbulence sont importantes dans la région interne et dans la
région externe.
Figure 8 : Profil de vitesse longitudinale
moyenne dans une couche limite turbulente sur plaque plane sans gradient de
pression, d'après Clauser (1956).
b. Région externe
Au-delà de Y+> 500, on se trouve dans la zone
externe, ou encore zone à vitesse déficitaire, fortement
liée aux conditions extérieures à la couche limite. Les
grandeurs caractéristiques dans cette zone sont la hauteur de la couche
limite ô et la vitesse extérieure à la couche.
La région externe est décrite par des lois
semi-empiriques dites "loi de sillage" ou encore" loi déficitaire" :
( ) (
ô)
(12)
A : est une constante
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ä : étant l'épaisseur de la couche limite.
Cette dernière équation est valable à
partir de Y+= 300 à 500
III.2 Effet d'un gradient de pression sur le
développement de la couche limite
La présence d'un gradient de pression dans la direction
de l'écoulement va modifier le profil des vitesses dans la couche
limite. Le gradient de pression négatif ou favorable est
accompagné d'une augmentation de la vitesse dans le sens de
l'écoulement (convergent). Par conséquent, l'épaisseur de
la couche limite augmente moins vite que pour un écoulement avec
variation de pression nulle. Par contre, le gradient de pression positif ou
défavorable est accompagné (Figure 1.7) d'une diminution de
vitesse dans le sens de l'écoulement.
Une forte décélération dans la couche
limite peut provoquer un décollement. Près de la paroi où
la vitesse devient très faible, l'énergie cinétique,
usée par le frottement de la paroi, peut devenir insuffisante pour
combler l'augmentation de la pression.
Figure 9 : L'effet d'un gradient de pression
sur le développement de la couche limite. IV.
Généralité sur les écoulements à surface
libre
L'hydraulique à surface libre se distingue de
l'hydraulique en charge par l'existence d'une surface libre,
c'est-à-dire d'une surface où l'écoulement est en contact
direct avec l'atmosphère : le gradient de pression ne peut plus
être le moteur de l'écoulement, c'est la gravité qui
devient l'agent moteur. Le domaine d'application est large :
V' cours d'eau naturels : rivières, fleuves, etc. ;
V' canaux de navigation, d'irrigation, etc. ;
? systèmes d'évacuation : réseaux
d'assainissement pluvial ;
V' aménagements : retenues d'eau, usines de production
d'électricité, ports, etc.
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Une caractéristique de la plupart de ces
écoulements est la suivante : la hauteur d'écoulement, le
débit ainsi que la largeur sont généralement petites par
rapport à la longueur d'écoulement. Sa vitesse débitante,
qui est donnée par :
Udeb =Q/hW où Q est le débit liquide et W la
largeur du canal.
Ces écoulements sont caractérisés par
deux nombres sans dimensions (Graf, 2000) qui sont le nombre de Reynolds et le
nombre de Froude.
Le nombre de Reynolds est le rapport des forces d'inerties
sur les forces visqueuses de l'écoulement.
Il permet de déterminer le régime : en canal,
lorsque h« W , pour Re < 500, L'écoulement est laminaire, tandis
qu'il est turbulent pour Re > 500.
Le nombre de Froude est le rapport des forces d'inerties sur les
forces de gravité.
Dans l'équation (12), h est la hauteur de
l'écoulement, g accélération de la pesanteur
Fr=Udeb/v (13)
Ce nombre adimensionnel peut être interprété
de deux façons.
Il représente soit le rapport de l'énergie
cinétique de l'écoulement à l'énergie Potentielle
de la pesanteur, soit le rapport de la vitesse moyenne de l'écoulement
à la vitesse de propagation des ondes de gravité dans
l'approximation des ondes longues.
IV.1 L'effet de la surface libre
Du point de vue de la turbulence, l'effet de la surface libre
est similaire à celui d'une paroi solide : la surface libre amorti le
mouvement fluctuant vertical en amplifiant les contraintes turbulentes
longitudinale et transversale au profit de la contrainte verticale (Chouaib
Labiod (2005)).
En l'absence de vent, la surface libre peut être vue
comme une absence de contrainte de cisaillement. Le champ de vitesse moyenne
n'y est pas nul. La surface libre atténue les déplacements
verticaux.
IV.2 Analyse statistique
La statique des fluides permet d'étudier uniquement
des fluides au repos. Lorsque le fluide est en mouvement pour l'étudier,
on fait la modélisation dynamique (Navier Stock, Bernoulli,
Euler,...etc.)
Cette modélisation prend en compte
l'intégralité des échelles de la turbulence en
considérant
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L'agitation turbulente comme un processus purement
aléatoire. Les grandeurs
caractéristiques instantanées de
l'écoulement turbulent seront décomposées selon les
règles de Reynolds comme suit :
le premier représente le mouvement d'ensemble et le
second le mouvement fluctuant, soient :
Ui (14.a)
P (14.b)
En général : la quantité f(x, y, z; t)
est décomposée en deux parties distinctes
(14.c)
est la partie moyenne d'ensemble. f' est la partie
fluctuante
La partie fluctuante est centrée
Pour cette description, en fonction des valeurs
discrétisées de la vitesse instantanée par exemple, les
moyennes temporelles des composantes horizontale et verticale de la vitesse de
l'écoulement turbulent homogène sont : (Tcheukam-Toko et
al., 2008):
? (15.1)
? (15.2)
Les fluctuations de ces vitesses et l'expression des valeurs
efficaces, dites valeur RMS (Root-Mean-Square) sont respectivement
données par (Tcheukam-Toko et al.,
2008) :
|
(15.3)
(15.4)
|
URMS =v ?
|
(15.5)
|
VRMS =v ?
|
(15.6)
|
On en déduit les tenseurs de Reynolds par la
relation:
|
|
( ? | |)( )
|
(15.7)
|
|
La recherche est liée directement à
l'évolution de la technologie; et c'est ce qui pousse les chercheurs
à avancer dans des cas très compliqués et
d'actualité susceptibles d'être traités à l'aide
d'un outil informatique très puissant et avec des moyens
expérimentaux les plus sophistiqués et les plus performants.
Mémoire de Master Recherche en physique.
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Afin d'élargir nos connaissances dans ce domaine, nous
avons fait une lecture des autres auteurs qui se résument comme suit.
V- Etudes expérimentales
S. Pascal-Ribot et Y. Blanchet (2007) ont
réalisé une étude expérimentale et numérique
de l'écoulement de fluide autour d'un cylindre rigide en deux phases
l'air et eau. La résolution numérique du problème a
été faite à l'aide d'une méthode d'analyse
dimensionnelle standard. Ils ont présenté une exploration de base
pour évaluer les forces de portance de vibration exercées sur le
cylindre.
M.S. Dhouieb et al. (2008) ont mené
une étude expérimentale et numérique dans une conduite
horizontale rectangulaire au milieu de la quelle est placé un cylindre
carrée de hauteur h =0.01m et de largeur l = 0.02m L'écoulement
en amont de celui-ci est laminaire. Des mesures PIV ont été
effectuées afin de caractériser expérimentalement les
structures tourbillonnaires. Parallèlement une simulation
numérique 2D est réalisée pour faire la comparaison avec
les résultats numériques.
D'autres mesures PIV complémentaires ont
été menées par le dessus du canal en aval du cylindre afin
de détecter une éventuelle tridimensionnalisation de
l'écoulement. Lors des mesures, ils ont constaté l'apparition des
tourbillons de Von Karman dans le cas d'un écoulement derrière un
cylindre dans un milieu confiné.
R.d. Rajaona et al (2009) ont
présenté une étude expérimentale de
l'écoulement autour de deux cylindres horizontaux. Les cylindres sont
tractés suivant un mouvement uniformément
accéléré et décéléré dans une
cuve de visualisation pour mettre en évidence les effets des
tourbillons. Le cylindre principal (D=0.04 m, L/D = 16) est placé
derrière le cylindre secondaire (d=0.008, L/D =80). L'ensemble est
tracté sous la surface libre et on mesure les forces de
traînée et de portance. Le sillage du cylindre principal est
visualisé par une caméra CCD embarquée. Les nombres de
Reynolds basé sur la vitesse maximum varient entre 0 et 14000 et le
nombre de Froude entre 0.2 et 1.2 pour une valeur de
l'accélération de 0.150 m/s2. On montre que le sillage
proche est constitué par la combinaison des tourbillons de Von Karman et
de ceux issus du cylindre amont. Les phénomènes
d'interférence et les effets de surface libre sont étudiés
en faisant varier la profondeur d'immersion de l'ensemble et la disposition
relative des deux cylindres.
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Ishigai et al. (1972) ont mesuré
simultanément les pressions arrière des deux cylindres et la
fréquence de décollement des tourbillons du cylindre aval (cette
fréquence a permis de déterminer le nombre de Strouhal y
correspondant).
Ils ont couvert une plage d'espacements de 1 à 6
diamètres et ont introduit la notion d'espacement critique, qu'ils ont
trouvé égale à 3.8d pour Re=8000. Il ressort de cette
étude que lorsque l'espacement entre les deux cylindres est
inférieur à Scrit, la fluctuation de vitesse n'est
visible et régulière que derrière le cylindre aval. Alors
que si S > Scrit; les tourbillons se décollent des deux cylindres
avec la même fréquence. De plus, à S = Scrit deux valeurs
du nombre de Strouhal du cylindre aval peuvent coexister (St=0.12 et 0.17).
Guojon-Durand et al (2001) ont
étudié l'écoulement d'un fluide autour d'un cylindre
animé d'un mouvement de rotation oscillante autour de son axe. Ils ont
confirmé que pour certaines valeurs de la fréquence
d'oscillation, il y a lieu d'une réduction de l'instabilité
hydrodynamique. Et par la suite, ils ont modifié l'écoulement
moyen en fonction de certains paramètres mécanique de structure
du corps.
M. Mahbub Alam et J.P. Meyer (2011) ce sont
intéressés à l'effet du nombre de Reynolds sur les forces
induites par l'écoulement autour de deux cylindres en tandems. L'effet
du nombre de Reynolds, Re sur la fluctuante portance, la force de
traînée et les nombres de Strouhal, St du cylindre aval et des
deux cylindres en tandems sont étudiés
expérimentalement.
R.d. Rajaona et al (2011) ont fait une
étude expérimentale de l'écoulement autour de deux
cylindres. Un cylindre principal (D=0.04 m; L/D=16) placé
derrière un cylindre secondaire (ô = 0.002; L/ô=340) est
remorqué et l'ensemble est partiellement ou totalement immergé.
Le mouvement est
accéléré/décéléré dans une
cuve de visualisation remplie d'eau pour accentuer les effets des tourbillons.
Les nombres de Reynolds basés sur la vitesse maximum varient entre 0 et
14000 pour une valeur de l'accélération de 0.150 m/s2. On mesure
les forces de traînée et portance. Une caméra CCD
embarquée permet de visualiser le sillage. Les effets de surface libre
sont étudiés en faisant varier le paramètre de profondeur
d/D où d est la distance entre le dessus du cylindre principal et la
surface libre. Les efforts de portance sont caractérisés pour une
configuration non symétrique en corrélation avec le profil de la
surface libre et la configuration du sillage proche. La configuration
symétrique correspond au cas «totalement ou partiellement
immergé ». Les effets d'interférence sont analysés en
fonction de B/D où B désigne la distance entre les cylindres.
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L'interaction entre deux cylindres proches l'un de l'autre
produit des changements Considérables du comportement de
l'écoulement par rapport au cas du cylindre seul. Ces changements
induisent des phénomènes surprenants et des valeurs
imprévisibles de la distribution de pression, des forces de portance et
de traînée, ainsi qu'une intensification ou bien une suppression
totale du décollement des tourbillons.
D'après Zdravkovich (1987), Dans
l'étude de l'écoulement autour de deux cylindres, on distingue
trois grandes familles de configuration:
Tout d'abord, on dit que les deux cylindres sont en TANDEM
(interférence de proximité), lorsqu'ils sont placés l'un
derrière l'autre avec différents espacements longitudinaux.
Ensuite, le deuxième groupe représente les
cylindres qui sont placés l'un à côté de l'autre,
perpendiculairement à l'écoulement avec différents
espacements transversaux on dit alors que les deux cylindres sont en
"SIDE-BY-SIDE" (interférence du sillage).
Et enfin, le troisième groupe, qui est la combinaison
des deux interférences de proximité et du sillage, aussi
combinaison des deux premiers, indique que les deux cylindres sont en
QUINCONCE, c'est-à-dire que la ligne joignant les centres des deux
cylindres et le vecteur vitesse font un angle variant entre 0 et 90?.
Zdravkovich, aussi bien que Igarashi
(1981) ont classifié l'écoulement en trois
régimes. Tout d'abord avec un espacement entre les deux cylindres L/D=
1.0-1.8, la séparation de la couche de cisaillement du cylindre en amont
ne colle pas au cylindre en aval.
Ce qui signifie que les tourbillons observés
derrière le cylindre aval sont en réalité formés
par le cylindre amont. Le deuxième régime se produit lorsque L/D=
1.8-3.8. Dans le deuxième régime, la couche de cisaillement
séparée du cylindre amont se rattache au cylindre aval et des
tourbillons sont lâches derrière. Pour l'espacement L/D >3.8,
la couche de cisaillement séparée du cylindre amont s'enroule et
forme des allées tourbillonnaires en face du cylindre aval. Ce qu'il
faut noter ici c'est que ce phénomène se produit une fois que le
pas critique entre les deux cylindres L/D~3.8 est dépassé.
Lam et al. (2003), ont réalisé
des investigations expérimentales à l'aide de méthodes de
visualisation pour étudier l'écoulement autour de quatre
cylindres en utilisant différents rapports d'espacement et nombres de
Reynolds.
Concernant les simulations numériques, Lam et Zou
(2006) et Lam et al. (2008) ont réalisé des calculs sur une
configuration regroupant quatre cylindres pour un écoulement à
faible nombre de Reynolds de Re= 200.
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Lam et Zou (2009) se sont concentrés
sur le sillage turbulent complexe génère par les cylindres dans
une configuration carrée. L'objectif de leur étude est
basé sur l'investigation en détail des effets d'espacement et du
nombre de Reynolds sur la distribution de la vitesse moyenne et fluctuante
ainsi que sur le champ complexe de vortex. Le nombre de Reynolds utilise pour
leurs études varie de 11000 à 20000 avec des espacements P/D=
1.5-5.
VI-Etudes numériques
F. Mebarek-Oudina et al (2013) ont
réaliser une étude numérique le phénomène de
l'écoulement d'un fluide incompressible bidimensionnel en régime
laminaire autour de deux cylindres circulaires de différents
diamètres en tandems. Cinq cas d'écoulement selon
différents diamètres hydrauliques ont été
simulés. Le diamètre D du premier cylindre est fixe, alors que le
diamètre du deuxième cylindre changera entre D/4 et 4D, la
distance entre les deux cylindres est fixée à L=4D.
À partir de cette simulation, les résultats
démontrent clairement l'influence du diamètre sur la structure de
l'écoulement, notamment dans la zone d'interférence et la zone du
sillage en aval du cylindre. Ils ont visualisé le
phénomène de Von-Karman, le comportement des particules fluides
est caractérisé par une destruction brusque des tourbillons en
aval du sillage.
M.Cheng et al (2007) ont simulé un
écoulement de cisaillement linéaire incompressible bidimensionnel
au-dessus d'un tube carré. Ils ont montré l'effet du taux de
cisaillement sur la fréquence du décollement de tourbillon du
cylindre. Les résultats obtenus montrent que le vortex derrière
le cylindre dépend fortement du taux de cisaillement et du nombre de
Reynolds. Pour un nombre Re = 50, l'effet d'un petit nombre cause un
décollement de tourbillon alternatif suivi d'une intensité
inégale, alors que pour un Re>50 et une grande valeur de , supprime
le décollement de tourbillon du cylindre. Les différences dans la
force et la taille de vortex des côtés supérieurs et
inférieurs du cylindre deviennent plus prononcées au fur et
à mesure que le nombre augmente.
N. Takafumi et al (2006) ont effectué
une étude numérique bidimensionnelle de L'écoulement
autour d'un cylindre circulaire, en utilisant la modèle DES (Detached
Eddy Simulation).
Les résultats obtenus par la DES a prévu la
cessation du décollement de tourbillon derrière le cylindre ; et
même résultat a été obtenu en utilisant la
méthode simulation RANS (Reynolds Average Numerical Simulation), mais
avec un rapport -espace G=h/d plus petit que la DES.
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R. Belakroum et al (2007) ont
étudié par la méthode des éléments finies,
le modèle LES (Large Eddy Simulation) pour simuler l'écoulement
instationnaire et turbulent d'un fluide incompressible autour d'un cylindre.
Ils ont trouvé que Le phénomène d'éclatement
tourbillonnaire est nettement mis en évidence.
I. Khabbouchi et M.S. Guellouz (2008) Ont
effectué des mesures par PIV dans la zone du sillage proche
derrière un cylindre placé près d'une paroi au niveau de
son bord d'attaque. La configuration géométrique a permis
d'isoler l'effet de l'écoulement type jet qui s'installe dans
l'espacement entre la paroi et le cylindre. Le nombre de Reynolds, basé
sur le diamètre du cylindre et la vitesse de l'écoulement libre
est Re=8667. Ils ont montré l'existence de trois régions
différentes d'écoulement lorsque le cylindre se rapproche de la
paroi. L'effet de l'écoulement type jet se manifeste dans les faibles
rapport- espace (G/D<0.3) en détruisant la couche de cisaillement
inférieure et empêchant, par la suite l'allée de Von Karman
de s'installer dans le sillage.
Tcheukam-Toko D et al. (2013) ont
analysé numériquement l'écoulement bidimensionnel à
canal ouvert au-dessus d'un obstacle produisant un saut hydraulique. Une
attention particulière a été prêtée à
l'effet de frottement près de l'obstacle, et l'interaction entre les
structures de vortex et les bulles d'air. L'influence du deuxième fluide
(air) ; a permis de considérer l'émulsion de l'air-eau comme un
fluide biphasé compressible caractérisé par une fraction
volumique. Le modèle 'volume of fluid'' (VOF) couplé
au modèle turbulent a été appliqué aux deux
équations du modèle standard ê-å ' Reynolds Average
Navier-Stock''(RANS) en deux dimensions. L'algorithme, qui est
développé en utilisant le volume de commande, est adopté
comme procédé numérique.
Des calculs ont été exécutés pour
une grande variation des nombres de Reynolds (Re) et des nombres de Froude
(Fr), correspondant aux différents écoulements. Les
résultats indiquent qu'avec l'augmentation du nombre de Reynolds, les
phases gazeuses ont plus d'influence sur les phases liquides. Dans la zone
ascendante de l'obstacle, la diminution d'épaisseur de couche de
frontière avec le nombre de Reynolds croissant tandis que la taille de
la zone de recirculation augmente en aval de l'obstacle. Les profils de
fraction volumique montrent deux régions justifiant une équation
de diffusion. La comparaison des résultats numériques avec les
données expérimentales de la littérature est
satisfaisante.
Yacine KAHIL (2011) a présenté
des études numériques avec analyse approfondie
d'écoulements turbulents autour d'un ou plusieurs cylindres sur
différentes configurations
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Rédigé par Haroun Boukoun Abdoulaye Page 20
illustratives d'applications industrielles. L'objectif est de
comprendre le comportement de l'écoulement et d'expliquer les
phénomènes physiques qui apparaissent dans certaines
configurations. A l'aide de la technique de la simulation des grandes
échelles (LES), les champs instantanés de l'écoulement et
les forces exercées sur les cylindres sont calculés. En variant
la distance entre les centres des cylindres, plusieurs topologies de sillage
apparaissent. Les simulations ont montré que pour les petits
espacements, les configurations se comportent quasiment comme un corps
unique.
Cependant, pour les rapports intermédiaires, des
instabilités apparaissent avec un changement de comportement de
l'écoulement ainsi que des échappements tourbillonnaires qui
peuvent avoir un grand effet sur les fluctuations des structures. Pour les
grands espacements, les structures se comportent comme un seul cylindre avec
certaines différences pour ceux situe dans le sillage des cylindres en
amont.
L'hydraulique moderne étend ses frontières
au-delà de son domaine traditionnel. Un changement d'orientation
important résulte de l'utilisation de plus en plus poussée des
méthodes numériques de la mécanique des fluides connue
sous le nom "Computational Fluid Dynamics" (CFD).
Ces méthodes constituent l'outil de recherche dans la
présente étude qui consiste à déterminer le champ
dynamique, et montrer l'influence de la proximité sur la formation des
tourbillons dans le sillage de chacun des cylindres.
L'analyse mathématique continue de fournir un
instrument, d'étude et de recherche de premier ordre.
Après cette recherche bibliographique
(numérique et expérimentale) et la définition des axes de
cette étude, il en ressort aisément que beaucoup d'auteurs se
sont intéressé dans les études des écoulements
laminaires et turbulents autours des obstacles à différentes
géométries.
Afin d'atteindre nos objectifs, on aborde le choix de notre
modèle physique, mathématique, ainsi que les conditions aux
limites qui lui sont associées dans le chapitre 2, La description du
problème et la formulation mathématique.
CHAPITRE II : DESCRIPTION DU PROBLEME ET
FORMULATION
MATHEMATIQUE
Mémoire de Master Recherche en physique.
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Dans ce qui suit nous allons faire une description du
problème de notre étude, ensuite présenter les
équations de bases à résoudre dans le code de calcul
industriel FLUENT pour obtenir les profils de champs dynamiques; profils de la
vitesse et de la trainé et enfin présenter la méthode de
résolution numérique utilisée par le code de calcul
industriel FLUENT.
II-1- Description du problème physique
Le dispositif expérimental utilisé pour la
validation de la simulation est une cuve, présenté par
Rojaona et al. (2009). La cuve ayant 20m de longueur, une
hauteur égale à 1m et une largeur de 1m. On place quatre
cylindres de même dimension perpendiculairement au sens de
l?écoulement dans la cuve. Le diamètre varie pour
différentes formes de la géométrie des cylindres a
étudié.
y z
0
x Surface libre
H
H
D
Figure 10 : Géométrie et
coordonné du système
II.2 - Formulation mathématique
II.2.1- Hypothèses simplificatrices
Les hypothèses simplificatrices appliquées dans
notre étude sont les suivantes : -le fluide (eau) est
incompressible
-le régime est turbulent
-l'écoulement est bidimensionnel
-les propriétés physiques sont supposées
constantes (u, )
II-3 Equation de continuité
Pour un écoulement incompressible, les bilans
fondamentaux locaux pour un fluide de masse volumique (en kg/m-3)
s'écrivent dans leur forme non conservative en coordonnées
cartésiennes.
Le principe de l'équation de continuité
s'énonce ainsi : la variation totale de matière est égale
à la diminution de la masse dans le volume.
L'équation de continuité est donnée par la
formule suivante :
( ? (2.1)
Ou encore ( )
L'eau est considérée comme un fluide
incompressible ( =constante) L'équation devient alors :
( )
II-3.1 Equation de quantité de mouvement
La loi de conservation de quantité de mouvement traduite
par les équations de Navier-Stokes exprime tout simplement la loi
fondamentale de la dynamique à un fluide Newtonien. Les équations
de quantité de mouvement écrites suivants x (i =1, 2,3) sont :
( )
( )
(
Le terme visqueux peut s'écrire en fonction de tenseur de
déformation Sij, soit:
( )
Représente les forces dues à la pression
( )
(
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II-3.2 Equation de transport de quantité de
mouvement
On applique pour cela l'opérateur moyen d'ensemble aux
équations du mouvement en pratiquant une décomposition de
Reynolds sur les inconnues, et on retrouve :
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( ) * ( )+ ( )
( )
Les Fi sont les forces de volumes.
L'idée développée par Boussinesq pour
amener la fermeture des équations est de rassembler les termes visqueux.
Pour ce faire, il a utilisé l'analogie aux tensions visqueuses pour
définir le concept de viscosité turbulente. Ainsi, les
contraintes turbulentes seront proportionnelles aux gradients des vitesses
moyennes :
Sont les composantes du tenseur des contraintes de Reynolds,
traduisent l'effet de la turbulence sur l'évolution du mouvement moyen
et rendent les systèmes d'équations ouverts, pour les relier
à l'écoulement moyen, on faut recours au concept de Boussinesq
qui permet de les exprimer en fonction des gradients des vitesses moyennes.
= [ (2.5)
] ( )
Dans cette expression le deuxième terme est là
pour assurer l'égalité lorsque i = j et constitue une
pression.
Le terme k représente l'énergie cinétique
turbulente.
Le tenseur de déformation
Sij= [
] (2.6)
2 représente l'énergie cinétique
turbulente
v k3/2 / = K2 /L (2.7)
=La viscosité turbulente
Et le taux de dissipation
Le terme est quant à lui appelé viscosité
turbulent et, au contraire de la viscosité moléculaire, n'est pas
une propriété du fluide mais dépend fortement de
l'état de turbulence du fluide.
L'énergie cinétique turbulente ne formera donc
pas une inconnue supplémentaire et seul le terme de viscosité
turbulente restera à déterminer.
C'est pourquoi le concept de viscosité turbulente ne
nous apporte qu'une fermeture « apparente » des équations.
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II-3.3 Intensité de turbulence
L'intensité de turbulence axiale dans la partie
centrale d'un tube dépend uniquement de REYNOLDS de
l'écoulement.
Elle peut s'exprimer à l'aide d'une loi empirique [FLUENT
2001] :
I=0.16Re-1/8 soit environ 5% pour un Re=10000.
II-3.4 Modèle de turbulence k-
Les modèles de turbulence k- utilisés par le
logiciel FLUENT sont : le modèle k- standard, le modèle k-epsilon
RNG et le modèle k-epsilon réalisable.
Nous allons utiliser le modèle k- pour effectuer les
calculs dans le logiciel FLUENT. Le modèle de turbulence k-
réalisable proposé par Shih et al. Pour pallier
aux insuffisances des autres modèles tels que le modèle k-l
standard, le modèle k- , RNG...etc.
En adoptant une nouvelle formule de la viscosité
turbulente impliquant une variable C à l'origine (proposé par
Reynolds) et une nouvelle équation pour la dissipation basée sur
l'équation de la dynamique.
a- Equation de transport du modèle k-epsilon
réalisable
L'ensemble des équations de transport pour le
modèle k-epsilon réalisable sont : l'équation de transport
de l'énergie cinétique turbulente et l'équation de
transport du taux de dissipation de l'énergie cinétique
turbulente.
L'équation de l'énergie cinétique
turbulente est donnée par la formule suivante :
b-Equation de transport de l'énergie
cinétique turbulente k :
[( )
( ) ] ( )
Ou encore ( ) ( )
Gk: représente l'énergie cinétique
turbulente due au gradient moyen de vitesse Equation de transport du taux de
dissipation de l'énergie cinétique turbulent :
( ) ( )
( )
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Ou Ç, C E et C2Esont des constantes
empiriques et aE et ak sont respectivement les nombre de Prandtl
turbulents relatifs aux taux de dissipation et à l'énergie
cinétique turbulent.
Jones et Launder (1974) ont proposés Les
valeurs de ces constantes, on trouvera dans le tableau ci-dessous :
Tableau 1 : Constantes empirique
proposés par Jones et Launder (1974)
0.09 1.44 1.2 1.3 1
Ce modèle permet d'étudier de façon
satisfaisante un certain nombre d'écoulements mais n'est applicable
qu'assez loin des parois.
C'est pourquoi, il doit être associé à
une loi de paroi qui permet de ne pas mener la résolution des
équations de bilan jusqu'à cette paroi.
Ce modèle de turbulence a été
appliqué avec succès pour la simulation d'une
variété d'écoulements turbulents.
Il est considéré à l'heure actuelle
comme le modèle le plus fiable et le plus populaire parmi les
modèles de turbulence ; il peut combiner en revanche la
simplicité de la formulation mathématique, le réalisme des
phénomènes de transport et l'économie en terme de
coût numérique.
c- Modèle aux tensions de Reynolds
(RSM)
Contrairement aux modèles précédents qui
utilisent la formulation de Boussinesq, le modèle RSM (Reynolds Stress
Model) conserve telles quelles les tensions de Reynolds.
Ce modèle, qui utilise des équations de
transport pour les tensions de Reynolds, est plus précis que les
précédents dans le cas des écoulements complexes car,
contrairement aux modèles de viscosité turbulente,
l'hypothèse d'une turbulence isotrope n'est pas utilisée.
II-3.5 Equations adimensionnelles
Pour simplifier le problème, nous additionnions les
équations gouvernant le problème donné, pour cela il est
nécessaire de définir des variables réduites.
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Le système de variables réduites permet
d'approcher la réalité physique car leur existence et leur
déroulement sont indépendants du système d'unité
choisi.
X+=X/H
Y+=Y/H
U+=U/U0 (2.10)
P+= (2.11)
II-4- Les équations pour un écoulement
diphasique et turbulent
Notre milieu diphasique est constitué d'un milieu
continu d'eau, dans lequel se trouvent des bulles d'air. Il existe une
interaction forte entre l'eau et l'air. Les équations de conservation de
la masse et de la quantité de mouvement doivent donc prendre en compte
ce couplage.
ü Equations de continuité pour la phase q :
( ? ) ?
( )
: représente le transfert de masse de la
pième phase à la qième phase
Où on a et
: la masse volumique de la phase q et sa vitesse
(m.s-1)
ü Equation de la conservation du moment
l'équation d'équilibre de la quantité de mouvement pour la
phase q : en ne prenant en compte que les forces significatives donnent :
( ? ? ) ?????????? ?( ???
? ) ( ?? ????????? ) ( )
Où:
- : tenseur des contraintes (Pa) de la qiéme
phase.
|
- ??
|
: force extérieures de volumes (N.Kg-1 )
(poids, poussé d'Archimède).
|
-
????????? : force de masse ajoutée (N.Kg-1
).
-
?? : force d'interaction (N.m-3)
à l'interface.
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II-5 Modélisation de la méthode de volume
finis
La méthode des volumes finis est
caractérisée par son avantage à faciliter la
résolution des équations de conservation de masse, de
quantité de mouvement, et d'énergie dans tous les volumes finis
ainsi que dans tout le domaine de calcul.
Elle facilite la linéarisation des termes non
linéaires des équations de conservation telle que le terme
source.
La méthode consiste à mettre les équations
sous la forme d'une équation générale de transport
(convection - Diffusion) pour la variable Ö :
( ) ( ? ) ? ( )
Où I est les termes de convection, II les termes de
diffusion et III les termes sources de la grandeur considérée.
II-6 Problème de fermeture du système
Dans l'optique de modéliser la turbulence, il faut
associer à ces équations de Reynolds des équations dites
de « fermeture ». A cause de la nature non-linéaire des
équations bilans, de nouveaux termes de corrélations doubles
appelés les tenseurs de Reynolds apparaissent dans les
équations de conservation moyenne (ces termes sont ici
intégrés dans les termes de diffusion). Ils représentent
le transport des fluctuations de vitesse par elles-mêmes et traduisent
l'effet de la turbulence sur l'évolution du mouvement moyen et rendent
le système d'équation ouvert (plus d'inconnues que de relations).
Cette phase de formulation de nouvelles équations de fermeture du
système correspond à la modélisation de la turbulence
proprement dite.
Par définition, nous dirons qu'un modèle de
turbulence est la procédure numérique de fermeture du
système d'équations de l'écoulement moyen. Pour ce faire,
depuis 1970, divers modèles de turbulence ont été
développés et appliquées aux écoulements
turbulents.
La première est celle des modèles à
viscosité turbulente pour lesquels on évalue le tenseur des
contraintes turbulentes à partir du tenseur des déformations.
La seconde est celle des modèles aux tensions de
Reynolds, pour lesquels on résout une équation de transport pour
chacune des composantes du tenseur des contraintes turbulentes.
Nous nous intéresserons aux modèles à
viscosité turbulente (en Anglais, « Eddy-Viscosity Model »),
il s'agit d'établir des équations reliant la viscosité
turbulente aux autres inconnues du problème telles que les gradients de
vitesse via une échelle de longueur appelée
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longueur de mélange (modèle à zéro
équation), l'énergie cinétique turbulente (modèle
à une équation) et des variables de turbulences (modèles
à deux équations supplémentaires) (Wilcox, 1998 ;2006,
Chassaing, 2000).
II-6.1 Modèles de fermeture en hydrodynamique
Parmi les modèles à deux équations
supplémentaires qui existent nous pouvons citer le modèle
«K - E»
standard proposé par Jones et Launder
(1972), qui consiste à exprimer la viscosité turbulente comme une
fonction des variables de turbulences à savoir le taux de dissipation et
l'énergie cinétique turbulente.
Une échelle de vitesse permet d'obtenir
l'énergie cinétique turbulente k et l'équation de
transport portant sur le taux de dissipation est définit par une
échelle de longueur L quelconque tel que:
e=cuK2 /L
En adoptant comme hypothèse sur í une relation
du type Prandtl-Kolmogorov reliant la viscosité turbulente et
l'énergie cinétique turbulente (Jones et Launder, 1972):
ut = L-klK ( 2.15)
L est longueur homogène du canal K l'énergie
cinétique turbulent
e=cuK3/2/L (2.16)
Les équations du modèle de K -epsilon sont
obtenues en manipulant les équations algébriques de
quantité de mouvement, allant de la multiplication par les termes de la
vitesse appropriée et la modélisation découlant des
termes.
Nous présentons ici les équations de
l'énergie cinétique turbulente et du taux de dissipation du
modèle de fermeture k- e standard tel qu'elles sont
implémentées dans le code de calcul industriel FLUENT, et en
tenant compte des hypothèses simplificatrices énoncées
plus haut.
II-6.2 Equation de l'énergie cinétique
turbulente k
Elle est obtenue en prenant la moyenne du produit scalaire de
l'équation de quantité de mouvement fluctuante par le vecteur de
vitesse fluctuante (Padet, 1991).
|
(pku,) =
|
ô
( 2.17)
ôxj[( uu / ) ô ôxj_I +G
--pe
|
Ou encore ( ) ( )
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Gk : représente l'énergie cinétique
turbulente due au gradient moyen de vitesse.
II-6.3 Equation de transport du taux de dissipation
( ) ) ( )
Le modèle k - ?? standard est
très largement utilisé par la communauté scientifique. Il
est économique en temps de calcul numérique et il est
suffisamment précis.
Ce modèle combine la simplicité dans la
formulation mathématique et permet de prendre en compte à la fois
les phénomènes de transport d'énergie cinétique et
la variation spatiale de la turbulence. Néanmoins, il est
inapproprié à la modélisation des écoulements
turbulents complexes tels que les phénomènes à forte
anisotropie, à forts gradients de pression, à forte
compressibilité ou aux phénomènes de recirculation.
On pourra se reporter par exemple au document qui en propose
une synthèse quasi complète (Padet, 1991).
II-6.4 Conditions aux limites associées aux
équations
En pratique, on distingue les conditions à
l'entrée du domaine, au niveau des parois puis à la sortie du
domaine de calcul, pour cela il faut fournir au modèle numérique
les conditions initiales qui représentent l'état de
l'écoulement lors du démarrage de la simulation.
Entrée : les valeurs des vitesses et de
la température sont imposées: U0; V0; K0.
Sortie : on impose généralement
les conditions d'écoulement établi, caractérisées
par la pression de sortie «pressure-Outlet» (Patm) est
appliquée au niveau des sorties du canal impose une hauteur d'eau sur
une section de la conduite. Elle permet d'avoir une densité constante
sur une hauteur donnée, c'est-à-dire que les cellules voisines
sont remplies d'eau. Cette condition est utilisée essentiellement pour
imposer une condition à l'aval d'un canal à ciel ouvert.
CHAPITRE III : RESULTATS ET DISCUSSION
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3.1- Introduction
La discrétisation des équations
présentées dans le chapitre précédent traduisant
l'écoulement d'un fluide incompressible et turbulent, l'opération
est de transformer ces équations différentielles en un
système d'équations algébriques.
Dans ce qui suit, seront décrits la construction de la
géométrie, la génération du maillage ainsi que
l'incorporation des conditions aux limites telles qu'elles ont
été élaborées dans le mailleur Gambit et le solveur
Fluent.
3.2- GAMBIT
Le logiciel Gambit est un pré-processeur
intégré pour l'analyse en CFD (Computational Fluid Dynamics). Il
est utilisé pour construire une géométrie et
généré son maillage, génère des
fichiers*.msh pour Fluent.
Les options de génération de maillage de GAMBIT
offrent une flexibilité de choix.
La géométrie peut être
décomposé en plusieurs parties pour générer un
maillage structuré, sinon GAMBIT génère automatique un
maillage non structure adapté au type de géométrie
construite. Les défauts sont détectés à l'aide de
son interface comportant plusieurs fenêtres d'outils de création,
génération, vérification du maillage du modèle
étudié et l'incorporation des conditions aux limites.
3.3 Géométrie
a- Maillage du domaine de calcul
La création de la géométrie et son
maillage sont réalisés grâce au logiciel Gambit. Plusieurs
méthodes permettent la création de cette géométrie;
soit on se base sur des géométries prédéfinies,
soit il suffit d'entrer les coordonnées des différents points (x,
y) en 2D, de créer les segments et enfin de créer la surface par
'wireframe''
Deux choix principaux du maillage sont proposés
à savoir : un maillage à base de cellules quadrilatères,
soit à base de cellules triangulaires.
Mémoire de Master Recherche en physique.
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L'utilisation d'un maillage triangulaire induirait un surplus
du nombre de cellules par rapport au maillage quadrilatère et
nécessiteras plus ressources et de temps de calcul.
Le maillage utilisé pour notre étude est un
ensemble de cellules quadrilatères (maillage uniforme et
structuré).
La configuration géométrique traitée est
présentées ci-dessous :
3-4 Présentation du code de calcul FLUENT
Le code de calcul Fluent est un programme de simulation
numérique des écoulements de fluide compressible, incompressible,
stationnaire ou instationnaire impliquant divers phénomènes
physiques tels que le transfert de chaleur, la turbulence, les réactions
chimiques, les écoulements dans les machines tournantes, moteurs
thermiques, et ce pour des géométries industrielles très
complexe.
Ce code permet aussi le raffinement du maillage en fonction
des conditions aux limites, des dimensions et même des résultats
déjà obtenus. Cette capacité est particulièrement
utile surtout dans les régions à gradients importants comme les
couches limites ou zone de mélange. Enfin toutes les fonctions
exigées pour calculer une solution et pour manifester les
résultats sont accessibles par une interface pilotée par le
menu.
3.5 Traitement près de la paroi
Les écoulements turbulents sont affectés de
façon significative par la présence de parois. Au contact de
celles-ci, la vitesse du fluide est nulle, A proximité la turbulence est
fortement amortie et les phénomènes dus à la
viscosité moléculaire du milieu y sont
prépondérants. La
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turbulence augmente très rapidement lorsque l'on
s'éloigne des parois. C'est une condition de non glissement.
Les équations développées ci-dessus
(Modele K-å) ne sont donc plus valables près des parois car
l'écoulement n'y est pas pleinement turbulent. Il est donc
nécessaire de modéliser l'écoulement près des
parois de façon différente. Le code de calcul Fluent propose deux
approches s'inspirant de cette théorie.
La première, Semi-empirique, utilise une fonction
appelée « Wall function »qui permet de relier le mur à
la couche extérieure, pleinement turbulente. Il existe deux options
d'utilisation: 'Standard Wall function'' est proposé par
défaut par le code Fluent.
Non equilibrium wall function' est
particulièrement adaptée pour les écoulements complexes,
soumis, à de forts gradients de pression.
La deuxième approche consiste à modifier le
modèle de turbulence pour le rendre compatible avec l'écoulement
aux parois. Elle nécessite un raffinement du maillage le long de
celles-ci.
3.6 Champ moyen
Dans la couche logarithmique du profil de vitesse, la loi de
paroi pour la vitesse moyenne
est :
Ou:
( ) ( )
/ /
/
( )
/
/
E : Constante empirique qui dépend de la rugosité
de paroi la (E=9.8)
K : constante de Von karman (K=0.42)
Up : vitesse moyenne du fluide au point p.
Kp : énergie cinétique turbulente au
point p.
Yp : énergie cinétique turbulente au
point p.
u: viscosité dynamique du fluide.
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La loi logarithmique est validée pour Y*
variant de 30 à 300. Pour Fluent elle est appliquée pour
Y+ >11,225. Dans le cas contraire, c'est-à-dire à
l'intérieur de la sous couche laminaire, une relation linéaire
est utilisée : U+=Y+
3.7 -Champ turbulent
Pour le modèle k-å, l'équation de
l'énergie cinétique turbulente k est résolue dans tout le
domaine, y compris les cellules des parois. La condition aux parois
imposée est :
Où n est la coordonnée locale normale à la
paroi.
La production de l'énergie cinétique turbulent et
son taux de dissipation (qui
représentent les termes source dans l'équation de
k) au niveau des cellules des parois sont calculés sur la base de
l'hypothèse de l'équilibre local qui exige
l'égalité entre la production de k et son taux de dissipation
dans les dites cellules.
Les équations permettant le calcul de la production de k
et le taux de dissipation de å sont respectivement :
/
71- 1 / 4 / z 3
4/
3.8 Intégration des Conditions aux limites
Plusieurs types de conditions aux limites sont proposés
dans le code de calcul Fluent.
Nous en utilisons essentiellement trois : En entré la
vitesse de l'écoulement, pression de sortie (pressure Outlet), condition
de paroi (wall).
En entrée, nous définissons "inlet velocity" La
vitesse du fluide est indiquée.
La deuxième condition "pressure Outlet" (pression de
sortie) : est appliquée au niveau des sorties déverser ou
conservé (sortie de fluide à la pression
atmosphérique).
Il s'agit d'une condition de sortie du fluide pour laquelle
les flux diffusifs de toutes les variables autres que la pression dans la
direction perpendiculaire à la frontière sont supposés
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nuls, les conditions étant déduites en
écrivant un équilibre massique global à l'échelle
du domaine de calcul.
La troisième condition «Wall» est une
condition de flux nul. Elle est appliquée au niveau des parois ou des
seuils. La vitesse est tangente â la paroi pour les cellules du
voisinage. Notre écoulement est délimité par des parois
imperméables et le fluide d'essai est de l'eau, donc un fluide visqueux,
ce qui nous conduit à une condition aux limites de non glissement (Ui
=0) sur les parois.
3.9-Choix des schémas de
discrétisation
Les schémas de discrétisation utilisés
dans le présent travail sont résumés comme suit :
Tableau 2 : facteur de sous relaxation dans fluent
|
Pression
|
Standard
|
|
Quantité de mouvement
|
Second order upwind
|
|
Energie cinétique turbulente
|
Second order upwind
|
|
Taux de dissipation
|
Second order upwind
|
|
Pression
|
Quantité mouvement
|
de
|
Energie turbulente
|
cinétique
|
Taux de dissipation
|
|
0.3
|
0.7
|
|
0.8
|
|
0.8
|
a- L'algorithme simple
L?algorithme SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked
Equation) est une procédure de prédiction correction, avec
laquelle il nous sera possible de tirer un champ de pression et de vitesse
vérifiant à la fois les équations de quantité de
mouvement et celle de continuité.
Le schéma représentatif de ce processus
itératif est le suivant :
Hypothèse de départ Ö*= P*,
U*, V*, K*, ?*
Propriétés physiques du fluide
Résolution des équations discrétisées
de la quantité de mouvement
u*, v*
Résolution de l'équation de correction de la
pression
(à partir de l'équation de conservation de la
masse)
P*
Correction des vitesses et des pressions
p, u, v, k*, e*
Résolution des autres équations de
transport
(turbulence, K, ?.)
k, e
Convergence
Non
Fin
Oui
P*=p, u*=u, v*=v
k*=k, ?*=
?
Figure 11 : Schéma représentatif
de l'algorithme SIMPLE
u, v sont les composantes du vecteur vitesse. P
représente la pression. CD est défini par : CD = CD* + CD'. CD'
est une correction.
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b- Séquences de l'algorithme simple
La séquence des opérations de calcul de la
méthode SIMPLE est la suivante :
y' Estimer un champ de pression P*.
y' Résoudre les équations de quantité de
mouvement pour en tirer les champs de vitesses
V' et V*.
y' Résoudre l'équation de correction de pression
P'
y' Corriger la pression P =P'+ P*.
y' Corriger les champs de vitesses U et V en utilisant les
formules de corrections.
y' Prendre le champ P comme une nouvelle estimation et
recommencer la séquence à
partir de l'étape 2, jusqu'à la convergence.
3.10 Convergence des calculs
Pour s'assurer de la convergence des calculs, on ne fixe pas
de critère de convergence dans le panel "Monitor&Residual".
On pourra donc arrêter la simulation lorsqu'on estimera que
la convergence est atteinte. Tous les résidus (équation de
continuité, vitesse axiale, vitesse radiale,) sont inférieurs
à106. Les résidus ont atteints une valeur constante
qui n'évolue plus avec l'augmentation du Nombre d'itération.
Le graphe des résidus pour ce calcul est
présenté par la figure 8.
Comme nous le constatons la convergence est atteinte après
environ 1363 itérations.
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Figure 12 : Evolution des résidus au
cours des itérations
3.11 ETUDE DU CHAMP DYNAMIQUE
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Dans cette partie, nous allons évaluer l'influence des
différents paramètres adimensionnels dont le nombre de Reynolds
Re et le nombre de Froude Fr sur les champs de vitesse moyens dans le plan (X+,
Y+) de l'écoulement et sur l'évolution des profils axiaux et
radicaux de la vitesse.
On pose les variables normalisées suivantes :
X+ =X/H avec H : la hauteur du canal
Y+ =Y/H
Pour la représentation graphique de nos
résultats nous avons utilisé le logiciel de graphisme TECPLOT
8.0.
a-Topologie des sillages
Les figures (13), (14), (15) (16) et (17) montrent les
contours de la vitesse longitudinale pour différents nombre du Reynold
respectivement. On remarque un écoulement symétrique qui montre
la présence des tourbillons au décollement ; entre les deux
cylindres en amont et aval. On note un net changement de vortex qui se
développe en visualisant l'allée tourbillonnaire de Von-karman
avec un allongement de la zone de sillage. On assiste ainsi à
l'apparition de paire de tourbillons alternés qui se détache
derrière les cylindres.
En augmentant la vitesse, l'écoulement change de
topologie et présente de nouvelles structures. Cette fois La zone de
recirculation reste relativement régulière entre les deux
cylindres mais devient fortement perturbée à la fin de la zone de
recirculation où les premiers tourbillons sont
générés. La vitesse moyenne dans l'axe du sillage est
nulle à la paroi, atteint un minimum négatif Umin dans
la zone de recirculation et converge ensuite vers la vitesse extérieure.
De plus on passe à une nouvelle catégorie d'écoulement
même si on a une ressemblance avec le cas précédent.
Cependant, on note l'apparition de nouvelles recirculations du
côté inter-cylindres des deux cylindres en aval et en amont.
Cependant, on remarque l'absence des recirculations dans la zone du sillage.
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Figure 13 : Champs de vitesse adimensionnelle U+
= f (X+, Y+) pour Re = 9.60 103
Figure 14 : Champs de vitesse adimensionnelle
U+ = f (X+, Y+) pour Re = 1.97 104
Figure 15 : Champs de vitesse adimensionnelle
V+ = f (X+, Y+) pour Re = 2.28 104
Figure 16 : Champs de vitesse adimensionnelle V+
= f (X+, Y+) pour Re = 2.61 104
Figure 17 : Champs de vitesse adimensionnelle V+
= f (X+, Y+) pour Re = 2.74 104 Tableau 3 :
Caractéristiques hydrodynamiques de l?écoulement
étudié
|
Re
|
I
|
d
|
U (m/s)
|
|
9.60 103
|
5.085
|
0.026
|
0.06
|
|
1.97 104
|
4.648
|
0.026
|
0.123265
|
|
2.28 104
|
4.564
|
0.026
|
0.14231
|
|
2.58 104
|
4.494
|
0.026
|
0.16123
|
|
2.74 104
|
4.460
|
0.026
|
0.171255
|
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Mémoire de Master Recherche en physique.
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b-Profils de vitesse longitudinale adimensionnelle U+= f
(Y+)
Dans ce paragraphe, pour plusieurs vitesses débitantes
données, nous présentons les vitesses longitudinales
adimensionnelles pour cinq (5) différentes positions axiales allant de
l'entrée du canal vers la sortie (X+ = 0.50, X+ = 0.80, X+ = 0.85, X+ =
1.15, X+=1.5).
Figure 18 : Profils de vitesse longitudinale
adimensionnelle U+= f (Y+)
Figure 19 : Profils de vitesse longitudinale
adimensionnelle U+= f (Y+)
Nous avons ensuite déduit pour une vitesse
débitante donnée, l'évolution de l'épaisseur de la
couche limite dynamique dans le canal correspondant à chaque position
X+.
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Figure 20 : Profils de vitesse longitudinale
adimensionnelle U+= f (Y+)
Nous constatons que ces profils de vitesses montre la
présence de quatre pics, deux à l'extérieure et deux
autres entres les cylindres. Ces pics sont dus à la séparation
des couches cisaillées des deux côtés de chaque cylindre
où l'on se trouve dans la zone proche sillage où il y a une forte
recirculation. Les profils diminuent et les couches de cisaillement s'enroulent
pour donner des vortex. A ce stade l'écoulement du fluide est
complètement établi.
c-Détermination de l'épaisseur de la couche
limite dynamique
La figure suivante, représentent, l'évolution de
l'épaisseur de la couche limite dynamique correspondant aux
différentes vitesses radiales présentées ci-dessus.
Par convention, cette épaisseur correspondant à une
composante U de la vitesse moyenne égale à 0,99Umax (cette
épaisseur correspond la valeur maximale de U+ suivant L'axe
longitudinal).
Y+= ô /H avec H la hauteur du canal et ô la couche
limite dynamique.
Figure 21 : Epaisseur de la couche limite
dynamique ä = f(X+)
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Sur cette figure nous pouvons remarquer que, quelque soit la
valeur du nombre de Reynolds, la couche limite est très mince aux
limites à l'entrée du canal. Elle augmente ensuite rapidement
d'épaisseur en raison de l'action continue de la contrainte tangentielle
visqueuse qui est considérable, car les gradients de vitesse sont
importants.
A partir du 0.84 de la longueur du canal, l'épaisseur
de la couche ne change peu et tend à se stabiliser.
L'épaisseur de la couche limite dynamique
décroit quand le nombre de Reynolds augmente. Ceci s'explique par le
fait qu'aux faibles nombres de Reynolds, les contraintes visqueuses
prédominent, favorisant l'augmentation de l'épaisseur de la
couche limite.
Une étude numérique faite par Tckeukam Toko et
al.,(2012) sur un fond hydrauliquement lisse a permis d'aboutir à un
constat similaire.
3.12- Champ de pression adimensionnelle
Les figures (22, 23, 24,25, 26) montrent les contours de la
pression dynamique dans le domaine d'étude. La légère
chute de pression de l'entrée à la sortie due au frottement du
fluide avec les parois de l'obstacle et de canal est mise en évidence.
Le ralentissement de l'écoulement en aval des cylindres induit un
gradient de pression inverse. Ce dernier, produit un écoulement de
retour qui dévie l'écoulement incident et cause, ainsi un
décollement de chaque côté du cylindre en amont. Plus le
nombre de Reynolds augmente, plus les points de décollements remontent
vers le point d'arrêt amont. Les deux couches minces
décollées de part et d'autre de cylindres se rejoignent à
une certaine distance entre le deux cylindres amont et crée les vortex,
sur l'axe du sillage ou le gradient de vitesse et pression à la paroi du
cylindres est nul.
Figure 22 : Champs de pression adimensionnelle
P+ = f (X+, Y+) pour Re = 9.60 103
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Figure 23 : Champs de pression adimensionnelle
P+ = f (X+, Y+) pour Re = 1.97 104
Figure 24 : Champs de pression adimensionnelle
P+ = f (X+, Y+) pour Re = 2.28 104
Figure 25 : Champs de pression adimensionnelle
P+ = f (X+, Y+) pour Re = 2.58 104
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Figure 26 : Champs de pression adimensionnelle
P+ = f (X+, Y+) pour Re = 2.74 104 a- Profils de pression
adimensionnelle U+= f (Y+)
Dans ce paragraphe, nous présentons les profils de
pression dynamique adimensionnelles pour quatre (4) différentes
positions axiales allant de l?entrée du canal vers la sortie (X+ = 0.55,
X+ = 0.80, X+ = 0.85, X+ = 1.20).
Figure 27 : Profils de pression dynamique
adimensionnelle P+= f (Y+)
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Figure 28 : Profils de pression dynamique
adimensionnelle P+= f (Y+)
On remarque que ces profils de pression sur les parois
normales des cylindres montrent, comme on pouvait s'y attendre, une surpression
en amont du cylindre et une dépression en aval. En amont, le gradient de
pression positif est significatif et traduit le ralentissement devant les
obstacles jusqu'au point d'arrêt amont. En effet Nous constatons quand le
nombre de Reynolds augmente que la dépression en aval du cylindre
devient moins importante dans le sillage.
4- COMPARAISON DES RESULTATS
Dans cette partie, nous élaborons des comparaisons des
résultats obtenus lors de nos simulations numériques, entre les
modèles (K- å) et (K-epsilon Réalisable), et aves les
résultats expérimentaux de Martinuzzi et al(2011).
La comparaison a été faite sur
l'évolution du nombre de Reynolds et différentes position du
champ adimensionnel Y+.
Sur les figures suivantes, nous avons tracé,
respectivement, les profils verticaux de la vitesse moyenne longitudinale,
au-dessus du fond de la paroi lisse du canal.
Figure 29 : Profils de vitesse longitudinale
pour Y+=0.2 et Y+=0.48
Figure 30 : Profils de vitesse longitudinale
pour Y+=0.78 et Y+=0.8
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En comparant les profils de vitesse longitudinale de nos
résultats numériques à ceux des mesures
expérimentales, nous remarquons que les pentes des courbes sont
sensiblement identiques.
Nous constatons qu'au fur et à mesure que le fluide
s'éloigne de l'entrée, les courbes (K- å) se rapprochent de
celles obtenues expérimentalement et s'écartent de celles
obtenues par le modèle (K-epsilon Réalisable).
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Cet écart peut être relatif aux effets des pertes
de charges et des frottements visqueux dans le canal, ou des erreurs lors des
tracées numériques peut aussi expliquer ces
phénomènes.
Alors nous pouvons affirme que le modèle (K-E) standard
et le mieux adapté qu?au modèle (K-epsilon Réalisable) et
en accord avec la littérature.
CONCLUSION ET PERSPECTIVES
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Dans ce mémoire, une étude numérique
bidimensionnelle des écoulements turbulents autour de quatre cylindres a
été menée.
Le fluide entre dans le canal à une température
et pression constantes.
Nous avons évalué l'influence des
paramètres adimensionnels dont le nombre de Reynolds pour
déterminer les différents profils de champs dynamiques, des
vitesses et des pressions. Les équations de Navier Stockes
associées au modèle de turbulence (K-E) standard et (K-epsilon
Réalisable) sont discrétisées par la méthode de
volumes finis puis résolues numériquement par le code de calcul
industriel FLUENT. La simulation numérique par Fluent a
été adoptée pour un écoulement stationnaire d'un
fluide incompressible en régime turbulent.
Nous avons remarqué une production importante de
l'énergie cinétique turbulente à partir de la
moitié des cylindres en aval et dans la zone de sillage dû
essentiellement aux forts gradients de vitesse.
La présence des obstacles accompagne un
développement plus rapide de la couche limite à la paroi
où les niveaux de turbulence sont plus importants.
Ce qui se traduit par un accroissement important des
quantités de mouvement entre particules fluides.
En effet, les résultats obtenus sur les champs
dynamiques révèlent que sous l'action des frottements, Les
profils diminuent et les couches de cisaillement s'enroulent pour donner des
vortex. A ce stade le principe de la conservation de la masse est
complètement établi. Ainsi, la cellule au centre de
l'écoulement augmente en taille et en forme avec le nombre de
Reynolds.
Plusieurs travaux futurs, concernent la simulation
numérique de l'écoulement tridimensionnel, instationnaire et
turbulent d'un fluide newtonien et incompressible autour d'un ou plusieurs
cylindres reste à faire. Il serait très intéressant de
passer à d'autres modèles de turbulence par exemple LES (Large
Eddy Simulation), comme perspective.
Mémoire de Master Recherche en physique.
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Mémoire de Master Recherche en physique.
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ANNEXES
A- Préprocesseur Gambit
GAMBIT (Geometry And Mesh Building Intelligent Toolkit)
préprocesseur qui permet de mailler des domaines de
géométrie d'un problème de CFD (Computational Fluid
Dynamics). Il génère des fichiers *.msh pour Fluent. Fluent est
un logiciel qui résout par la méthode des volumes finis des
problèmes de mécanique des fluides et de transferts
thermiques.
Gambit regroupe trois fonctions : définition de la
géométrie des problèmes construction si la
géométrie est simple ou bien import de la géométrie
CAO), le maillage et sa vérification, la définition des
frontières (Types de conditions aux limites) et définitions des
domaines de calculs.
Les différentes étapes d'utilisation de GAMBIT
sont définies dans la notice suivant :
A-1- Interface de Gambit
Après avoir lancé le logiciel, l'interface
d'utilisation apparaît :
FigA.1 Vue globale de Gambit
A-2 Construction de la Géométrie
La finalité de la construction de la
géométrie est de définir les domaines de calcul qui
seront
des faces dans un problème 2D et des volumes dans un
problème 3D.
La finalité de la construction de la
géométrie est de définir les domaines de calcul qui
Seront des faces dans un problème 2D et des volumes dans
un problème 3D.
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Fig A2 : Fenêtre d'outils de
géométrie
A-3Importation de la géométrie
Souvent la géométrie est conçue par des
logiciels de la CAO (SolidWorks, CATIA...). Dans ce cas, on a recours à
l'importation de la géométrie. Il est conseillé d'importer
des fichiers sous format ACTS (*.sat). Souvent il est indispensable de nettoyer
la géométrie
.
Fig A3 : Fenêtre d'importation de
géométrie
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A-4 Maillage d'une face et d'un volume
Ces deux menus sont fondamentaux pour la création d'un
maillage dans un domaine.
Remarque : il est possible que dans certaines
géométries complexes Gambit refuse de mailler un domaine en
structuré. Dans ce cas, deux solution possible : soit de mailler en non
structuré, soit de définir des « sous domaines » dans
lesquelles la géométrie est assez cartésienne pour
permette un maillage structuré.
Fig.A4. Menu maillage d'une face et d'un
volume
B- Présentation de FLUENT
Cette partie présente le logiciel FLUENT, une explication
de ses aptitudes, et des instructions
pour paramétrer le solveur. Il explicite les étapes
nécessaires pour réussir une simulation d'un
problème en mécanique des fluides.
B-1Importation de la géométrie (*.msh)
Pour commencer la simulation il faut importer le fichier (*.msh)
généré sous Gambit.
File Read Case
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Fig B1 : importation de la
géométrie
B-2 Vérification du maillage
Grid Check
Ceci permet de vérifier si le maillage importé ne
contient pas d'erreurs ou de volumes négatifs.
Fig B2 : Vérification du maillage sous
Fluent
Grid Smooth/Swap...
Pour s'assurer de la qualité du maillage, il est pratique
de lisser le maillage, cliquez sur le bouton Smooth puis sur le bouton Swap.
Répétez jusqu'à ce que FLUENT affiche que zéro
faces sont swapped.
Grid Scale
Il faut toujours vérifier que les dimensions
affichées correspondent aux dimensions physiques du problème.
Fig B21 : vérification des
unités
B-3 Choix du solveur
Define Models Solver...
- Segregated Solver : est le plus approprié pour les
écoulements incompressibles (ventilateurs, pompes...)
- Coupled Solvers, les solveurs « coupled implicit » et
« coupled explicit », sont plutôt réservés aux
écoulements compressibles à grande vitesse.
C'est là aussi qu'on choisit le régime
d'écoulement ; permanent ou instationnaire.
Fig B3 : Choix du solveur sous Fluent
B-4 Choix du modèle de turbulence
Define Models Viscous
Fluent propose différentes modélisations de
l'écoulement turbulent. Parmi lesquels les écoulements non
visqueux, laminaires, turbulents ... etc.
Fig B4 : Choix du modèle de Turbulence
B-5 Définition des caractéristiques du
fluide
Define Materials
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Les caractéristiques du fluide sont chargées
à partir de la bibliothèque de données de Fluent.
Fig B5 : Définition des caractéristiques du fluide
B-7 Choix des critères de convergence
Solve Monitors Residual...
Il s'agit ici de choisir les critères qui doivent
être vérifiés pour que les calculs de lasimulation
s'arrêtent.
Fig B5 : choix et affichage pendant les calculs des
critères de convergences
Pour afficher la convergence à l'écran pendant
les calculs sous forme d'un graphe, il faut activer l'option Plot. Il est
possible de désactiver certains critères d'arrêt de la
simulation en décochant la case de convergence.
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