Le modèle Biprobit ou Probit bivarié est un
modèle à deux équations qui s'applique lorsque deux
variables qualitatives dichotomiques doivent être expliquées
simultanément. Il permet ainsi de calculer la probabilité de deux
événements simultanés.
Soit le modèle (25)
Où xi1 est un vecteur 1
k1, xi2 un vecteur 2
k2
Les variables latentes et
représentent la propension à satisfaire à l'indicateur de
la qualité de la structure de l'habitat et la propension à
satisfaire à l'indicateur de la qualité de l'infrastructure de
l'habitat. Elles sont expliquées par des combinaisons linéaires
de xi1 et de xi2 respectivement. Les variables latentes
sont inobservables mais nous observons si le ménage a satisfait les
indicateurs de la structure et de l'infrastructure ou pas. En d'autres termes,
le ménage dispose de la qualité de la structure et de
l'infrastructure ( et
)
si les propensions à satisfaire aux indicateurs de la qualité de
la structure et de l'infrastructure de l'habitat sont strictement positives
(
et ). Dans le cas contraire, le ménage ne les satisfait pas.
Formellement, ces conditions peuvent s'écrire comme suit :
(26)
L'estimation du modèle Biprobit se fait sous les
hypothèses sur les termes des erreurs ìi1 et
ìi2 suivantes :
(c) La loi conjointe des termes ìi1 et
ìi2 est normalement et conjointement distribuées,
(c) Leurs espérances mathématiques sont
nulles :
(c) Leurs variances sont normalisées à 1 :
(c) Leur covariance égale à ñ :,
où est
le coefficient de corrélation entre ìi1 et
ìi2.
La fonction de répartition associée à la
loi normale bivariée avec
variance égale à 1 est :
(27)
Où est la
densité de la loi normale bivariée.
Le log-vraisemblance s'écrit :
(28)
où
et (29)
2°) Estimation du modèle Biprobit
Les estimateurs du modèle Biprobit s'obtiennent par la
maximisation numérique du log-vraisemblance par rapport aux
paramètres . Si
les termes ìi1 et ìi2 ne sont pas
corrélés, la densité bivariée ö2
est égale au produit des densités marginales :
(30)
Où (.)
est la fonction de répartition de la loi normale univariée.
Du reste, les conditions d'estimations de ce modèle se
rapportent au cas du Probit lorsque.
"I don't believe we shall ever have a good money again before we take the thing out of the hand of governments. We can't take it violently, out of the hands of governments, all we can do is by some sly roundabout way introduce something that they can't stop ..."Friedrich Hayek (1899-1992) en 1984
(25)
k1, xi2 un vecteur 2 
k2
et
représentent la propension à satisfaire à l'indicateur de
la qualité de la structure de l'habitat et la propension à
satisfaire à l'indicateur de la qualité de l'infrastructure de
l'habitat. Elles sont expliquées par des combinaisons linéaires
de xi1 et de xi2 respectivement. Les variables latentes
sont inobservables mais nous observons si le ménage a satisfait les
indicateurs de la structure et de l'infrastructure ou pas. En d'autres termes,
le ménage dispose de la qualité de la structure et de
l'infrastructure (
et
)
si les propensions à satisfaire aux indicateurs de la qualité de
la structure et de l'infrastructure de l'habitat sont strictement positives
(
et 
). Dans le cas contraire, le ménage ne les satisfait pas.
Formellement, ces conditions peuvent s'écrire comme suit :
(26)
,
où 
est
le coefficient de corrélation entre ìi1 et
ìi2.
avec
variance égale à 1 est : 
(27)
est la
densité de la loi normale bivariée. 
(28) 
et 
(29)
. Si
les termes ìi1 et ìi2 ne sont pas
corrélés, la densité bivariée ö2
est égale au produit des densités marginales : 
(30)
(.)
est la fonction de répartition de la loi normale univariée.
.