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Programmation linéaire outil effficace pour la plannification optimale de la production dans une entreprise industrielle .Cas de la Briqueterie Rwandaise Ruliba( Télécharger le fichier original )par Jean Claude Michel Mr Ngirabanzi Université Libre de Kigali - Licence en Economie 2003 |
3.5.5. Prix fictifs dans le dualLorsqu'on utilise le dual pour résoudre le primal, la valeur marginal ou le prix fictif de la ième ressource du primal est donnée directement par la variable de décision correspondante de la fonction objectif du dual. Ainsi, dans le dual, zi donne le prix fictif de la ième ressource du primal. La valeur optimale de la fonction objectif est toujours égale à la somme des produits des ressources par leurs prix fictifs respectifs. En se servant des précédents exemples, on a :
n M= bizi = b1z1 + b2z2 + b3z3 I=1Avec bi : ième ressource du primal zi : ième valeur de la variable de décision du dual 3.5.6. Algorithme du simplexe et dual On peut utiliser le tableau final du dual pour déterminer les valeurs optimales de la fonction objective du primal et des variables de décision du primal. Dans le tableau final du dual, les indicateurs qui correspondent aux variables d'écart du dual donnent aussi les valeurs optimales des variables de décision du primal. Ici il faut noter que les indicateurs qui correspondent aux variables artificielles n'ont aucune signification économique. Exemple non chiffré Max M = g1x1 + g2x2 + g3x3 Sous les contraintes a11x1 + a12x2 + a13x3 b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 b2 x1, x2, x3 0 Le problème dual correspondant est : Minimiser F = b1z1 + b2z2 a11z1 + a21z2 g1 a12z1 + a22z2 g2 a13z1 + a23z2 g3 z1, z2 0 Transformons xi en zi et Si en ti pour adopter les notations d'un dual, et supposons que l'on obtient un tableau final suivant : Tableau n0 5 : Présentation simplifiée du tableau final
f1 f2 f3 . . . . Indicateurs
Source : fait par l'auteur sur base du tableau final du modèle
Les différents points représentent les différents éléments du tableau final du dual. Les derniers éléments de la dernière ligne expriment la valeur optimale de la fonction objectif dual, soit R, il exprime également la valeur optimale de la fonction objectif du primale. On peut aussi lire directement sur le tableau les valeurs optimales des variables de décision du primal. Elles sont données par les valeurs des indicateurs des colonnes situées sous les variables d'écart correspondantes du dual. Comme t1 est la variable d'écart de la première contrainte, du dual et correspond à x1 dans le primal on a x1= f1. Comme t2 est la variable d'écart de la deuxième contrainte du dual et correspond à x2 dans le primal, x2 = f2. De même x3 = f3.
La valeur optimale du problème primal est égale à : F = u*1 b1 + u*2b2 + ...... u*mbm Où u* est la solution optimale du problème dual. Si la contrainte de ressource 1 est assouplie c'est - à - dire si b1 est augmenté d'une petite quantité b1, il en résulte une augmentation du profit de u1 x b1. Ainsi, les éléments u*i du vecteur u* représentent la productivité marginale au sens de la fonction objectif du problème primal, de la contrainte associée à la ligne i du problème primal. Comme en théorie économique classique, les productivités marginales sont égales au prix du marché des facteurs de production correspondants , il est tentant d'assimiler les variables duales à des prix. Ceci doit cependant se faire avec prudence, dans la mesure où cette assimilation suppose que la fonction économique soit elle-même exprimée en termes de valeurs marchandes. Encore faut-il exprimer ces valeurs marchandes en unités convenables. Exemple Si la fonction économique représente la valeur du profit annuel d'une entreprise, les variables duales associées à la main d'oeuvre représentent l'accroissement marginal du profit par une unité demain d'oeuvre supplémentaire. Cette valeur peut être comparée au coût d'une unité de main d'oeuvre (salaire). Dans le cas où elle est plus forte que ce coût, l'entrepreneur a peut être intérêt à recruter une main d'oeuvre supplémentaire.
Le mot modèle est ambigu selon le dictionnaire43(*), le modèle a trois sens principaux : idéal, type et représentation simplifiée. Il implique l'idée de copie, mais tantôt il désigne l'objet copié, tantôt aussi la copie elle-même. En économie est une représentation simplifiée de phénomènes réels. En effet, un modèle, représentation simplifiée de la réalité peut avoir plusieurs sens selon l'objectif que l'on poursuit. Un modèle peut être rétrospectif, prospectif, cognitif ou décisionnel. L'originalité d'un modèle de recherche opérationnelle est d'être toujours décisionnel. Il s'agit d' éclairer des choix, de dire quelle est la meilleure décision. 3.6.1. Description des conditions de linéarité d'un modèle Le modèle à utiliser pour traduire le problème de la B.R.R en langage mathématique est qualifié de linéaire. Mais à quelles conditions ce modèle doit obéir ? Les modèles linéaires se présentent naturellement dans la modélisation de plusieurs situations de gestion. De plus, il existe toute une gamme d'algorithmes efficaces pour résoudre ces modèles. Rappelons qu'un modèle linéaire s'écrit sous la forme suivante (on impose également une contrainte d'intégrités aux variables de décisions) : Max. (min) Z = C1X1 + C2X2 ..... + CnXn S/C : a11x1 + a12x2 + ..... + a1nxn (, , =) b1
a21x1 + a22x2 + ..... + a2nxn (, , =) b2 . . am1,x1 am2x2 + ..... + amnxn (, , =) bm x1, x2, ..... , xn 0 Les conditions de linéarité auxquelles doit respecter un modèle linéaire sont décrites ci-après :
minimiser. Dans le problème de la B.R.R, on cherche à maximiser le profit total n qui est représenté par la fonction Z = CjXj j = 1 Avec : n : nombre de variables de décision Cj : marge bénéficiaire par unité de Xj Xj : produit fabriqué par un processus de production de la B.R.R, dans un horizon de 12 mois
La condition 2 résume ce que la littérature de la R.O désigne sous le nom d'hypothèses de proportionnalité et d'additivité44(*). Nous décrivons la portée de ces deux hypothèses dans un problème d'allocation de ressources à une gamme de produits et illustrons nos propos à l'aide du problème de la B.R.R. a. Hypothèse de proportionnalité Le bénéfice provenant du produit rattaché à une variable donnée est proportionnel à la valeur de cette variable, par exemple, le profit correspondant aux xj s'obtient en multipliant le nombre de tonne de xj par le profit unitaire. De même, la portion d'une ressource consacrée à une tonne de produit xj est proportionnelle à la variable associée ; par exemple, si le façonnage d'une tonne de produit xj dans l'atelier i exige 0,5 heure, il faut 1 heure pour en façonner 2. b. Hypothèse d'additivité n Le profit total est la somme des profits provenant des xj est cjxj j = 1 La quantité totale d'une ressource requise par un plan de production est la somme des quantités utilisées par les xj. Par exemple le temps de façonnage utilisé est la somme des heures consacrées aux xj. On parle de modèle linéaire continu quand chaque variable de décision peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle (éventuellement illimité). Il existe des situations où les conditions de linéarité ne sont pas toutes satisfaites. Dans cette situation on fait recours à l'utilisation des variables dites binaires pour linéariser diverses situations qui, a priori, ne respectent pas les hypothèses de proportionnalité et d'additivité. Lorsque les paramètres du modèle ne sont pas connus avec certitude, on peut parfois recourir aux techniques de l'analyse poste optimale que nous présentons au chapitre 4 consacré à l'étude du cas pratiques. 3.7. L'analyse poste optimale Pour modifier la valeur des variables de décision obtenue dans une solution optimale, il arrive même qu'une fois les imprécisions sur les données levées, les variables de base de la nouvelle solution optimale forment un groupe qui présente peu de points communs avec celui obtenu des données initiales. On comprend qu'il faudra investiguer sur la sensibilité des solutions optimales aux changements envisageables dans la valeur des aij, des cj et des bi. Cette analyse à laquelle nous soumettrons le modèle porte le nom d'analyse poste optimale, pour la bonne raison que cette analyse s'intéresse aux mouvements de la solution optimale induits par des changements apportés aux valeurs des paramètres. L'analyse poste - optimale permet, en effet, de détecter les paramètres dont une faible oscillation suffit à chambarder la solution optimale proposée par le tableau final. Elle fournit au décideur des diagnostics prémonitoire qui l'inciteront à recourir à des meilleures estimations des paramètres les plus sensibles du modèle ou à mettre en place les mécanismes de surveillance de ces paramètres déclencheurs de changement par leur moindre glissement. L'impact de cette analyse est de décrire l'impact sur la solution optimale de changements apportés à l'un ou l'autre des paramètres du modèle. Les paramètres d'un programme linéaire sont rarement connus avec certitude. Chaque variation d'un coefficient peut changer la solution optimale et la valeur optimale. Il est important de connaître la sensibilité de la solution aux variations des paramètres. D'autres part, certains paramètres sont contrôlables ; notamment les ressources en matériel, main d'oeuvre, argent : on peut décider de les augmenter ou de les diminuer. L'analyse de la sensibilité permet de le faire en connaissance de cause, c'est à dire de connaître les conséquences de ces décisions sur la valeur optimale45(*). Enfin si la solution est très sensible au changement de certains paramètres connus avec incertitude (erreurs de mesure, variabilité statistique) il peut être judicieux d'accorder davantage l'effort pour obtenir une bonne précision sur ces paramètres46(*). Il est donc important de connaître les paramètres auxquels la solution est sensible. 3.7.1. Variation des coefficients de la fonction économique a. Coefficient des variables hors base. Les variables hors base n'entrent pas dans la solution de base parce que leur profit relatif est négatif. or, le profit relatif c'j est égal à : cj - Aj Si l'augmentation de / c'j /, j ; dépasse c'j, le profit relatif de xj devient positif et xj entre dans la base. b. Coefficient des variables de base Xi Une modification de cj change et donc tous les c'j. Il y a là un intervalle pour ci tel qu'aucun c'j ne devient positif. Si ci sort de cette intervalle, la solution de base n'est plus optimale. Tant que ci reste dans cet intervalle, la valeur de F est seulement modifiée en proportion du changement de ci. c. Changement de plusieurs coefficients Il faut calculer les nouveaux c'j et procéder à des itérations de la méthode du simplexe primale si certain c'j sont positifs.
On suppose que b devient b' = b + b . Deux cas se présentent :
Dans ce cas les variables de base restent les mêmes. Seules leurs valeurs sont modifiées (égales à B-1b' au lieu de B-1b). De même la valeur optimale de F est modifiée et on peut calculer directement la nouvelle valeur grâce à la formule F = b et F = b.
Cela crée une nouvelle variable hors base dont il est facile de calculer le profit relatif. S'il est négatif, la nouvelle variable reste nulle et rien n'est modifié. S'il est positif , il faut continuer les itérations par la méthode du simplexe primale.
S'il s'agit de termes correspondant à des variables hors base, seuls les profits relatifs peuvent être modifiés. On procède alors comme dans le paragraphe traitant la variation des coefficients de la fonction économique. S'il s'agit de terme correspondant à des variables de base, la matrice B est modifiée. Il se peut alors que la base ne soit ni primal, ni dual admissible. Dans ce cas, il faut recommencer le programme linéaire au début.
Deux cas peuvent se présenter : la solution initiale satisfait aux nouvelles contraintes. Alors elle est aussi optimale pour le nouveau programme et X* n'est pas modifié. Si la solution optimale ne satisfait pas les nouvelles contraintes, on peut utiliser les variables de surplus associées à celles-ci comme nouvelle variable de base , et procéder à des itérations de la méthode simplexe dual car les profits relatifs n'étant pas modifiés, la base reste duale admissible. Dans l'étude de cas, nous avons utilisé le logiciel STORM. Ce dernier donne la possibilité de compléter la description de la solution optimale par divers renseignements, dont une analyse post optimale. Ce logiciel donne pour chaque Cj et pour bi un « intervalle de sensibilité » : tant que le paramètre appartient à cet intervalle, il est possible de déduire la nouvelle solution optimale de l'ancienne, sans avoir à reprendre ou à poursuivre les opérations de pivotage. CHAP 4 : ETUDE DE CAS PRATIQUE : LA BRIQUETERIE RWANDAISE DE RULIBA 4.0 Introduction Dans le cadre de ce travail, nous avons analysé le cas concret d'une entreprise industrielle fabriquant les matériaux de construction, la Briqueterie Rwandaise Ruliba pour montrer comment la programmation linéaire peut être un outil efficace de planification optimale de la production. L'étude de cas pratique comporte trois volets : le premier concerne la présentation générale de l'Entreprise, dans le second nous parlons du processus de fabrication et technologie de production. Enfin, le dernier volet se consacre à la formulation du problème. Voyons d'abord une présentation générale de l'entreprise. 4.1. Présentation succincte de la Briqueterie Rwandaise Ruliba. 4.1.1. Siège social La Briqueterie Rwandaise Ruliba, « B.R.R » en sigle est implantée dans la Mairie de la ville de Kigali, à 15 km du centre Ville, dans la cellule Ruliba à côté de la rivière Nyabarongo, Route Kigali - Gitarama. 4.1.2. Objet social La B.R.R est une société anonyme ayant pour objet social, la construction et l'exploitation d'une briqueterie industrielle, ainsi que le développement de l'industrie céramique du Rwanda. 4.1.3. Bref historique de la Briqueterie Rwandaise Ruliba. Le projet d'installation d'une briqueterie industrielle date de 1985. La Briqueterie Rwandaise Ruliba, dont le principal initiateur est la Cellule d'Appui aux Innovations Industrielles, C .A .I. I. en abrégé, organisme bilatéral Rwando - Suisse, est une entreprise privée réunissant des capitaux privés. Elle est actuellement constituée sous forme de société anonyme. L'entreprise a connu des débuts particulièrement difficiles : - retard dans l'exécution du projet et la mise en production intervenue beaucoup plus tard que prévu faussant ainsi toutes les prévisions tant du point de vue des investissements que des revenus escomptés ; - le lancement du nouveau produit difficile dans un marché exigu et déjà en récession croissante ; - insuffisance de capitaux propres, d'où le recours à un emprunt bancaire très important, amenant la jeune société à supporter les charges financières extrêmement lourdes. - difficultés de trésorerie chroniques qu'a connues l'entreprise par le passé l'ayant rendu incapable de répondre à ses engagements vis à vis d'un certain nombre de ses partenaires (Banques, Receveur des impôts, fournisseurs,......). Problèmes qui, en 1990 ont atteint un tel niveau que le dépôt de bilan pouvait être considéré par certains comme la seule solution aux problèmes et contraintes vécus. Le fonds d'Appuis aux Innovations Industrielles (une opération Rwando - Suisse) qui a longtemps appuyé le projet de création de cette entité envisageait dès la fin de l'année 1990, à la demande du conseil d'administration de la B.R.R, l'éventualité d'un appui à cette entreprise. Appui devant se traduire par la mise en oeuvre d'efforts nécessaires pour faire cette société, dans la mesure du possible, une société économiquement viable. En effet, pour éviter à cette entreprise un état de faillite, le Fonds d'Appui aux Innovations Industrielles ( F.A.I.I. en abrégé) a décidé d'intervenir de façon directe dans son actionnariat ; l'intervention qui s'est manifesté en juin 1991, par une prise de participation du F.A.I.I dans le capital de la B.R.R à concurrence de 122.000.000, soit 53% du total des actions. L'intervention du fonds - suisse est de caractère temporaire. Elle avait pour but essentiel l'assainissement et la restructuration de cette entreprise et si possible, l'amélioration de son efficience. 4.1.4. Présentation actuelle de la B.R.R Actuellement, la Briqueterie Rwandaise de Ruliba est une société anonyme au capital social de 241 millions de francs rwandais, la valeur nominale est de 1000 francs pour une action. Fin 2002, les principaux actionnaires étaient : - le Fonds d'Appuis aux Innovations Industrielle (122.000 actions), - la Banque Rwandaise de Développement, B.R.D en abrégé (26.000 actions) - la Caisse Hypothécaire du Rwanda, C.H.R. en abrégé (12.200 actions) et - Monsieur MURENZI Jean ; (12.000 actions). L'entreprise produit actuellement 24 types de blocs. La capacité journalière de production est de 41 tonnes. L'entreprise compte environ 152 employés permanents et une centaine de personnel occasionnel. 4.2. Processus de fabrication et la technologie de production La fabrication des produits en terre cuite s'exécute dans l'ordre ci-après47(*) :
4.2.1. Réception et stockage des matières premières L'argile extraite actuellement à 7 km de l'usine est transportée par camions puis stockées dans trois bassins d'un volume de 1.000 m3 chacun, l'air de stockage peut recevoir l'équivalent d'environ 4 mois de production (1500 tonnes par mois). L'aire de stockage est à proximité de la zone d'alimentation des machines en matières premières qui actuellement, en plus de l'argile comprend également le kaolin extrait à RUYENZI. Pour le kaolin le stock est limité à une semaine de production. Description du système Depuis l'aire de stockage, l'argile est versée dans le doseur argile par un tractopelle acquit par l'entreprise l'an dernier ; avant ce travail se faisait par brouettes. Pour le kaolin utilisé à 20% dans le mélange, l'alimentation du doseur séparé se fait à la pelle, le kaolin étant versé à proximité du doseur. Il arrive qu'on utilise le sable dans les matières premières une fois utilisé il intervient à 15%, soit à environ 0,115 m3 par tonne de produit cuits. Les matières premières sont convoyées par des bandes transporteuse en caoutchouc vers la première machine de préparation dénommée « Broyeur - mélangeur à grilles ». Dans cette première machine, l'argile est mélangée avec le kaolin : ce mélange est broyé, malaxé et en cas de besoin humidifié ; (par eau décantée) et continuera vers un laminoir - finisseur qui garantit l'écrasement en paillettes de moins de 1 mm. Il y a une bande transporteuse qui fait suivre la matière ainsi traitée à un stock - tampon disposant de 15 m3 de capacité. Ce stock constitue une importante sécurité de production, car la réserve correspond à environ la moitié de la production journalière. La chaîne de préparation pourrait donc opérer pendant que le matin, la masse traitée permet un façonnage des produits sur 7 - 8 heures. 4.2.2. Système de façonnage Description du système Le façonnage des produits se fait par une étireuse combinée à une pompe à vide. La tête de l'étireuse - mouleuses est pivotante. Le passage d'une filière à une autre, soit d'un produit à une autre, est ainsi rapide. Les étireuses ont des capacités et dimensions variées, celle de la B.R.R est d'une capacité moyenne (Elle peut aller jusqu'à 38 tonnes/heures). A la sortie de l'étireuse est montée une filière qui change en fonction du produit façonné. Le boudin qui sort de l'étireuse est coupé par un coupeur suivant les dimensions voulues. 4.2.3. Système séchage. Description du système : Les produits façonnés sont repris manuellement et empilés sur de châssis de séchage. Pour la fabrication des tuiles, l'étireuse donne des galettes qui par après sont pressées une à une sur une presse à tuiles. Les tuiles pressées et posées sur des cadres Individuels de séchage sont posés sur les mêmes châssis de séchage que les autres produits. Le rapport journalier établi à la fabrication indique les numéros des châssis chargés, la désignation du produit et la quantité par châssis, pour chaque produit fabriqué au cours de la journée. Les châssis de séchage chargés de produits à sécher sont poussés dans un séchoir tunnel à l'aide d'un transbordeur équipé d'un vérin hydraulique. Le temps de séchage variant entre 72 et 96 heures. Ici il est à noter que c'est la capacité de séchage qui limite la production. En effet, les machines de préparation des matières et celles du façonnage fonctionnent de 7 à 18 heures chaque jours, alors que ces machines pourraient fonctionner jour et nuits. Le séchoir de la BRR est un séchoir tunnel qui utilise en plus de la ventilation, de la chaleur récupérée du four. Pour augmenter la productivité de ce séchoir, il faudrait améliorer la ventilation par des ventilateurs de brassage et trouver une source de chaleur d'appoint. L'idée d'améliorer cet équipement est encore vive même si les contacts menés avec certaines entreprises européennes spécialisées ont abouti sur les prix hors portés.
Description du système A la fin du séchoir, les produits secs sont empilés sur les wagons de cuissons. Les produits doivent être suffisamment secs et l'humidité résiduelle ne devrait dépasser 2%. La cuisson des produits non suffisamment secs conduit, entre autre à des produits finis blanchâtres, à l'augmentation des déchets de cuissons etc. Les produits secs sont empilés sur les wagons de cuisson. Pour la cuisson des tuiles, ces dernières sont empilées obligatoirement avec d'autres produits, blocs ou hourdis. L'un des problèmes rencontré à l'empilage est que certains jours il n'y a pas suffisamment de produits secs à empiler autres que tuiles, ce qui conduit à l'empilage des tuiles avec des déchets de hourdis. Pour résoudre ce problème, il faut essayer d'établir un programme de production de sorte que, dans la mesure du possible, la quantité des produits d'accompagnement des tuiles soient en équilibre avec la quantité des tuiles à empiler. Le rapport établi à l'empilage donne le numéro de chaque wagon et sa charge (désignation des différents produits et leur quantité respective).
Toutes les nouvelles briqueteries dans les pays Industrialisés sont équipées avec des fours « tunnel ». Nombreuses sont des anciennes unités de production qui remplacent les autres types de four par celui-ci, qui est le plus rationnel en consommation énergétique et qui garantit la meilleure qualité de cuisson. Les produits sont empilés sur des wagons en structure métallique et revêtement en pièces réfractaires. Sur rails, ces wagons traversent le four en forme de tunnel où la température augmente progressivement vers le centre. Ensuite les wagons passent par une zone de refroidissement avant de sortir de l'autre extrémité du four. C'est un four continu, c'est - à - dire : des wagons entrent et sortent du tunnel en intervalle. Un four pareil cuit en continu et n'est, si possible, jamais arrêté. Le four tunnel utilisé par la BRR cuit d'abord les produits sur 5 à 6 jours par semaine, le dimanche la température habituelle de 950° - 1000°C est baissée à environ 600°C. Avec l'augmentation de la production, la cuisson se fait sur tous les jours sans interruption, jusqu'à la production de 18.000 tonnes/an. Il est prévu une rallonge de 12 m au four, la capacité de cuisson augmentera à 25.000 - 28.000 tonnes/an. Selon le type de produit. 4.2.6. Dépilage des produits cuits Au poste dépilage, les produits cuits sont triés en premier et en deuxième choix,mis sur palettes et sont transférés sur les parcs de stockage.
Les produits cuits sortant en intervalles réguliers sur wagons du four sont déchargés manuellement en zone de préparation palettes. Le cas habituel est la mise en stock sur palette, mode qui est plus confortable au chargement et qui permet de minimiser les déchets de la manutention et du transport. Des simples palettes en bois sont préparées avec un seul type de produit. Le cerclage des palettes se fait manuellement, avec un équipement simple, des bandes feuillards de 12,7mm de largeur et des cachets métalliques. Après avoir brossé le processus de fabrication et la technologie de production, nous passons à la formulation du problème qui est l'axe principal du présent chapitre.
4.3.1. Présentation synthétique du modèle La Briqueterie Rwandaise de Ruliba fabrique des blocs de construction en terre cuite. Plus d'une vingtaine de produits sont écoulés sur le marché. Au cours de l'exercice 2002, elle a fabriqué 24 types de produits et compte les produire au cours de l'exercice 2003. L'unité de mesure de la production est exprimée en tonne. Chaque tonne de type de produit a sa marge bénéficiaire qui est égale à la différence entre le prix de vente et celui de revient. Les calculs de la marge bénéficiaire et du coût de revient pour chaque tonne de type de produit seront faits dans les paragraphes qui suivent. L' entreprise dispose d'une chaîne de fabrication divisée en cinq ateliers : - atelier de façonnage ;
Sauf les ateliers de séchage et celui de cuisson qui sont opérationnels 24h/24h, dans les autres ateliers on travaille 22 jours du mois. Le service technique prévoit 672 heures pour entretien et réparation du four et 40 heures pour chaque atelier. Il est très difficile de prévoir les heures perdues suite aux coupures du courant et autres éventuelles pannes par ce qu'il n'existe pas des rapports quotidiens qui montrent les heures perdues et leurs motifs. Ceci constitue une limite d'une bonne estimation des heures travaillées dans l'année. Nous construisons les contraintes technologiques relatives à la main d'oeuvre disponible en heures de travail en ne tenant pas compte des heures perdues. Les charges du personnel qui représentent une proportion importante du coût total, constituent un élément sur lequel les gestionnaires de l'entreprise mettent leur regard pour leur maîtrise. C'est pour cela que les responsables se donnent comme objectif le respect du rapport charge du personnel sur le chiffre d'affaires inférieur ou égale à 14%. A la fin de l'exercice 2002, le carnet de commandes révèle qu'il y a des commandes fermes qui jusqu'au 31/12/2002 ne sont pas exécutées. La B.R.R prévoit leur exécution en 2003. La capacité de production installée est de 18.000 tonnes par l'an. Pour pouvoir faire face à la demande qui s'accroît, les dirigeants se donnent l'objectif d'utiliser presque les 100% de la capacité installée. L'autre élément à souligner est que les états financiers prévisionnels pour 2003 reflètent une rentabilité qui est tout au moins égale à celle de l'an 2002. A part les produits concernés par les commandes fermes ; les prévisions des 2003 montrent les proportions minimales dans lesquelles les autres types de blocs sont produits. Ici le grand problème est de savoir comment la B.R.R peut maximiser avec sa production annuelle, la contribution au profit. Le nombre de variables de décision sera égal au nombre de type de blocs produits par l'entreprise (l'unité statistique sera exprimée en tonne). L'entreprise est confrontée à 20 contraintes : - contrainte main d'oeuvre disponible ( en heures dans trois ateliers pour 2003) ce qui correspond à 3 contraintes ; - contrainte capacité de production, ce qui correspond à 1 contrainte ; - contrainte ratio frais de personnel / chiffre d'affaire, ce qui correspond à 1 contrainte ; - contrainte ratio de rentabilité, ce qui correspond à 1 contrainte ; - contrainte commande ferme pour cinq types de xj, ce qui correspond à 5 contraintes - contrainte proportion minimale pour neuf types de xj, non concerné par les commandes fermes ; ce qui correspond à 9 contraintes ; La fonction objectif s'écrit 24 Max Z = cj xj j = 1 j = (1..................24) avec cj : marge bénéficiaire pour une tonne du produit xj - La condition selon laquelle il y a quelques heures consacrées à chaque xj dans chaque atelier peut s'écrire : 24 tij Xj Ti (1) j = 1 avec tij : temps requis dans l'atelier i pour fabriquer le produit xj Ti : temps total disponible dans l'atelier i pendant la période La condition que le rapport charges de personnel /chiffre d'affaire soit inférieur ou égal à 14% , peut être présentée comme suit : H 14 (2) avec H : frais de personnel 24 100 Pj xj 24 j = 1 Pj xj : Chiffre d'affaire j = 1 La condition selon laquelle la production totale ne peut pas dépasser la production que peut dégager la capacité installée, s'écrit comme suit : 24 Xj 18.000 tonnes (3) j = 1 La condition que le carnet de commande forcera la B.R.R à fabriquer au cours de l'année 2003 au moins la quantité commandée peut se présente comme suit : Xj Dj (4) ; Dj : Commande ferme pour le produit Xj. La condition que la rentabilité de l'an 2003 doit être supérieure ou égale à la rentabilité de l'an 2002 s'écrit comme suit :
24 24 CjXj - 35 CjXj j = 1 100 j = 1 r (5) K Avec 24 CjXj : bénéfice avant impôt pour 2003 j = 1 24 35 CjXj : impôt sur bénéfice 100 j = 1
24 24 CjXj - 35 CjXj : Bénéfice déduit d'impôt (Résultat net) j = 1 100 j = 1 K : Capitaux propres. Les prévisions conditionnelles de la production 2003 s'expriment comme suit Xj w Qp Avec w = proportion minimale de la production de Xj. Ici les Xj concernés ne font pas objet des commandes fermes. 24 Considérons Q : Production totale : = Xj j = 1 Qd : Quantité commandée ( X2 + X4 + X16 + X17 + X24 )
Qp : Production non concernée par les commandes (production pour le marché) Q - Qd = Qp 24 Xj - (X2 + X4 + X16 + X17 + X24 ) = Qp j = 1 Résumons notre modèle : il s'agit de maximiser Z sous les contraintes ci-dessus Le modèle se présente comme suit : 24 Max z = CjXj j = 1 Sous les contraintes : 24 Xj 18000 (1) j=1 H 14 (2) 24 100 PjXj j=1 24 24 CjXj - 35 CjXj j = 1 100 j = 1 r (3) K 24 tijXj Ti (4) j=1 Xj Dj (5) Xj w (6) Qp Xj 0 : Contrainte de non négativité (7)
a. Fonction objectif Comme nous l'avons dit dans le paragraphe (infra. 4.3.1), la marge bénéficiaire est donnée par la différence entre le prix de vente et le prix de revient. Ce calcul de la marge sera fait pour chaque type de produit. Dans les pages qui précèdent nous avons présenté la fonction objectif comme suit : 24 Max z = CjXj j =1 avec Cj : marge bénéficiaire pour une tonne du produit Xj Le prix de revient A ce jour, la société n'a pas de comptabilité analytique pour déterminer ses prix de revient. Une analyse des prix de revient a dès lors nécessité l'élaboration d'un système simplifié de calcul ayant pour objet de déterminer le prix de référence de la matière de base de la briqueterie, soit la terre cuite ci-après appelée « produit rouge ». Dans ces produits rouges nous distinguons plusieurs gammes. Les chiffres de référence sont tirés du compte d'exploitation normalisé de l'exercice 2002 ; c'est-à-dire de la situation économique jugée comme normale. La deuxième base de nos calculs de prix de revient est la production effective de l'exercice 2002. Un tableau récapitulatif dressé à partir des rapports de production de l'usine est donné en annexe n°1. Au cours de cette période de douze mois, la B.R.R. a donc produit 16.524,05 tonnes de produits confondus dont la valeur estimée est hors taxe sur la valeur ajoutée (T.V.A.) Une liste comparative des prix de revient et prix de vente va nous permettre de dégager les marges bénéficiaires pour chaque type de produit, lesquelles marges vont nous servir dans la construction de la fonction objectif de notre modèle. Tableau n° 6 : Charges d'exploitation (2002)
Source : Compte d'exploitation B.R.R., Année 2002. Tableau n° 7 : Production de 12 mois d'activité (2002)
Source : Synthèse des rapports de production faite par l'auteur, Année 2002. L'entreprise ne fabrique que les blocs de construction (produits rouges), raison pour laquelle nous avons affecté toutes les charges à ces produits. Connaissant la production annuelle (en tonne) et le total des charges relatives à cette production, nous pouvons estimer le prix de revient par tonne. Total charges Le prix de revient par tonne = nombre de tonnes produit 250 949 056 nous avons : = 15 187 Frw/Tonne 16 524,05 Connaissant le prix de revient de la tonne, le poids de chaque type de bloc et son prix de vente, nous avons des données de base pour calculer la marge bénéficiaire pour chaque type de bloc, ce qui nous permettra en définitive de calculer la marge bénéficiaire pour une tonne de chaque type de produits. Le détail des calculs se trouve dans le tableau ci-après. Base de calcul : prix de revient par tonne : 15187 Frw /Tonne Tableau n° 8 : Calcul des prix de revient d'une pièce produite au 31/12/2002
Nous avons codifié les produits fabriqués par des numéros de 1 à 24. Dans la suite de notre travail, les différents produits seront identifiés par les variables xj ; j = 1,2,....,24 ; j étant l'indice attribué aux produits. Prix de revient/tonne x poids de la pièce * 43 DUBOIS, J. et al. : Dictionnaire de linguistique, Librairie Larousse, Paris, 1988, P. 645. * 44 NORBERT, Y. : OP. cit., P. 31. * 45 BOUSSARD, J.M et DAUDIN, J.J. : Op. cit., P. 48. * 46 Id. * 47 MAGGI, F. ET AL. : Etude de facutibilité de la Briqueterie Rwandaise Ruriba, Kigali, Juin 1985, p. 90 - 93 |
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