Deuxième
partie :
Applications des mathématiques aux
phénomènes économiques
CHAPITRE III. ALGEBRE ET
GEOMETRIE
III.1. Algèbre
L'algèbre est une branche des mathématiques
qui, dans sa partie classique, se consacre à la résolution par
des formules explicites des équations algébriques et, dans sa
partie moderne étudie des structures telles que groupes, anneaux, corps
idéaux, ...
Dans ce travail, nous allons traiterons deux notions majeures
de l'algèbre classique : les déterminants et
l'algèbre analyse consacrée à l'étude des
fonctions.
III.1.1. Les
déterminants
Dans l'analyse des modèles, on utilise couramment les
déterminants. Par exemple, ils servent à déterminer si un
système d'équations linéaires admet ou non une solution,
à calculer cette solution si elle existe, et à décider de
la qualité de l'approximation par linéarisation d'un
système d'équations non linéaires. Les déterminants
sont les outils-clés pour déterminer la nature d'une forme
quadratique et, par conséquent, comme second ordre pour distinguer les
maxima des minima dans les problèmes d'optimisation.
1. Les matrices
Une matrice est, d'une manière générale,
un tableau rectangulaire à « m » lignes et
« n » colonnes (m et n étant deux entiers
positifs), comprenant m x n coefficients scalaires. Nous noterons
les matrices par des lettres A, B, C. Les coefficients de ces matrices seront
notés aij, bij, cij (i = 1,2,...,
n ; j=1,2,..., n) pour désigner un élément quelconque
d'une matrice A, par exemple, qui se trouve dans la ieme ligne et
jeme colonne. On écrit aij : ainsi,
l'élément a23 se trouve à la ligne 2 et à la
colonne 3.
1 2 4
-5 0 3
Exemple :
B = [bij] =
Le nombre des lignes et celui des colonnes détermine
le format ou la dimension d'une matrice. S'il
y a « m » lignes et
« n » colonnes, le format ou la dimension d'une
matrice est m fois n qu'on écrit m x n. Si le nombre de lignes
est égal au nombre de colonnes, la matrice est une matrice
carrée. Dans ce cas, m=n. On dira simplement que la
matrice est d'ordre n. Si le nombre de lignes m est supérieur au nombre
de colonnes n, la matrice est dite haute ; dans le cas contraire
elle sera dite large.
Exemple :
1 3
2 2
3 1
1 2 3
2 1 2
3 2 1
1 2 3
1 2 3
Carrée
Large
Haute
Dans l'optique de ce travail, nous traiterons
seulement les matrices carrées.
2. Déterminants d'une
matrice carrée
Le déterminant d'une matrice est un scalaire (un
nombre) obtenu des éléments d'une matrice en effectuant des
opérations spécifiques.
Considérons une matrice carrée d'ordre
n, considérons de plus le produits de n
éléments de cette matrice tels que un et un seul
élément de chaque ligne et un et un seul élément de
chaque colonne apparaisse dans chaque produit. Tout produit de ce type est de
la forme a1j1, a2j2,...,
anjn.
A
aij
Par définition, un déterminant d'une matrice
carrée A, que l'on note
ou dét A = avec i, j =
1,2,...,n est une somme algébrique de n termes, chaque terme
étant choisit en faisant le produit de n éléments
de la matrice choisis de façon à ce qu'il n'y ait pas deux
éléments qui appartiennent à la même ligne ou
à la même colonne, le tout affecté d'un signe positif ou
négatif selon que le nombre d'inversions dans l'ordre de j (après
qu'on ait arrangé l'ordre de i dans les termes des produits de
façon ascendante) est pair ou impair.
Méthode de calcul pour les déterminants
d'ordre 1, 2 et 3.
a. Déterminant d'ordre 1.
A
a11
Soit A = il est clair que =
a11
b. Déterminant d'ordre 2.
A
a11 a12
a21 a22
A = on a = a11 a22 - a12
a21 (1)
Dans (1), chaque terme est lui-même le produit de deux
éléments de A n'appartenant ni à la même ligne, ni
à la même colonne.
La règle de calcul est donc la suivante : on
effectue le produit de la diagonale principale dont on retranche le produit de
la deuxième diagonale.
c. Déterminant d'ordre 3
b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
Considérons une matrice B de dimensions 3x3 :
B = on a
A
= b11 b22 b33 +
b12 b23 b31 + b13 b21
b32 - b31 b22 b13 - b32
b23 b11 - b33 b21 b12
b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
Figure 3.1
La figure 3.1. illustre une méthode alternative de
calcul d'un déterminant d'ordre 3. Pour trouver ce déterminant,
on multiplie simplement chacun des éléments de la première
ligne par les éléments auxquels ils sont reliés par la
ligne en trait plein et on additionne leurs produits. On multiplie ensuite
chacun de ces trois même éléments de la première
ligne par les éléments auxquels ils sont connectés par une
ligne en pointillée et on soustrait la somme de leurs produits du total
précédent.
Pour une matrice carrée d'ordre 3, le calcul du
déterminant s'effectue par la règle dite de SARRUS
que nous décrivons ci-après :
- on recopie les deux premières colonnes de A à
la droite de A. Les trois diagonales descendantes donnent lieu aux permutations
paires, les trois diagonales ascendantes aux permutations impaires ;
- la valeur du déterminant est donc égale
à la somme des produits de 3 diagonales descendantes dont on retranche
la somme des produits des trois diagonales ascendantes ;
- on peut aussi recopier les deux premières lignes de A
en dessous de la matrice A et suivre un raisonnement identique pour calculer le
déterminant.
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
A =
Exemples :
6. (-2)
A
3 -2
6 1
1. si A = alors = 3.1 - = 3 + 12 = 15
B
4 0
1 1
2. si B = = 4.3 - 1.0 = 12 - 0 = 12
1 3 1
2 1 0
3 4 5
C
3. aveec C = = (1.1.5 + 3.0.3 + 1.2.4) - (3.1.1 +
4.0.1 + 5.2.3)
= (5+0+8) - (3+0+30)
= 13-33 = -20
k k
4 2k
A
4. Soit A = calculer les valeurs de k telles que
= 0
A
= 2 k² - 4k = 2k (k - 2) = 0 d'où k = 0 et k
= 2
En utilisant cette règle, on se rend compte que par
exemple le déterminant d'une matrice d'ordre 4 est la somme
algébrique de 4 ! termes ; celui d'une matrice d'ordre 5 est
la somme algébrique de 5 ! = 120 termes.
D'où le déterminant d'une matrice d'ordre n est
la somme algébrique de n ! termes.
n = factoriel de n
n ! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x ... x 1
Note : dans ce travail, nous ne
traiterons que les déterminants des matrices d'ordre 1,2 et 3.
| 
