Memoire Online - La décision d'investissement en avenir incertain

Une situation est appelée risquée lorsque l'information nécessaire à la prise de décision n'est pas suffisante et claire.

Toutefois il y a toujours une possibilité d'estimer les principales données à partir d'une étude statistique ou bien à partir des données établies par des spécialistes.

Prenons l'exemple d'une entreprise ayant cinq stratégies possibles S_i et qu'elle doit choisir entre l'une et l'autre de ces stratégies selon différents événements éventuels E_i. La matrice de gain (En millions de dollars américains) de l'entreprise est la suivante:

Evènements Stratégies	*Expansion* E₁	*Stabilité* E₂	*Récession* E₃	*Dépression* E₄
S₁	6	6	6	4
S₂	25	7	7	-15
S₃	20	20	7	-1
S₄	19	16	9	-2
S₅	20	15	15	-3

Pour prendre une décision concernant la stratégie la plus adéquate à mettre en oeuvre dans une situation risquée et à partir de ces données de la matrice de gain, les décideurs fixent d'une manière subjective les probabilités de chaque événement.

La moyenne de gain estimée pour chaque stratégie n'est autre que l'espérance mathématique de gain pour chaque stratégie E(S_i) qui est égale à la somme des gains, relatifs à chaque événement, pondérés par leur probabilité d'occurrence:

Le critère de décision consiste à maximiser la valeur prévue dans le cas d'une matrice de gain ou inversement à minimiser la valeur des coûts dans le cas d'une matrice de coût ou de perte. Dans notre exemple ici on doit choisir la stratégie S₃ qui assure le gain le plus élevé (si c'était une matrice de coût il fallait choisir S₁).

Dans une situation d'incertitude, l'information est totalement absente, les probabilités sûres ou presque sûres aussi et il est presque impossible de déterminer à partir de là les espérances mathématiques acceptables; en d'autres termes il s'agit de prendre des décisions concernant des événements sur lesquels on n'a pas d'informations. Pour faire face à une telle situation, certaines méthodes ou critères théoriques et objectives peuvent être mises en place à partir des conséquences des décisions prévues.

Grâce à la théorie des jeux la théorie de décision en avenir incertain a progressé pour faciliter la prise de la meilleure décision. Ainsi la théorie des jeux indique qu'on peut employer l'un des quatre critères les plus connus pour faciliter la prise de décision. Ces critères sont les suivants: Le critère de Wald, le critère de Hurwicz, le critère de Savage et le Laplace.

Soit une entreprise ayant P_n politiques de production à suivre pour différents niveaux de demandes éventuels D_n. Le coût unitaire de production est de 30 USD, le prix de vente unitaire est de 40 USD, le gain unitaire est ainsi de 10 USD et cela à une seule condition: Que la production soit vendue entièrement, si non la production serait supérieure à la demande et le reste (stock non vendu) représente une perte pour l'entreprise.

Stratégies	D P	2000	2200	2400	2500	2700	2800	3000
A₁	2000	20	20	20	20	20	20	20
A2	2200	14	22	22	22	22	22	22
A₃	2400	8	16	24	24	24	24	24
A₄	2500	5	13	21	25	25	25	25
A₅	2700	-1	7	15	19	27	27	27
A₆	2800	-4	4	12	16	24	28	28
A₇	3000	-10	-2	6	10	18	22	30

4) Chaque niveau de production correspond à une stratégie de production face à une demande qui varie de 2000 unités à 3000 unités,

5) Il s'agit ici d'une matrice de gain et ça peut être aussi une matrice de perte ou de coût,

6) Si on prend la stratégie A₂ il y a un risque que la demande soit de 2000 unités et donc une perte de 200 unités qui vont coûter 6000 USD donc notre gain net devient de: 20 000 USD-6000 USD=14 000 USD.

La question principale qui se pose est la suivante: Quelle stratégie de production doit on choisir? La théorie des jeux va répondre à cette question à travers chacun des critères de décision qui suivent.

Wald conseille aux décideurs d'être très prudents et même pessimistes comme si la nature leur était totalement hostile. Il leur conseille de choisir le résultat (le gain) le plus faible de chaque stratégie de production de la matrice de gain et de choisir la stratégie qui correspond au résultat le plus élevé. Par ce fait le décideur maximise le minimum d'où le nom de Maximin. En d'autres termes le décideur doit maximiser ses gains minimums.

Dans notre exemple les gains minimums correspondent à la première colonne de la matrice de gain soit: 20, 14, 8, 5, -1, -4, -10. Parmi ces minimums de gain on doit choisir le maximum qui est 20, donc on choisi la stratégie A₁ qui est la plus convenable selon Wald.

Contrairement à Wald, Hurwicz conseille aux décideurs d'être optimistes et de supposer que la nature leur est totalement favorable. Sa méthode se fonde alors sur le principe du maximum des maxima.

Pour revenir à notre exemple, on remarque que les résultats maxima sont les suivants: 20, 22, 24, 25, 27, 28, 30 et selon cette méthode on doit choisir la stratégie de production qui correspond au résultat maximum qui est de 30, c'est-à-dire la stratégie A₇.

Toutefois et malgré cette réponse rapide Hurwicz propose une certaine originalité dans sa méthode en appliquant ce qu'il appel le coefficient d'optimisme pour chaque situation. Ce coefficient á est compris entre 0 et 1. Le raisonnement sur lequel Hurwicz se fonde est le suivant: En prenant les résultats de la matrice de gain tel quels sont, cela correspond à dire que chacun de ces résultats a une même espérance mathématique ou bien un même coefficient d'optimisme et une même éventualité d'être réalisé, ce qui n'est pas du tout logique.

Pour cela, Hurwicz cherche à appliquer le coefficient d'optimisme qui est généralement déterminé à partir des conditions de travail, de la production, de la psychologie de l'entrepreneur (objectivité) et du climat général dans lequel l'entreprise fonctionne.

À partir de là, Hurwicz fixe un taux ou bien un coefficient d'optimisme déterminé soit á=0,07=70%. Ce taux est appliqué selon la même méthode de Hurwicz sur le résultat le plus élevé de chaque stratégie de production. À partir de là on calcule l'espérance mathématique de chaque stratégie de production de la manière suivante:

On doit choisir la stratégie de production qui assure le maximum de gain c'est-à-dire la stratégie A₁_.

Savage fait intervenir un autre critère appelé «critère de regret» c'est-à-dire il essaie d'analyser les résultats après leur exécution. Pour le faire Savage se base sur la matrice de gain, il retient pour chaque état de la nature (niveau de demande) la décision qui assure le meilleur gain et il soustrait de chaque colonne les autres gains effectivement réalisés. Le regret est ainsi égal à la différence entre le gain réalisé et le gain le plus favorable de chaque colonne.

La matrice de regret construite à partir de la matrice de gain de est la suivante:

Stratégies	D P	2000	2200	2400	2500	2700	2800	3000
A₁	2000	0	2	4	5	7	8	10
A2	2200	6	0	2	3	5	6	8
A₃	2400	12	6	0	1	3	4	6
A₄	2500	15	9	3	0	2	3	5
A₅	2700	21	15	9	6	0	1	3
A₆	2800	24	18	12	9	3	0	2
A₇	3000	30	24	18	15	9	6	0

Savage conseille de choisir la stratégie de production qui rend minimum le regret maximum. Ainsi et en se référant à la matrice de regret, on a les regrets maximum qui sont: A₁=10, A₂=8, A₃=12, A₄=15, A₅=21, A₆=24, A₇=30. Donc selon cette méthode, on doit choisir la stratégie A₂=8 qui rend minimum le regret maximum.

Parallèlement, Savage fait intervenir parfois un autre critère appelé «critère de satisfaction» qui est proche de la logique du regret et qui est peu utilisé actuellement. La satisfaction est ainsi égale à l'écart entre ce que l'on aurait pu perdre (ou gagner) si on avait pris la décision la plus mauvaise (la plus bonne) et ce qu'on a effectivement obtenu.

La matrice de satisfaction se construit de la façon suivante et toujours à partir de la matrice de gain:

Stratégies	D P	2000	2200	2400	2500	2700	2800	3000
A₁	2000	30	22	14	10	2	0	0
A2	2200	24	24	16	12	4	2	2
A₃	2400	18	18	18	14	6	4	4
A₄	2500	15	15	15	15	7	5	5
A₅	2700	9	9	9	9	9	7	7
A₆	2800	6	6	6	6	6	8	8
A₇	3000	0	0	0	0	0	2	10

Pour prendre une décision cette méthode nous conseille de choisir la stratégie de production qui correspond au maximum de satisfaction minimum c'est-à-dire la ligne d'action A₅.

C'est La Méthode la plus ancienne et la plus simple, elle consiste à calculer la moyenne arithmétique des gains pour chaque stratégie et de retenir la stratégie qui présente la moyenne la plus élevée. En d'autres termes cette stratégie consiste pratiquement à attribuer une probabilité égale à chaque état de la nature et de retenir la stratégie qui à la moyenne la plus élevée. On aura ainsi:

La décision d'investissement en avenir incertain

SECTION II

Stratégies

A2

Stratégies

A2

Stratégies

A2