V. s'intéresse XIX e
Pareto à la fin du siècle à la distribution
des revenus
dans la société. Il en conclut que la
société humaine est fondée sur une loi mathématique
de forme décroissante, dans laquelle la distribution statistique prend
une forme hyperbolique, laissant appara»tre des queues épaisses.
Nous avons pu souligner l'importance des lois issues de la famille
Çparétienne È, dont les applications en sciences sociales
sont croissantes au fil des années. L'abondante littérature
disponible sur le sujet en témoigne.
Le succès rencontré par ces lois nous a
incités à examiner leur apport sur le marché du DJIA en
période de crise des Subprimes. Cette application met en perspective
différents raisonnements en termes de rentabilité ajustée
du risque sur le marché des actions. La performance d'un investisseur
sur une période donnée est souvent liée à quelques
journées exceptionnelles. La distribution empirique de forme
leptokurtique en témoignant (La grande majorité des cours se
concentre vers la moyenne historique proche de 0). La plupart des
journées d'activité ne contribue donc que marginalement au
résultat. Les activités de marché témoignent d'une
forte instabilité, révélant des mouvements violents et
soudains. C'est dans cet état statistique, oü le nombre de
rentabilités anormale s est important, que nous pouvons parler de crise.
La réalité erratique des cour s de bourse est quantifiable. Nous
allons donner une image de cette réalité statistique dans un
premier temps avant de calculer notre loi de valeurs extremes.
Cette section a pour objet d'exposer la
100000% Distribution logarithmique du DJIA
100% Lorsque la loi de valeurs extrêmes est
-10.8 -7.5 -4.2 -0.8 2.5 5.8 9.2
DJIA
identifiée, les conditions de distribution
théorique peuvent être utilisées pour obtenir le type de
loi limite. Nous avons pu cons tater dans la section théorique que
certaine s lois convergent vers différentes lois parente s. En effet,
les lois à support borné, comme la loi uniforme,
appartienne nt au domaine d'attraction maximum de Weibull,
avec î?>0.
Les lois dont les queues décroissent de facon
exponentielle appartiennent au
MDA de Gumbel, avec î?=0. Nous pouvons citer
à ce titre la loi normale
et la loi exponentielle. Le s lois dont le paramètre
de libe rté est égal à î?, faisan t
appara» tre des queues de distribution épaisse s appartiennent,
comme la loi de student ou celle de Pareto, au MDA de Fréchet. Dans cet
exercice, nous avons choisi d'analyser quatre lois théoriques :
· La loi normale
· La loi de Laplace
· La loi de Pareto
·
59
La loi de student
II.II.1.1 ANALOGIE STATISTIQUE DE LA DISTRIBUTION DES
RENDEMENTS
II.II.1.1.1 Comportement limite de la loi
exponentielle
-10.8 -7.5 -4.2 -0.8 2.5 5.8 9.2
Laplace
-10.8 -7.5 -4.2 -0.8 2.5 5.8 9.2
DJIA LAPLACE
GUMBEL
100000%
Normale
100000%
DJIA NORMAL
10000%
1000%
100%
10000%
1000%
100%
100000%
10000%
1000%
100%
Student
Pareto
-10.8 -7.5 -4.2 -0.8 2.5 5.8 9.2
DJIA PARETO
-10.8 -7.5 -4.2 -0.8 2.5 5.8 9.2
DJIA STUDENT
100000%
10000%
1000%
100%
FRECHET
La fonction de répartition de la loi exponentielle de
paramètre A.=1 est
x
F(x) =1 e pour x=0. Avec b log(n) et
a =1, nous pouvons
résoudre l'équation donnée par le
théorème de Fisher-Tippet avec :
60
MESURE DU RISQUE DE MARCHÉ ET THÉORIE DES
VALEURS EXTRæMES
Fn (anx +
bn) = (1 --
e-x-k'g(n))n
)n
e-x
Fn(anx +
bn) = (1
n
Fn (anx + bn)
--> exp { --e -x}
Fn(anx +
bn) =
La loi de Laplace, ici représentée, et une loi
double exponentielle car sa densité peuvent etre vue comme l'association
de deux lois exponentielles indépendantes, situées de part et
d'autre de la tendance centrale.
Le maximum normalisé et le MDA de la loi exponentielle
convergent vers une loi de Gumbel. C'est pour cette raison que la loi de Gumbel
est aussi appelée « loi de type exponentiel ».
Prenons le théoreme de Balkema-de Haan-Picklands, en
prenant iu.=1, oil
u correspond au seuil défini. Alors :
Fu(y)= F(u + y)
-- F(u)
y 0
e
=
u e-u -y
eu
1 F(u)
Fu(y)= F(u+
y) F(u)
F(u)
1