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Peut-on éviter les crises? mesure du risque de marché et théorie des valeurs extrêmes : une vision quantitative du risque extrême appliquée à  la crise des subprimes

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par Jean MEILHOC
Institut des hautes études économiques et commerciales - Master II 2012
  

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II.II. THÉORIE DES VALEURS EXTRæMES ET VALUE-AT-RISK

V. s'intéresse XIX e

Pareto à la fin du siècle à la distribution des revenus

dans la société. Il en conclut que la société humaine est fondée sur une loi mathématique de forme décroissante, dans laquelle la distribution statistique prend une forme hyperbolique, laissant appara»tre des queues épaisses. Nous avons pu souligner l'importance des lois issues de la famille Çparétienne È, dont les applications en sciences sociales sont croissantes au fil des années. L'abondante littérature disponible sur le sujet en témoigne.

Le succès rencontré par ces lois nous a incités à examiner leur apport sur le marché du DJIA en période de crise des Subprimes. Cette application met en perspective différents raisonnements en termes de rentabilité ajustée du risque sur le marché des actions. La performance d'un investisseur sur une période donnée est souvent liée à quelques journées exceptionnelles. La distribution empirique de forme leptokurtique en témoignant (La grande majorité des cours se concentre vers la moyenne historique proche de 0). La plupart des journées d'activité ne contribue donc que marginalement au résultat. Les activités de marché témoignent d'une forte instabilité, révélant des mouvements violents et soudains. C'est dans cet état statistique, oü le nombre de rentabilités anormale s est important, que nous pouvons parler de crise. La réalité erratique des cour s de bourse est quantifiable. Nous allons donner une image de cette réalité statistique dans un premier temps avant de calculer notre loi de valeurs extremes.

II.II.1 ANALOGIE STATISTIQUE DE LA DISTRIBUTION DES RENDEMENTS ET MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE

Cette section a pour objet d'exposer la

100000% Distribution logarithmique du DJIA

100% Lorsque la loi de valeurs extrêmes est

-10.8 -7.5 -4.2 -0.8 2.5 5.8 9.2

DJIA

identifiée, les conditions de distribution théorique peuvent être utilisées pour obtenir le type de loi limite. Nous avons pu cons tater dans la section théorique que certaine s lois convergent vers différentes lois parente s. En effet, les lois à support borné, comme la loi uniforme,

appartienne nt au domaine d'attraction maximum de Weibull, avec î?>0.

Les lois dont les queues décroissent de facon exponentielle appartiennent au

MDA de Gumbel, avec î?=0. Nous pouvons citer à ce titre la loi normale

et la loi exponentielle. Le s lois dont le paramètre de libe rté est égal à î?, faisan t appara» tre des queues de distribution épaisse s appartiennent, comme la loi de student ou celle de Pareto, au MDA de Fréchet. Dans cet exercice, nous avons choisi d'analyser quatre lois théoriques :

· La loi normale

· La loi de Laplace

· La loi de Pareto

·

59

La loi de student

II.II.1.1 ANALOGIE STATISTIQUE DE LA DISTRIBUTION DES RENDEMENTS

II.II.1.1.1 Comportement limite de la loi exponentielle

-10.8 -7.5 -4.2 -0.8 2.5 5.8 9.2

Laplace

-10.8 -7.5 -4.2 -0.8 2.5 5.8 9.2

DJIA LAPLACE

GUMBEL

100000%

Normale

100000%

DJIA NORMAL

10000%

1000%

100%

10000%

1000%

100%

100000%

10000%

1000%

100%

Student

Pareto

-10.8 -7.5 -4.2 -0.8 2.5 5.8 9.2

DJIA PARETO

-10.8 -7.5 -4.2 -0.8 2.5 5.8 9.2

DJIA STUDENT

100000%

10000%

1000%

100%

FRECHET

La fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre A.=1 est

x

F(x) =1 e pour x=0. Avec b log(n) et a =1, nous pouvons

résoudre l'équation donnée par le théorème de Fisher-Tippet avec :

60

MESURE DU RISQUE DE MARCHÉ ET THÉORIE DES VALEURS EXTRæMES
Fn (anx + bn) = (1 -- e-x-k'g(n))n

)n

e-x

Fn(anx + bn) = (1

n

Fn (anx + bn) --> exp { --e -x}

Fn(anx + bn) =

La loi de Laplace, ici représentée, et une loi double exponentielle car sa densité peuvent etre vue comme l'association de deux lois exponentielles indépendantes, situées de part et d'autre de la tendance centrale.

Le maximum normalisé et le MDA de la loi exponentielle convergent vers une loi de Gumbel. C'est pour cette raison que la loi de Gumbel est aussi appelée « loi de type exponentiel ».

Prenons le théoreme de Balkema-de Haan-Picklands, en prenant iu.=1, oil

u correspond au seuil défini. Alors :

Fu(y)= F(u + y) -- F(u)

y 0

e

=

u e-u -y

eu

1 F(u)

Fu(y)= F(u+ y) F(u)

F(u)

1

Fu(y)= F(u+ y) F(u)

1 F(u)

= 1 -- e-y

 

Par conséquent, pour tout y>0, la GPD s'accorde à etre une loi exacte

pour tout u pour le parametre î?=0 avec iu.=1.

Nous pouvons constater une nette amélioration graphique entre le DJIA et la loi de probabilité concernée. Nous retenons donc la loi de Laplace pour cette raison.

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