II.II.1.1.2 Comportement limite de la loi de
Pareto
La fonction de répartition de Pareto s'écrit
F(U) =1 Um , oü U > 0 et
!
a>0. Pour le théorème des BM, nous posons
f33=0 et a =(nU)a. Pour
x > 0=
Fn(anx +
bn) = (1 U(anx) = (1
Uan x )n
)n
x
Fn(anx +
bn) = (1
n
Fn(anx +
bn) exp { x }
Fn(anx
+bn) = (X)
La loi de Pareto appartient au MDA de la loi de Fréchet.
Communément, la loi de Fréchet est appelée loi de type
Pareto.
Concernant la méthode POT, nous posons
f33=ub pour /3>0. On obtient:
uby)
Fu(y) =
F(u+ F(u) y 0
1 F(u)
uby)
Fu(y) = F(u+
F(u)
1 F(u)
uby)
Fu(y) = F(u+
F(u)
1 F(u)
|
uby)
= Uu U(u+
Uu
=1 (1+ by)
|
|
La limite est alors la loi GPD de paramètre
î? pour î?=!
!
|
et /3=î?.
|
|
Remarquons les extremes qui sont d'avantages compris sous la
courbe, particulièrement du côté des valeurs
négatives.
62
II.II.1.1.3 Comportement limite de la loi normale
La fonction de répartition de la loi normale quand
N~(0,1) est F x =
. Nous avons donc 1-Fx~1
x21r
!!
e!2 quand x?+8,
alors43. En ce qui concerne la méthode des
blocks, nous aurons:
lim u +
|
z
1 F(u+
u
|
)
=
|
lim u +
|
z1 z
(1+ ) exp e
21 (u+
zu)2 + 21
u2 =
u2
|
|
|
|
|
si on suppose que f3,=1, nous avons pour x?+8 :
!
1
|
z
1 F(u+
u
|
) F(u)
= F(u + uz)
|
z
1 e
|
|
|
1 F(u) 1 F(u)
En ce qui concerne la méthode d'excès de seuil,
celle-ci convergera vers une
loi de type exponentielle. D'autre part, si b donne Fb
=1-1et a =
!
!, on aura:
b!
F(anx
n { 1 F(anx +
bn }= { 1 bn)
+ } x
e
1 F(bn)
lim n +
|
lim
Fn(anx
+bn) =
n +
|
x
e
(1
n
|
x
) = exp { e }
|
|
qui converge vers la loi de Gumbel. Smith nous enseigne en
2003 qu'il est
préférable d'utiliser les lois GEV et GPD pour
chaque théorème les
43 1
W. Feller démontre en 1968 que 1 Ð
F(x) équivaut à
x21r
|
!!
e!2 quand x?+8
|
63
|
|
concernant, plutôt que la loi de Gumbel et la loi
exponentielle, bien qu'elles soient toutes deux de formes exactes. L'aspect
propre des lois généralisées semble être plus en
accord avec les méthodes vues précédemment.
La convergence avec la distribution réelle est
concordante graphiquement pour x [-4.2 ; 4.2]. Cependant, nous pouvons
constater, de part et d'autre de la courbe, qu'il existe des extrêmes non
pris en compte par la densité de probabilité normale. Cette loi
est alors également rejetée empiriquement par cette
méthode. Si l'on suppose une distribution gaussienne pour les rendements
journaliers, la probabilité qu'un rendement observé dévie
de sa moyenne de 4 écarts-types est inférieure à 0,01%,
soit un évènement observé en moyenne tous les 62 ans.
Le tableau ci-dessous nous montre la probabilité de
s'écarter de la moyenne
de écarts-types, tel que 1 P(
X ) La dernière colonne
représente le nombre d'années (sur 254
séances) assimilée à l'apparition d'un
événement:
TAB 6 : Probabiité normale
|
|
|
|
Probabiité
|
Années
|
1
|
0,31731050786291410283
|
0,012
|
2
|
0,0455002638963584144
|
0,086
|
3
|
0,0026997960632601891
|
1,46
|
4
|
0,00006334248366623984
|
62,20
|
5
|
0,00000057330314375839
|
6 867,3
|
6
|
0,00000000197317529008
|
1 995 265
|
7
|
0,00000000000255962509
|
1,5x109
|
8
|
0,00000000000000124419
|
12
3,22x10
|
9
|
0,00000000000000000023
|
16
1,7x10
|
10
|
1,52x10 -23
|
2,58x1020
|
|
La probabilité de s'éloigner de plus de 5
écarts-types de la moyenne
convient à un
évènement extrêmement rare, lequel n'a peut-être
jamais été
observé. Or les variations réelles
retenues sur notre fenêtre de test prouvent
que la théorie gaussienne néglige les variations
extremes. Une autre approche est donc nécessaire pour assurer une
rentabilité ajustée du risque.
Il existe des modalités essentielles pour l'existence
de constantes de normalisation. Remarquons que les extremes sont tirés
asymptotiquement d'une loi non-conditionnelle, alors que la variable sortie des
lois de valeurs extremes est tirée d'une loi conditionnelle. Il est donc
important d'estimer la convergence la plus proche. Dès lors, l'indice de
queue représentera le poids des extrêmes dans la distribution.
TAB 7: Intervalle de confiance et
probabiités
Intervalle
|
DJIA
|
NORMALE
|
STUDENT
|
PARETO
|
LAPLACE
|
-10,83
|
0,00
|
0,00
|
0,00
|
0,11
|
0,00
|
-9,17
|
0,00
|
0,00
|
0,00
|
0,07
|
0,00
|
-7,50
|
2,00
|
0,00
|
0,01
|
0,16
|
0,02
|
-5,83
|
2,00
|
0,00
|
0,06
|
0,43
|
0,24
|
-4,17
|
3,00
|
0,27
|
0,44
|
1,65
|
2,57
|
-2,50
|
18,00
|
29,93
|
8,13
|
14,52
|
27,09
|
-0,83
|
310,00
|
285,80
|
307,35
|
299,05
|
286,07
|
0,83
|
272,00
|
285,80
|
307,35
|
299,05
|
286,07
|
2,50
|
23,00
|
29,93
|
8,13
|
14,52
|
27,09
|
4,17
|
5,00
|
0,27
|
0,44
|
1,65
|
2,57
|
5,83
|
2,00
|
0,00
|
0,06
|
0,43
|
0,24
|
7,50
|
0,00
|
0,00
|
0,01
|
0,16
|
0,02
|
9,17
|
1,00
|
0,00
|
0,00
|
0,07
|
0,00
|
10,83
|
0,00
|
0,00
|
0,00
|
0,11
|
0,00
|
Total
|
638,00
|
638,00
|
638,00
|
638,00
|
638,00
|
|
|
|
