Memoire Online - Mesure du risque de marché et théorie des valeurs extrêmes

II.II.3 VALUE-AT-RISK

La TVE appliquée à la Value-at-Risk permet d'évaluer le degré de
résistance des variations des marchés, au méme titre que le degré de solidité
d'une voiture en phase de cra sh-test. Le comportement stochastique des
extremes issus d'un échantillon permet la mise en place d'un cadre
mathématique rigoureux. S'intéressant directement à la queue de
distribution, faisant appara»tre le degré d'importance statistique des
extremums, nous allons dans cette section présenter, à partir des résultats
obtenus précédemment, une stratégie de gestion basée sur le calcul de la
Value-at-Risk. Notre étude va porter sur la rentabilité ajustée du risque que
peut proposer la VaR déterminée à partir du quan tile des extremes sur le
DJIA pendant la crise des Subprimes. En proposant une telle stratégie, un
investisseur pouvait-il éviter les pertes liées à cette crise ? Pouvait-il
bénéficier d'un Tracking-Error avantageux en achetant lorsque la VaRt > Rt
et en vendant lorsque la VaRt < Rt au seuil de probabilité fixé ? Nous allons
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mettre en avant deux mesures liées à la VaR: dans un premier temps, nous sélectionnerons un modèle adéquate quant à la validité du modèle présenté, puis dans un second temps, nous calculerons, à partir des résultats obtenus, la performance que pouvait développer une stratégie long-short du 13/06/2006 au 31/12/2010.

II.II.3.1 COUVERTURE CONDITIONNELLE

Afin d'étudier le risque que peuts dégager la VaR basée sur la théorie des

Valeurs Extremes pour p?(95%), avec t = 1, nous allons procéder à un

exercice de capable de les de violations ⁵⁰

backtesting montrer occurrences . Celui-ci consiste en réalité à confronter d'une part, la VaR calculée à l'aide du quantile des valeurs extrêmes et d'autre part, les pertes et profits réels. Pour valider cette méthode de prévision, les pertes effectives ne devraient

pas dépasser la VaR de plus de 5% des cas . Dans le cas contraire, nous devrions remettre en cause ce modèle. Nous proposons d'adapter la Valueat-Risk calculée de facon journalière sur une fenêtre plus lointaine, permettant ainsi de lisser les observations. Nous utilisons donc une fenétre

glissante x1,x2,...,x_! de taille F. Cette méthode nous présente le

dépassement de la Value-at-Risk lorsqu'elle est supérieure à x, la rentabilité réelle du DJIA en t en valeur absolue. Soit IF, la série des violations définie par la variable dichotomique suivante :

1 si R_t <VaR_t

Dg_t =

0 si R_t VaR_t 1 si x <VaR_t

I_F =

1 si R_t >VaR_t 0 si x > VaR_t

Dd_t =

0 si R_t VaR_t

5 0 Initialement développé par Campbell S. D, en 2005.

51 En d'autres termes, 95% des variations journalières seront contrôlées avec seulement 5% d'erreur de prévision

x est le rendement absolu sur la fenétre F compris entre 1 et F, symbolisant la fin du backtesting. Dg, les valeurs représentées par la distribution négative située à gauche et Dd, celles positives de droite. Ces deux dernières données sont présentées de facons indicatives. Le modèle de Value-at-Risk reste fiable lorsque les violations comprises sur la fenétre F

respectent la propriété du ratio de couverture conditionnelle . Il permet une
comparaison de la proportion p de violation au niveau de risque 1 - p. Ce
test est dit négatif lorsque le nombre d'observations diffère largement de p.

!!!! !

Ce ratio est donné par oü des VaR dépassan t x

! 'F est la somme sur

la fen étre. Il est à noter qu'un bon modèle ne doit ni sous-estimer, ni-sur- estimer le risque. L'avantage de cette technique réside dans le fait qu'elle permet de capturer les caractéristiques de la dynamique temporelle de l'échantillon à travers le temps. Nous avons sélectionné une fenétre F = 50 jours dans notre étude. Nous avons également choisi d'étendre nos observations de part et d'autre de la crise des Subprimes pour montrer l'exigence de la VaR des valeurs extremes par rapport à celle retenue par la loi normale. Nous aurons donc 1 147 observations.

TAB 11: Dépassement de VaR
VaR Loi Normale	VaR GPD	Nobs
1147	1147	Nombre de dépassement
112	12	Couverture conditionnelle
9,76%	1,05%	< 0,05
NON	OUI

5 2 Le ratio de couverture fut développé par Kupiec en 1995. Il fut ensuite repris par Christoffersen en 1998

Le modèle lié à la loi normale se révèle inadapté pour estimer le risque réel.
Il enregistre un taux de 9.91%, dépassant de 4.91 point le taux d'échec
accepté. Cet échec est attendu dans la

[Echelle logarithmique]

100 Dépassement de VaR (95%) mesure oü ce modèle de mesure du

(F = 50) risque ne permet pas de prendre en

compte le caractère leptokurtique des rendements.

6/13/2006 6/13/2009

VaR N(|x|) F=50 VaR GPD(|x|) F=50

En période de crise, la VaR GPD ne laisse appara»tre qu'une infinité de dépassements journaliers sur F = 50. Le ratio de couverture conditionnelle nous indique qu'il existe un taux de dépassement de 1,05% pour une Value-at-Risk acceptant 5% de risque. Ce modèle rempli donc les conditions pour un dépassement qui ne sous-estime, ni ne surestime le risque de marché. Ce modèle conditionnel fournit une quantification plus flexible de la VaR, qui tient compte de la dynamique de la volatilité. En effet, lorsque le taux de croissance dépasse le seuil u fixé à 3%, la VaR conditionnelle Ç vibre È, couvrant le risque de perte extreme (Cf. : graphique, éléments fléchés ). Le graphique ci -dessous souligne la différence qu'il peut exister entre la VaR classique et celle liée aux valeurs extremes.

Backtesting: Occurences de violations de VaR(95%)

12.00% 9.00% 6.00% 3.00% 0.00%

6/13/2006 6/13/2007 6/13/2008 6/13/2009 6/13/2010

|R| VaR N(|x|) VaR GPD(|x|)

En outre, nous retenons le modèle de VaR GPD conditionnée à partir d'un seuil fixé à 3%. Nous allons, dans la sous-section suivante, établir une stratégie long-short à partir des résultats obtenus ci-dessus.