I.7.3.3.a Introduction
A l'échelle macroscopique, on assimile les
métaux soudés, occupant un domaine ? , à un milieu
homogène. Le modèle mathématique du problème est
donc basé sur les équations fondamentales de la mécanique
des milieux continus, à savoir l'équation de conservation de la
masse et l'équation de l'équilibre thermodynamique. Pour que le
problème soit correctement posé, des équations relatives
aux conditions aux limites sont introduites. Finalement, afin de
modéliser les mécanismes régissant la déformation
du matériau, des équations de loi de comportement sont
également rajoutées [17].
I.7.3.3.b Mise en équation
Le problème mécanique, découplé du
problème thermique, repose sur la résolution des équations
d'équilibre statique, les termes d'inertie étant
négligés :
(10)
La déformation totale est calculée à
partir des déplacements durant l'analyse non linéaire par
éléments finis. Les contraintes sont reliées à la
part élastique de la déformation, et un certain nombre de parts
inélastiques interviennent ; la déformation totale se
décompose en :
(11)
avec :
8e : déformation élastique
8ther: déformation thermique
8p:déformation plastique
8vp: déformation viscoplastique
Chapitre I Recherches bibliographique.
38
I.7.3.3.c Déformation élastique et
déformation thermique Le taux de déformation
élastique est donné par la loi de Hooke :
(12)
La déformation thermique quant à elle, en
l'absence de transformations de phases métallurgiques (qui
s'accompagneraient d'un changement de volume), s'écrit uniquement :
(13)
? étant le coefficient de dilatation thermique,
Tref la température de référence à laquelle la
dilatation thermique est nulle, et I la matrice unité.
La dilatation thermique pilote la formation des contraintes
résiduelles, le coefficient de dilatation est donc un paramètre
essentiel. Le changement de volume lié à la transformation
solide-liquide est généralement ignoré, étant
donné que les déformations plastiques
générées par cette transformation sont de toute
façon annulées lors de cette transformation. Toutefois, le
retrait de solidification est parfois pris en compte en vue d'analyses de
fissuration à chaud.
I.7.3.3.d Modélisation du comportement
plastique
Pour la plasticité indépendante du temps, le
modèle le plus utilisé pour la simulation numérique du
soudage est la plasticité utilisant le critère isotrope de Von
Mises, avec la loi d'écoulement associée. Cette
modélisation considère des déformations plastiques
incompressibles et indépendantes de la part hydrostatique du tenseur des
contraintes (seule la partie déviatorique intervient). La loi
d'écoulement postule un écoulement plastique normal à la
surface de charge [16].
Le domaine élastique est défini par :
(14)
?y étant la limite élastique,
et ? VM étant la contrainte équivalente de Von Mises
définie par :
Chapitre I Recherches bibliographique.
39
S désignant le tenseur déviateur
des contraintes a 1,a 2, et a 3 les contraintes dans
le repère
principal.
Lors de l'écoulement plastique, on a :
(16)
La loi d'écoulement s'écrit :
|
(17)
|
|
|
La loi d'écoulement s'accompagne alors d'une loi
d'écrouissage qui permet de déterminer l'évolution de la
surface de charge.
Celle-ci s'écrit sous la forme a = g (e
p), ou bien a = g ( e ). On distingue alors
:
? Le cas de la plasticité parfaite
? Le cas de la plasticité avec écrouissage
linéaire, qui fait intervenir un module d'écrouissage
linéaire h :
(18)
a 0 désignant la limite
élastique initiale à la température
considérée.
? Le cas de la plasticité avec écrouissage non
linéaire : dans ce cas l'écrouissage (relation a =
g(e p) est défini point par point, ou bien par
l'intermédiaire d'une fonction, par exemple de type Ramberg-Osgood :
(19)
Chapitre I Recherches bibliographique.
40
? 0 désignant la limite élastique
initiale à la température considérée, k et N
étant deux coefficients dépendant de la température.
Dans le cas d'un écrouissage isotrope (expansion du
domaine élastique), l'écrouissage est gouverné par une
variable scalaire : il s'agit de la déformation plastique cumulée
définie par :
Le critère s'écrit alors :
(21)
Dans le cas d'un écrouissage cinématique
(déplacement du domaine élastique), l'écrouissage est
gouverné par une variable force tensorielle ? (reliée
à une variable interne
tensorielle ? par l'intermédiaire d'une loi
d'écrouissage), qui indique la position de la surface de charge dans
l'espace des contraintes. Le critère s'écrit alors :
(22)
|