4.2.2 La VaR
La VaR (de l'anglais value at risk, mot à mot: <<
valeur sous risque >> ) est une notion utilisée
généralement pour mesurer le risque de marché d'un
portefeuille d'instruments financiers. La notion de VaR est apparue pour la
première fois dans le secteur de l'assurance. A la fin des années
[1980], la banque Bankers Trust fut l'une des premières institutions
à utiliser cette notion sur les marchés financiers aux
Etats-Unis, mais c'est principalement la banque JP Morgan qui dans les
années 90 a popularisée ce concept notamment grace à son
système RiskMetric.
De façon générale, la VaR est
définie comme la perte maximale potentielle qui ne devrait être
atteinte qu'avec une probabilité donnée sur un horizon temporel
donné (Engle etManganelli, [2001]). La VaR est donc la pire perte
attendue sur un horizon de temps donné pour un niveau de confiance
donné. La VaR répond à l'affi rmation suivante : <<
Nous sommes certains, à a%, que nous n'allons pas perdre plus de V euros
sur les N prochains jours >> . V correspond à la VaR, a% au seuil
de confiance et N à l'horizon temporel.
Supposons que la distribution des pertes et profits
associée à la détention d'un actif sur une période
corresponde à une distribution normale standard. Sur la Figure 4.3 est
reproduite cette distribution de perte et profit supposée normale : sur
la partie gauche de l'axe des abscisses figurent les rendements négatifs
(pertes) tandis qu'à droite figure les rendements positifs (profits).
Dans ce cas, la VaR définie pour un niveau de confiance de 1 - a, donc
il y a 1 - a de chances que le rendement de l'actif, noté rt, soit au
moins égal à F ~1 (a) sur la période de
détention.
Pr [rt < V aR(a)] = Pr [rt < F ~1 (a)] = a
car V aR(a) = F ~1 (a) on F (.) désigne la
fonction derépartition associée à la distribution de perte
et profit.
Exemple 4.2.1 La VaR au seuil de confiance de 95% a 1 jour,
que l'on notera, VaR (95%, 1j), égale a 1 million d'euros signifie qu'un
jour sur cent en moyenne, le portefeuille est susceptible d'enregistrer une
perte supérieure a cette somme de 1 million d'euros. En
considérant que les variations de valeur d'un portefeuille sont
normales, la VaR peut être exprimé graphique-
ment,
Figure 4.1 : Exemple de VaR sous distribution
normale.
Dans l'exemple ci-dessus, la VaR (95%, 1j) correspond
approximativement a une perte de 1.65 millions d'euros et la VaR (99%, 1j)
correspond a peu prés a une perte de 2.33 million d'euros.
Ainsi, la VaR correspond généralement a une
perte (valeur négative). Toutefois, on trouve souvent une Value-at-Risk
définie non pas a partir de la distribution de perte (-) et profit (+),
mais a partir au contraire d'une distribution de profit(-) et perte(+). Dit
autrement, une telle définition revient a omettre le signe moins devant
la perte et donc a affi cher une VaR positive. Dans ce cas, la
définition de la VaR correspond a l'opposé du fractile de la
distribution de perte et profit :
V aR(a) = --F ~1 (a).
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