Analyse des séries chronologiques. les modèles ARCH et GARCH

Chapitre 5

Application sur des données

réelles

Nous avons présenté une application pratique sur des données réelles extraie d'un indice boursier et nous allons voir l'effet ARCH sur ce dernier. Et ensuite, nous pouvons appliquer la modélisation ARCH sur les données de cet indice.

Présentation de la série et analyse préliminaire

Les données sont des observations journalières de rendement sur l'indice boursier NASDAQ. Leur nombre est de 2261 observations. La période couverte s'étant de 2 janvier 2000 a décembre 2007

Logiciel utilisé

EViews (Vues économétriques) est un logiciel de statistiques, utilisé principalement pour les séries chronologiques orienté analyse économétrique. Elle est développée par Quantitative Micro Software (SMQ), fait maintenant partie de l'IHS .La version 1.0 a été publié en Mars 1994, et remplacé MicroTSP. La version actuelle de EViews est de 7,1, publié en avril 2010.

1) L'examen du graphe :

La première étape d'une série chronologique est la représentation graphique. Le graphe correspondant a cette série est le suivant :

figue 5.1. : La s^~erie de redement.

L'analyse visuelle du graphe montre a première vue l'absance d'une tendance. D'oñ il y a lieu d'afiirmer une présomption du stationnarité de la série.

2) L examen du corrélogramme de la série

On obtient le correlograme simple et partiel calculée de cette série :

Figure 5.2 : Le correlogramme
simple et partiel.

Il faut s'intéresser au corrélogramme afin de procéder a l'identification des modèles.

L'autocorrélogramme simple (caractéristique des processus moyennes mobiles ), dans ce cas on obtenue l'ordre 2 de le processus MA. D'autre part, l'autocorrélogramme partiel (caractéristique des processus autorégressifs )

on a l'ordre 2 de le processus AR. Un troisième processus a analyser est celui qui combine les deux précédents processus (MA (2) et AR (2)) noté ARMA (2,2).

3. Validation du modèle ou les tests:

- - Le test de normalité :

Figure 5.3 : Le test de normalit^~e.

La valeur de test de Jarque-Bera (2944,783) est supérieure a 5.99 (la valeur de X²(2)), ce qui amène a l'absance de la normalité qui est également visible sur l'histogramme ci-dessus. Donc la série des résidus n'est pas un bruit blanc gaussien. Ainsi, la valeur de la kurtosis (8,59) assure cette resultat et aussi montre que la distribution de cette série est leptokurtique (supérieure a 3). En plus, on observe que la valeur de la skewness est égale a 0.0077 cela montre que la distribution est asymétrique et a une queue allogée vers la droite. On retrouve la propriété d'asymétrie aux gains.

- Corrélogramme simple et partiel des résidus

Figure 5.4 : Le corr^~elogramme simple et
partiel des r^~esidus.

On observe L'absence d'autocorrélation les résidus ou des rendements. Pour cette raison on va analyser les carrés des résidus.

- Corrélogramme simple et partiel des résidus au carrés

Figure 5.5 : Le corr^~elogramme simple et
partiel des r^~esidus au carr^~es.

A partir du corrélogramme, on remarque plusieurs termes significativement différents de zéro cela veut dire qu'il existe une autocorrélation et aussi il y a certainement un effet ARCH. Pour cela on est passé au test d'homoscédasticité dont le résultat ci-dessous.

- Le test ARCH d'hétéroscédasticité :

La détection de l'hétéroscédasticité par le processus ARCH se fait avec comme hypothese :

~

H0 : il y a homoscédasticité H1 : il y a hétéroscédasticité

Figure 5.6 : Le test ARCH.

On a la statistique du ML (T * R²) = 86, 165 qui est supérieure a 5,99, on rejette l'hypothèse nulle d'homoscédasticité en faveur de l'hypothèse alternative d'hétéroscedasticité conditionnelle.

- Identification du modèle de type ARCH

On a eu plusieurs modèles ARCH avec des ordres p assez grands. Par conséquent on est passé au modèle GARCH (1, 1).

Les résultats obtenus dans la table ci-dessous montrent que les paramètres de l'équation de la variance conditionnelle sont significativement différents de zéro.

Figure 5.7 : Estimations des
param^~etres.

Le modèle retenu est un modèle AR (1) avec erreur GARCH (1, 1)

s'écrit sous la forme suivante :

X = 0:0893 Xt_i + €7 avec "t = ~tht on l'équation de la variance est

h t = 0:0716 + 0:1953"2 _{t_} + 0:8473h2 t_1.

- Graphique des séries résiduelles réelles et estimées

Le graphe de la valeur actuelle (actuel), prédite dans l'échantillon (fitted) et du résidus (résiduel).

Figure 5.8 : Le graphe des valeurs actuelle,
pr^~edites dans l'^~echantillon et du r^~esidus.

L'observation du graphique montre bel et bien que les variables de la valeur actuelle sont collées avec celle de la variable projetée (fitted value) et que le résidu se comporte maintenant comme un bruit blanc.