Risque de marché et théorie des valeurs extrêmes

I.I.3 RENTABILITÉS ANORMALES

Énoncées précédemment, les rentabilités anormales sont obtenues par différence entre les rentabilités étudiées en A_i et les rentabilités dévoilées par le modèle en N_i. Estimé à partir d'une reproduction matricielle des données, le vecteur des A rentabilités anormales estimées est décrite par la relation :

Dans lequel et sont les corollaires de et respectivement. Le vecteur des taux anormaux sur A_i peut s'analyser de telle sorte qu'il existe une « erreur » commise dans la prévision de la rentabilité du titre i. Mathématiquement, cette « perturbation » réelle s'exprime comme :

L'espérance mathématique des taux de rentabilités anormales, liés aux valeurs , elles-mêmes tirées des variables explicatives sur la période de crise, est donnée par :

Avec , calculé précédemment, l'équation donnée par . Celle-ci montre une espérance nulle dans la mesure où la perturbation est supposée indépendante et identiquement identifiée sur N_i et A_i.

I.I.4 TEST DE SIGNIFICATIVITÉ

Comment pouvons-nous juger de la significativité des tests réalisés selon les modèles théoriques réalisés précédemment? Plusieurs étapes peuvent être mise en oeuvre pour en tirer une hypothèse viable. Afin de montrer la véracité du raisonnement utilisé dans cette étude, nous allons dans un premier temps étudier, en passant par la technique des moindres carrés ordinaires, un actif considéré indépendamment avant d'initier une analyse sur données associées.

I.I.4.1 MOINDRES CARRÉS ORDINAIRES

Dans la littérature économétrique, une rentabilité anormale est assimilable à un point aberrant par rapport à une suite de variables iid. Dans notre étude, nous usons des hypothèses classiques dans laquelle les moindres carrés ordinaires sont donnés par le vecteur des espérances des A_i lignes et de la matrice de variances-covariances des A_i lignes et des A_i colonnes de cette erreur. Nous avons :

Où I montre formellement la matrice identifiée par les A_i lignes et des A_i colonnes. Parce qu'il prend en compte un élément additionnel lié à l'étude de l'indice de référence, les indicateurs de la diagonal V_i dans le modèle de marché prend l'expression suivante :

Où _m se rapporte au taux de rentabilité moyen de l'indice de référence sur N_i. Nous le verrons dans la sous-section suivante lorsque Pattel dans son ouvrage publié en 1976 et Boehmer dans sa publication de 1991, utilisent cette expression dans leurs tests statistiques. En outre, cette formule permet de dissocier la hausse de la volatilité, exprimée par l'écart-type des fluctuations des cours, et la perturbation liée aux rentabilités anormales. Logiquement, l'accroissement de la variance est une fonction décroissante du nombre d'observations N utilisé pour estimer les valeurs des paramètres. Cela a pour effet de lisser la volatilité de l'étude des rentabilités normales. C'est pour cette raison qu'il est justifié d'utiliser un laps de temps N équilibré entre stabilité et précision. L'augmentation sera d'autant plus forte que les conditions de marché dans lesquelles sont calculées les rentabilités anormales s'écartent de celles qui avaient cours lors de la phase d'estimation des paramètres. Dans les faits, la valeur de est inconnue. Nous utiliserons alors l'estimateur sans biais noté . Pour ce faire, nous serons amenés à utiliser l'estimateur de la matrice de variances-covariances des taux anormaux dont la formule est donnée par^15(*) :

Exprimé par la quantité, calculé avec :

* ¹⁵ Nous devons savoir si l'analyse de cette dernière donnée est homoscédastique. En cas contraire, le risque spécifique peut biaiser les calculs. Boehmer se propose d'étudier se corollaire à travers une étude statistique.