Memoire Online - Analyse comparative de modèle d'allocation d'actifs dans le plan Moyenne-Var relative

Dans ce qui suit, l'objectif est de comparer et de valider les méthodes d'estimation de la VaR dans le modèle d'allocation proposé à savoir : la méthode Empirique, la méthode normale et la méthode GPD. Ceci est effectué en passant à un cadre dynamique d'étude. Chaque méthode permet d'avoir un modèle de gestion dynamique issu du modèle général proposé. Nous nous intéressons à la gestion optimale quotidienne sur une période appelée période de prévision (outof-sample). L'hypothèse de normalité sera donc présenté à travers le modèle dynamique de prévision de la variance conditionnelle : GARCH avec des innovations de loi normale.

On se réfère aux mêmes données journalières des sections précédentes sur l'indice Nasdaq 100 et sur l'indice S&P 500. La période totale de l'étude s'étale donc du 01/04/1997 jusqu'au 31/03/07 (2515 observations). Cette période initiale est séparée en deux sous périodes : une période d'estimation (in-sample) et une période de prévision (out-of-sample). Cela permet d'obtenir une séquence de prévision de la VaR et de comparer ensuite les pertes effectives historiques des portefeuilles optimaux avec les VaR limites prédéfinies pour les mêmes jours. Dans notre cas, on a choisit la période d'estimation comme celle allant du 01/04/1997 jusqu'au 24/05/2005 (2050 observations) et la période de prévision comme celle allant du 25/05/2005 jusqu'au 31/03/2007 (465 observations). La figure 7 représente l'évolution du rendement des deux indices sur la période de prévision. La table 9 indique certaines statistiques descriptives des deux séries de rendements sur cette même période ainsi que leur VaR relative. La table 10 présente les résultats des deux tests de détection de l'effet ARCH (2) à un niveau de confiance de 99% : test Q (2) et le test ARCH (2) d'Engle. Ils sont appliqués sur les deux séries de rendement des deux indices NASDAQ 100 et S&P 500 durant toute la période d'étude. Rappelons que pour tester l'effet GARCH (p, q) il suffit de procéder à un test d'effet ARCH (p+q) et à un test de LjungBox. Les résultats pour la série des observations du Nasdaq 100 affirment l'existence d'une auto corrélation entre les termes d'erreur au carré ainsi que l'hétéroscédascticité de ces derniers : une modélisation GARCH (1,1) est donc justifiable. Pour la série du S&P 500, on constate une absence d'auto corrélation entre les termes d'erreurs au carré vu que la statistique

calculée est inférieure à la valeur critique de (2). On peut conclure que la modélisation par un

processus GARCH (1,1) est invalide dans ce cas malgré que le test d'effet ARCH (2) affirme
l'hétéroscédasticité. La richesse initiale de l'investisseur est supposée égale à 1000 dollars

américains. Le taux sans risque sur la période de gestion sera proche de la moyenne des taux des Bons de trésor américains sur trois mois (US Treasury Bill) pour la date du 24/05/2005 et du 31 /03/2007. Il est de l'ordre de 2,86% annuellement à la première date et de 4,97% dans la deuxième. Le taux sans risque journalier retenu sur la période de gestion sera ainsi de 0,016% (supposition de 250 jours ouvrables par an). Rappelons que les coûts de transactions sont supposés négligeables dans notre modèle. De même, on suppose que les actifs financiers sont divisibles. Dans le modèle GPD, on retient 9% des données (seuil u) pour estimer l'indice de queue.

On suppose que la VaR limite recherchée par l'investisseur pour le jour j ( *

à 2% de sa richesse cumulée jusqu'à la fin du jour j-1. Avec l'information disponible jusqu'au jour j-1, chaque méthode permet de prévoir pour le jour j le montant qui doit être emprunter (Bj > 0) ou prêter (Bj < 0) compte tenu de l'aversion au risque de l'investisseur. Celle-ci étant exprimée par le montant de la VaR limite choisi et le degré de confiance souhaité. Chaque méthode permet aussi de prévoir le poids optimal de chaque actif risqué dans le portefeuille durant le jour j. Ensuite, avec les recommandations établit en j-1, on détermine l'évolution effective de la richesse de l'investisseur durant j pour après reprendre la même procédure en incluant les données du jour j dans la période d'estimation afin d'établir les recommandations de j+1.

L'idée est ainsi de déterminer les recommandations d'investissement journalière en terme de poids optimaux des actifs risqués dans le portefeuille et en terme de montant prêt-emprunt. Ensuite, on détermine le taux d'échec résultant du dépassement de la perte journalière effective à la VaR limite prévu pour le même jour (supposé égale à 2% de la richesse finale du jour précédent). Il s'agit du test de Kupiec-LR (1995). La perte journalière effective du jour j est obtenue à partir du rendement effectif du portefeuille optimal constitué pour le même jour déduction faite des charges financières si Bj > 0 (il s'agit d'un emprunt) ou en ajoutant les produits financiers si BjB < 0 (il s'agit de prêt). Le taux d'échec multiplié par 465 représente le nombre de fois où le rendement effectif dépasse cette VaR limite pendant la période de prévision. La méthode qui présente le taux d'échec le moins élevé sera considérée la plus fiable parmi les trois. Un deuxième critère peut être utilisé : la richesse finale à l'issu de la période de prévision. Si l'investisseur adopte ce point de vue, le modèle le plus adéquat pour lui sera celui qui procure la richesse finale la plus élevée.

On s'intéresse à la performance des trois modèles : Empirique, GARCH et GPD pour trois niveaux de confiance de la VaR : 95%, 97% et 99%. Ces derniers correspondent à une aversion au risque croissante. Les résultats obtenus par l'application des trois modèles sur une période de gestion de 465 jours (out-of-sample) sont présentés dans les tableaux 11 et 12.

Le premier tableau présente le taux d'échec des trois modèles pour les différents niveaux de confiance cités ci-dessus. On constate que pour les différents modèles, le taux de dépassement de la perte effective du portefeuille à la VaR limite respecte le seuil d'erreur prévu. Cela affirme le respect de la contrainte de notre modèle de base. De même, ce taux décroît avec le niveau de confiance souhaité ce qui est en parfaite conformité avec le fait qu'à un niveau de confiance plus élevé (et donc dans le cas d'un investisseur averse au risque) la marge d'erreur devra être plus faible. Autrement, les recommandations d'investissement issu d'un niveau de confiance de 95% implique plus d'erreur de prévision que les recommandations d'investissement issu d'un niveau de confiance de 99%. En se référant au raisonnement de Kupiec LR (1995), le modèle le plus adéquat pour l'investisseur sera le modèle GPD. Il présente le taux d'échec le moins élevé pour les différents niveaux de confiance. Ainsi, ce modèle sera recommandé pour un investisseur qui juge la prédominance du critère de taux d'échec sur les autres critères. Cependant, les taux d'échec de ce modèle apparaissent relativement faible ce qui reflète une aversion assez grande. Le graphique 18 montre l'écart important entre les VaR limites et les pertes effectives dans le cadre de ce modèle pour un niveau de confiance de 99%. Cela s'explique par des recommandations qui favorisent l'opération de prêt allant jusqu'à 800 $ (voir figure 16). Ainsi, la perte effective réalisée sur les 200 $ investi en actif risqué devienne assez faible devant une VaR limite de l'ordre de 2% de la richesse initiale investi (soit à peu prés 20 $ par jour). Cette perte effective est en plus atténuée par une stratégie recommandant l'investissement dans l'actif le moins risqué (S&P 500) ce qui a pour conséquence de diminuer l'exposition du portefeuille risqué au risque (voir figure 17). Le modèle GPD apparaît donc comme un modèle conservatif. Il recommande l'opération d'emprunt seulement sur la deuxième dizaine de jour sur les 465 jours de prévision. Pendant ces jours, la VaR limite est donc supérieur à la VaR du portefeuille optimal constitué pour le même jour.

Le modèle Empirique se place dans le deuxième rang selon le critère statistique de taux d'échec . On constate comme même un taux faible d'échec pour les différents niveaux de confiance. Les recommandations de ce modèle, pour un niveau de confiance de 99%, en terme de part de chacun des deux indices dans l'actif risqué sont moins sensibles à l'augmentation de la série de données historique (voir figure 9). Ainsi, w1 reste constante sur plusieurs jours consécutifs. Cela convient mieux dans le cadre de l'existence de coûts de transactions. Tout au long de la période out-of-sample, ce modèle suggère de recourir au prêt pour respecter la contrainte de VaR limite. En fait, ces deux premiers modèles reflètent implicitement par leur recommandation de prêter une tendance négative des rendements des deux indices ce qui conduit à une VaR du portefeuille optimale supérieur à la VaR limite et ainsi à Bj < 0 (prêt).

Le modèle GARCH respecte le taux d'échec maximal autorisé. Cependant, à un niveau de confiance de 99%, les stratégies recommandées par ce modèle tendent à favoriser l'investissement dans l'indice le plus risqué, le Nasdaq 100, tout au long de la période de prévision (voir figure 13). Les opérations sur l'actif sans risque oscillent entre opération de prêt et celle d'emprunt.

Le tableau 12 présente les résultats concernant le deuxième critère : la richesse finale. Dans c e cadre, l'investisseur aura intérêt à suivre les recommandations du modèle Empirique. Ce dernier permet d'avoir la richesse la plus élevée à l'issu de la période de gestion et ce pour les différents niveaux de confiance. Le modèle GPD arrive dans la deuxième position pour les niveaux de confiance de 95% et 97% et en troisième position pour un niveau de confiance plus élevé. Dans les graphiques 11,15 et 19 on a présenté l'évolution de la richesse durant la période de prévision avec les différents modèles ,à 99% de confiance, comparé à l'évolution de la richesse obtenu par l'investissement exclusif en Nasdaq 100, S&P 500 et l'actif sans risque.

Les limites de la variance comme mesure de risque ont mené les financiers à chercher d'autres mesures plus précises et plus pratiques. Parmi ces mesures, la Value-at-Risk s'est imposé comme un standard et une référence règlementaire incontournable aussi bien dans les milieux financiers que dans les milieux d'assurance. Dans ce travail, on a montré comment on peut intégrer cette notion dans le processus de sélection optimale de portefeuille dans une logique de contrôle de risque. Ainsi, à partir d'une Value-at-Risk souhaitée (et ainsi d'un niveau de risque assumé) on présente un modèle général permettant l'allocation optimale de la richesse entre les actifs risqués et les actifs non risqués. Ceci passe par la maximisation de l'espérance de rendement du portefeuille sous la contrainte de la VaR limite. Ce processus d'optimisation tient compte de l'estimation de la VaR. Ainsi, trois modèles sont choisis : le modèle empirique, le modèle GARCH et le modèle GPD. L'étude empirique se base sur deux actifs risqués : le Nasdaq 100 et le S&P 500 et ce pour une période de dix ans (1997-2007). La validation du processus d'optimisation sous chacun des trois modèles est effectuée à travers deux critères calculés sur une période de prévision s'étalant sur 465 jours. Le premier critère choisi est d'ordre statistique : le taux d'échec du modèle au niveau des stratégies d'allocations respectant la contrainte de la VaR limite. Le deuxième critère de performance est d'ordre économique : la richesse finale procuré par chaque modèle à la fin de la période de prévision. Les résultats montrent la supériorité du modèle GPD pour le premier critère et la dominance du modèle Empirique pour le deuxième critère. Cependant, on pourra se demander sur l'influence d'autres paramètres bien présents dans le cadre dynamique, tel que les coûts de transactions, sur les résultats obtenus. De même, inclure les produits dérivés dans le portefeuille risqué apparaît intéressant vu l'importance du volume de transaction de ces actifs à l'échelle mondiale. On sera ainsi mené à utiliser d'autres modèles d'estimation de la VaR tel que la méthode delta normal.

Figure 2 : Les rendements journaliers des deux indices sur la période d'étude du 01/04/1997 au 31/03/2007

NASDAQ 100	Journalier	Hebdomadaire	10 jours
Moyenne	0,000317681	0,001458065	0,002223235
Erreur-type	0,000443461	0,001903747	0,002839718
Médiane	0,001248879	0,0034419	0,007728195
Mode	0	0	#N/A
Écart-type	0,022239447	0,043703332	0,053879862
Variance de l'échantillon	0,000494593	0,001909981	0,00290304
VaR relative (cas empirique 99%)	57,17	105,83	134,42
Kurstosis (Coefficient d'aplatissement)	7,353	6,7125	4,8481
			-
Skewness (Coefficient d'asymétrie)	0,362181238	-0,225398467	0,283755071
Plage	0,286287108	0,463434319	0,466605164
	-		-
Minimum	0,098573958	-0,252490371	0,256512979
Maximum	0,18771315	0,210943949	0,210092185
Somme	1,418628296	1,275944057	1,328294549
Nombre d'échantillons	2515	527	360
Jarque et Bera (JB)	2,04E+03	302,9204	54,5011
S&P 500
Moyenne	0,000248808	0,001193247	0,001740883
Erreur-type	0,000229436	0,001021361	0,001419755
Médiane	0,000522287	0,001588924	0,004996629
	-
Mode	0,009116768	0	#N/A
Écart-type	0,011506178	0,023446856	0,026937964
Variance de l'échantillon	0,000132392	0,000549755	0,000725654
VaR relative (cas empirique 99%)	29,7677	67,2569	80,9452
Kurstosis (Coefficient d'applatissement)	6,0947	5,1243	4,7567
	-		-
Skewness (Coefficient d'assymétrie)	0,023422279	-0,302961499	0,281109516
Plage	0,125984128	0,188301993	0,218018302
	-		-
Minimum	0,068656812	-0,110501207	0,098852216
Maximum	0,057327316	0,077800787	0,119166086
Somme	0,792707206	0,774083881	0,757551233
Nombre d'échantillons	2515	527	360
Jarque et Bera (B)	1,00E+03	105,2544	49,5744
Khi deux (2) à 99%	0,0201	0,0201	0,0201
Taux sans risque	0,000194036	0,000933212	0,001348253

Table 2- Le montant de la Value at Risk journalière pour un portefeuille composé à 50% de l'indice NASDAQ 100 et à 50% de l'indice S&P 500

	Empirique	Bootstrap*	MonteCarlo**	RiskMetrics	TVE(GPD)***
95%	-26,228	-26,203	-26,574	-26,621	-26,466
96%	-28,298	-28,219	-28,622	-28,334	-28,970
97%	-30,161	-30,205	-30,563	-30,440	-32,311
98%	-33,936	-33,786	-33,427	-33,239	-37,242
99%	-39,513	-39,484	-36,926	-37,651	-46,316

** Pour ces méthodes, on suppose la distribution normale des rendements du portefeuille (10 000 simulations pour la méthode Monte Carlo)

Figure 3 : L'estimation de la VaR journalière (portefeuille à parts égaux de l'indice Nasdaq 100 et de l'indice S&P 500

Figure 5 : Les frontières d'efficience dans le cas de rendements hebdomadaires

Figure 6: Les frontières d'efficience dans le cas de rendement sur dix jours

Table 3- L'allocation statique optimale et VaR (estimé et relative) dans le cas empirique

Rendement journalier	NASDAQ 100	S&P 500	VaR estimé	VaR relative
95%	48,18%	51,82%	-19,856	20,050
96%	40,03%	59,97%	-20,187	20,381
97%	51,63%	48,37%	-23,664	23,858
98%	47,71%	52,29%	-25,573	25,767
99%	40,86%	59,14%	-28,268	28,462
Rendement hebdomadaire
95%	53,04%	46,96%	-39,457	40,390
96%	60,09%	39,91%	-45,305	46,239
97%	44,11%	55,89%	-43,508	44,442
98%	53,64%	46,36%	-49,995	50,928
99%	30,46%	69,54%	-53,019	53,952
Rendement sur dix jours
95%	56,18%	43,82%	-46,959	48,307
96%	39,27%	60,73%	-43,546	44,894
97%	57,38%	42,62%	-60,487	61,835
98%	35,93%	64,07%	-57,513	58,861
99%	31,74%	68,26%	-68,839	70,187

Table 4- Le montant de prêt-emprunt nécessaire pour obtenir une VaR du portefeuille
égale à celle du portefeuille optimal à 95% de confiance (cas empirique)

Table 5- L'allocation statique optimale et VaR (estimé et relative) dans le cas de n ormalité

Rendement journalier	NASDAQ 100	S&P 500	VaR estimé	VaR relative
95%	45,55%	54,45%	-19,674	19,868
96%	45,55%	54,45%	-20,958	21,152
97%	45,55%	54,45%	-22,536	22,730
98%	45,55%	54,45%	-24,634	24,828
99%	45,55%	54,45%	-27,941	28,135
Rendement hebdomadaire
95%	43,80%	56,20%	-38,974	39,906
96%	43,80%	56,20%	-41,566	42,498
97%	43,80%	56,20%	-44,752	45,684
98%	43,80%	56,20%	-48,988	49,920
99%	43,80%	56,20%	-55,664	56,596
Rendement sur dix jours
95%	43,37%	56,63%	-44,948	46,296
96%	43,37%	56,63%	-47,965	49,313
97%	43,37%	56,63%	-51,675	53,023
98%	43,37%	56,63%	-56,606	57,954
99%	43,37%	56,63%	-64,378	65,726

Table 6- Le montant de prêt-emprunt nécessaire pour obtenir une VaR du portefeuille égale à celle du portefeuille optimal à 95% de confiance (cas de normalité)

Table 7- L'allocation statique optimale et VaR (estimé et relative) dans le cas GPD

Rendement journalier	NASDAQ 100	S&P 500	VaR estimé	VaR relative
95%	48,57%	51,43%	-26,1317	20,430
96%	48,57%	51,43%	-28,587	22,336
97%	48,58%	51,42%	-31,871	24,884
98%	48,58%	51,42%	-36,735	28,659
99%	48,57%	51,43%	-45,731	35,640
Rendement hebdomadaire
95%	28,48%	71,52%	-39,190	32,318
96%	28,48%	71,52%	-42,029	34,604
97%	28,48%	71,52%	-45,972	37,781
98%	28,48%	71,52%	-52,117	42,730
99%	28,84%	71,16%	-64,670	52,793
Rendement sur dix jours
95%	38,68%	61,32%	-53,092	42,420
96%	38,68%	61,32%	-57,061	45,512
97%	38,68%	61,32%	-62,346	49,631
98%	38,68%	61,32%	-70,129	55,695
99%	38,68%	61,32%	-84,389	66,807

Table 8- Le montant de prêt-emprunt nécssaire pour obtenir une VaR du portefeuille
égale à celle du portefeuille optimal à 95% de confiance (cas de GPD)

Figure 7 : Les rendements des deux indices sur la période de prévision (out-of-sample)

Table 10- Les résultats des tests de détection de l'effet GARCH(1,1) pour un niveau de confiance de 99%

Table 11- Le taux d'échec des trois méthodes (empirique, GARCH et GPD) pour différents niveaux de confiance

Table 12- La richesse finale de l'investisseur en procédant à la gestion dynamique

Figure 8: Le montant de prêt-emprunt quotidien durant la période de prévision dans le cas de la méthode Empirique à un niveau de 99% de confiance

Figure 9: La part quotidienne de l'indice Nasdaq 100 durant la période de prévision dans le cas de la méthode Empirique à un niveau de 99% de confiance

Figure 10: L'évolution de la VaR limite et des pertes effectives des portefeuilles optimaux quotidiens durant la période de prévision dans le cas de la méthode Empirique à un niveau de 99% de confiance

Figure 11: L'évolution de la richesse durant la période de prévision avec le modèle Empirique (99% de confiance) comparé à l'évolution de la richesse obtenu par l'investissement en Nasdaq 100, S&P 500 et l'actif sans risque d'une façon individuelle.

Figure 12: Le montant de prêt-emprunt quotidien durant la période de prévision dans le cas de la méthode GARCH à un niveau de 99% de confiance

Figure 13: La part quotidienne de l'indice Nasdaq 100 durant la période de prévision dans le cas de la méthode GARCH à un niveau de 99% de confiance

Figure 14: L'évolution de la VaR limite et des pertes effectives des portefeuilles optimaux quotidiens durant la période de prévision dans le cas de la méthode GARCH à un niveau de 99% de confiance

Figure 15: L'évolution de la richesse durant la période de prévision avec le modèle GARCH (99% de confiance) comparé à l'évolution de la richesse obtenu par l'investissement en Nasdaq 100, S&P 500 et l'actif sans risque d'une façon individuelle.

Figure 16: Le montant de prêt-emprunt quotidien durant la période de prévision dans le cas de la méthode GPD à un niveau de 99% de confiance

Figure 17: La part quotidienne de l'indice Nasdaq 100 durant la période de prévision dans le cas de la méthode GPD à un niveau de 99% de confiance

Figure 18: L'évolution de la VaR limite et des pertes effectives des portefeuilles optimaux quotidiens durant la période de prévision dans le cas de la méthode GPD à un niveau de 99% de confiance

Figure 19: L'évolution de la richesse durant la période de prévision avec le modèle GPD (99% de confiance) comparé à l'évolution de la richesse obtenu par l'investissement en Nasdaq 100, S&P 500 et l'actif sans risque d'une façon individuelle.

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Analyse comparative de modèle d'allocation d'actifs dans le plan Moyenne-Var relative

II-6 L'allocation optimale dans le cadre dynamique :