II-5 L'allocation optimale dans le cadre statique :
Dans cette section, on présente les résultats
obtenus concernant les allocations optimales entre les deux actifs
risqués pour différents niveaux de confiance et différents
horizons de détention. De même le montant de prêt emprunt
nécessaire au respect de la contrainte de la VaR est
déterminé. Ceci étant effectué dans un cadre
statique c'est-à-dire en se plaçant à un instant
donné dans l'axe du temps (le 31/03/2007) et en effectuant les
prévisions pour la période suivante (jour, semaine ou dix
jours).
En ce qui concerne les allocations optimales, les tables 3,5
et 7 représentent les proportions retrouvés ainsi que la
VaR estimé et la VaR relative du portefeuille optimal
pour les différentes hypothèses de distribution. Ces
résultats s'interprètent comme suit: Par exemple pour un
investisseur qui cherche a constituer un portefeuille maximisant le rendement
espéré sous la contrainte d'une VaR limite
journalière a un niveau de confiance de 95% et en se basant sur une
estimation empirique de la VaR, il aura intérêt a
constituer un portefeuille dont la part de l'indice Nasdaq 100 est 48,18% et la
part de l'indice S&P 500 est de 51,82%. La VaR a 95% de ce portefeuille
calculé sur la base de la richesse initiale de l'investisseur sans
recourir aux opérations de prêt-emprunt est égale a
-19,856. D'une façon générale, le recours a ces
opérations prend place si, pour un niveau de confiance donné, la
VaR limite souhaité est différente de la VaR
estimé du portefeuille optimal pour le même niveau de confiance
(la VaR est retenu en signe négatif). Rappelons que le montant
de liquidité B a prêter ou a emprunter est obtenu par la formule
suivante :
B =
(0)
W * ( VaR
* (
))
,
+ VaR c p '
Avec :
W(0) = la richesse initiale de l'investisseur.
VaR * = la VaR limite choisit par
l'investisseur (retenu en valeur absolue)
VaR ( c, p ' ) = la VaR
estimé du portefeuille optimal pour le niveau de confiance
considéré
?( c , p ' ) = la VaR
relative du portefeuille optimal pour le niveau de confiance
considéré.
En effet, dans le cadre du modèle d'allocation optimale
de cette étude, le profil de risque de l'investisseur est supposé
être reflété par le niveau de la VaR limite y
inclut bien évidemment le niveau de confiance recherché. Ainsi,
nous avons pris le cas des investisseurs qui ont différents profils de
risque ,allant de celui de 95% a celui de 99%, et qui cherchent tous a
constituer un portefeuille optimal avec une VaR limite égale a
la VaR estimé du portefeuille optimale a 95%. Ceci est
effectué pour les différents horizons de détentions et
pour les différentes méthodes d'estimation de la VaR. A
titre d'exemple, si on choisit d'estimer la VaR par la méthode
empirique et qu'on cherche a avoir un portefeuille avec une VaR
journalière a 99% égale a -19,856 (ce montant de VaR
limite correspond a la VaR du
portefeuille optimal journalier à 95%), l'investisseur
devra prêter un montant de 295,552 dollars. Toutefois, l'allocation de la
richesse restante sera à la hauteur de 40,86% dans le Nasdaq 100 et de
59,15% dans le S&P 500, ce qui correspond à la répartition
optimale du niveau de confiance 99%. Ceci lui permet de diminuer la
VaR du portefeuille initialement égal à -28,268 tout en
gardant le même niveau de confiance. C'est cela qui constitue la richesse
de ce modèle générale d'allocation d'actifs. D'une
façon générale, si la VaR limite pour un niveau
de confiance donné est inférieur en valeur absolue à la
VaR du portefeuille optimal pour ce même niveau de confiance,
l'investisseur sera invité à prêter un montant B
(négatif) au taux sans risque. Ceci était le cas
général des recommandations obtenues dans nos calculs. Le seul
cas d'emprunt était dans le cadre de l'hypothèse empirique, un
horizon de dix jours et un niveau de confiance de 96% (Table 4) :
l'investisseur devra emprunter 76,03 dollar pour faire passer la VaR du
portefeuille optimale pour ce niveau de confiance de -43,546 à
-46,959.
L'interprétation reste identique pour le cas des
rendements hebdomadaires ou sur dix jours ainsi que pour le cas d'estimation de
la VaR par les deux autres méthodes : normale et GPD.
Cependant, on remarque que dans le cas de l'hypothèse de distribution
normale des rendements (Table 5), l'allocation optimale entre les deux actifs
est indépendante des niveaux de confiance. A chaque horizon de
détention, correspond une combinaison optimale qui reste inchangé
même si on change le niveau de confiance. L'attitude de l'investisseur
vis-à-vis du risque exprimé au niveau de ce paramètre de
la VaR est ainsi négligée dans le cas de la
normalité. Ce qui reste déterminant dans son profil est le
montant de la VaR limite choisit. Ceci s'explique par le fait que les
quantiles q(c,p) dans le cas de normalité sont des constantes
quelque soit la composition du portefeuille. La maximisation de l'expression
M (p) sera ainsi indépendante du niveau de confiance. Elle
dépend uniquement du couple Espérance/Ecart type du rendement du
portefeuille. Cela n'est pas le cas pour les allocations
déterminées dans le cas empirique ou dans le cas de la
méthode GPD où les combinaisons optimales varient en fonction du
niveau de confiance.
On constate aussi que le niveau de risque pour ces
portefeuilles optimaux, mesuré par la VaR relative, est
généralement plus élevé dans le cas empirique que
dans le cas normal. Le quantile issu de la distribution empirique est plus
élevé en valeur absolue que le quantile de la distribution
normale pour n'importe quel niveau de confiance. Le caractère
leptokurtique de la distribution effective des rendements du portefeuille
optimal explique donc ce constat.
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