II-3 L'application des méthodes de mesure de la
Value at Risk :
Un élément fondamental du modèle
d'allocation optimale d'actifs présenté dans cette étude
est l'estimation de la Value-at-Risk. Pour cela, nous avons choisies
d'appliquer et de comparer les résultats de certaines méthodes
les plus traitées en littérature. Par hypothèse, on
suppose que notre portefeuille est composé de 50% de l'indice Nasdaq 100
et de 50% de l'indice S&P 500. On se place dans le cas de rendement
journalier. La période d'étude est celle mentionné
ci-dessus, allant du 01/04/1997 jusqu'au 31/03/2007. Les résultats
obtenus pour les différentes méthodes et pour les
différents niveaux de confiance sont données dans la table 2 et
représentée dans la Figure 3.
On constate que la méthode issue de la Théorie
des Valeurs Extrêmes (EVT), que l'on appellera aussi méthode GPD
(Generalised Pareto Distribution), a tendance à donner les valeurs de la
VaR les plus élevées (en valeurs absolues) pour les
différents niveaux de confiance. Le seuil (threshold) utilisé
dans la méthode GPD est celui dépassé par 10% des
observations de notre échantillon. On constate aussi qu'à un
niveau faible de confiance, les différentes méthodes se
rapprochent au niveau de l'estimation de la VaR. A un niveau
élevé, on remarque que les deux méthodes non
paramétriques (empirique et Bootstrap) convergent vers la même
valeur estimée (-39,5). Dans le même cas de niveau
élevé, les méthodes paramétriques basées sur
l'hypothèse de normalité (Monte Carlo et Risk Metrics) donnent
les valeurs les moins élevées de la VaR. Ceci est du
à ce que l'hypothèse de normalité sous estime la
VaR. Notons qu'on a procédé à 10 000
opérations de ré échantillonnage pour la méthode de
Bootstrap et à 10 000 simulation de la loi normale centrée
réduite pour la méthode MonteCarlo.
Comme mentionné précédemment, dans ce qui
suit on choisi de comparer les résultats des modèles
basées sur l'estimation de la VaR par la méthode
empirique, la méthode normale (ou RiskMetrics) et la méthode GPD.
Ceci est justifié par le caractère déterministe des
estimations obtenues par ces méthodes. Il s'agit d'une condition
nécessaire pour effectuer les opérations de maximisation. Les
autres méthodes se basent plutôt sur la simulation et ont ainsi un
caractère plus ou moins aléatoire.
II-4 La construction des frontières d'efficience
:
Afin de construire la nouvelle frontière d'efficience
dans le plan Moyenne-VaR relative, nous estimons simultanément
l'espérance de rendement et la VaR relative des portefeuilles
à différentes combinaisons de l'indice Nasdaq 100 et de l'indice
S&P 500. En fait, en se basant sur ce nouveau plan, on arrive à
construire la frontière d'efficience ,pour un niveau donné de
confiance, en allant d'un portefeuille contenant 100% de l'indice Nasdaq 100
à celui contenant 100% de l'indice S&P 500. On garde la même
période d'étude allant du 01/04/1997 jusqu'au 31/03/2007. Ainsi,
l'estimation de la VaR est effectué selon les trois
méthodes empiriques, normale et GPD sur trois horizons de
détention possibles : le jour, la semaine et dix jours. A chaque horizon
correspond, on établit les frontières d'efficiences pour trois
niveaux de confiance : 95%, 97% et 99%. La nouvelle frontière
d'efficience ressemble à celle du plan MoyenneVariance. Ce qui
diffère est la définition du concept du risque : ici on fait
recours à la VaR relative à un benchmark de rendement
(qui est le taux sans risque) au lieu de l'écart type des rendements.
D'après les graphiques 4 à 6, on constate que
les frontières d'efficiences obtenues par les trois méthodes
tendent à se rapprocher pour des niveaux de confiance faibles et ce pour
différents horizons de détention. A un niveau plus
élevé (99%), la frontière d'efficience obtenue par la
méthode normale se décale à gauche sur le graphique se
situant ainsi au dessus des deux autres frontières d'efficience. Cela
indique que les portefeuilles de cette frontière représentent
pour un même niveau de rendement espéré, un niveau de
risque moins élevé. Cela confirme une autrefois le
caractère de sous estimation de la méthode normale. La
frontière d'efficience de la méthode GPD s'éloigne parfois
des deux autres d'une façon significative surtout dans le cas de niveau
de confiance élevé (99%). Elle paraît plus proche de la
frontière d'efficience empirique que de celle de la méthode
normale dans les différents cas étudiés.
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