II-2 Le cadre de l'étude empirique :
Afin de déterminer l'effet de la déviation de
l'hypothèse de normalité et de la variation de l'horizon
d'estimation sur les portefeuilles optimaux à construire, nous avons
choisit de se référer à deux indices du marché des
capitaux des Etats-Unis : le Nasdaq 100 et le S&P500. Ces deux actifs
représentent dans notre travail les actifs risqués. Rappelons que
l'indice NASDAQ 100 contient 100 compagnies américaines de haute
technologie cotées sur le marché du Nasdaq. La valeur des actions
de ce type de sociétés est plus volatile que la valeur des
actions des compagnies de l'économie traditionnelle. Le S&P 500 est
un indice boursier basé sur 500 grandes sociétés
cotées sur les bourses américaines. L'indice est
possédé et géré par Standard & Poor's, l'une
des trois principales sociétés de notation financière. Il
représente sûrement un niveau de volatilité moins
élevé que le Nasdaq 100. En fait, il contient plus de
société ce qui implique un effet de diversification surtout que
sa composition couvre des secteurs différents plus ou moins
corrélés. Le logiciel utilisé pour l'analyse des
données relatives à ces deux indices et l'implémentation
du modèle sera le Matlab version 6.5. On suppose que les coûts de
transactions sont négligeables et que les actifs financiers sont
divisibles.
La période d'étude sera à partir du 01/04
/1997 jusqu'au 31/03/2007 et donc s'étale sur dix ans. Le nombre des
observations des rendements journaliers est de 2515 (Figure 2). Le rendement
journalier de l'indice est obtenu par la formule suivante :
C C
-
j j
j Cj
R
1
1
Avec :
Cj = valeur de l'indice pour le jour j
Cj- 1 = valeur de l'indice pour le jour j-1
Le taux de rendement sans risque est considéré
comme celui des Bons de trésor américains sur trois mois (US
Treasury Bill). Il est de l'ordre de 4,97% annuellement fin du mois de mars
2007. La richesse initiale de l'investisseur est supposée égale
à 1000$ (dollar américain). Les horizons de détention
considérés sont trois : un jour, une semaine et dix jours. Ceci
correspond aux périodes les plus pratiquées par les agents
financiers avant la liquidation
du portefeuille. On se réfère à la
moyenne géométrique pour calculer les moyennes de rendement des
indices sur les différents horizons. L'expression générale
pour l'obtenir est la suivante :
n
- 1
R
|
= ? + ( )
[ (1 )] ( 1 / )
n
R i h
m
i=1
|
Avec :
h = durée de la sous période de
détention (soit le jour, la semaine ou dix jours) n=nombre de
sous période de durée h dans la période totale m
Ri = rendement de la ième
sous période de durée h
( h )
Rm =rendement sur la période totale
m
Par exemple, le rendement journalier moyen de l'indice du
Nasdaq 100 sur la période d'étude est de 0,032%. Celui de
l'indice S&P 500 est moins élevé et il est égal
à 0,025%. L'écart type journalier du rendement du Nasdaq est
aussi supérieur à celui de l'indice S&P 500. La
volatilité est presque doublée puisque celle du premier indice
atteint 2,22% alors que celle du deuxième est de 1,15%. La nouvelle
mesure de risque présentée dans la section
précédente est calculée pour les différentes
séries de rendement selon une approche empirique d'estimation de la
VaR et à un niveau de confiance de 99%. Rappelons qu'elle est
obtenue par la formule suivante :
? = W0 rf - VaR
estimé
Les valeurs obtenues de cette mesure dans la table 1, montre
bien sa croissance avec le temps. Plus l'horizon de détention est loin
plus cette mesure est élevé. De même, la VaR
relative du Nasdaq 100 reste toujours supérieure à celle du
S&P 500 pour la même période de détention. Ceci est en
conformité avec le fait que le premier indice offre un rendement
espéré plus élevé et donc c'est évident
qu'il fait supporter l'investisseur plus de risque.
En se référant à la table 1, on constate que
le rendement moyen sur dix jours est supérieur à celui sur un
jour, ceci est bien évident. L'écart type est lui aussi plus
élevé mais il
dépasse les attentes données par la règle de
la racine du temps (c'est-à-dire ó 10 j =
10ó 1 j ). Ceci indique l'existence du
phénomène d'auto corrélation.
On constate aussi que pour les trois fréquences de
données, les valeurs du coefficient d'asymétrie (skewness) et du
coefficient d'aplatissement (kurtosis) sont différentes de celles
données par une distribution normale. Pour le skewness, la seule valeur
positive est celle du cas de rendement journalier du Nasdaq 100 ce qui indique
une distribution asymétrique à droite. Dans tous les autres cas,
la distribution est asymétrique à gauche. Pour le kurtosis les
valeurs s'éloignent de 3. Ils sont plus élevés que cette
valeur ce qui signifie de l'existence des queues épaisses pour les
différentes cas. Ceci témoigne à priori de la non
normalité des distributions. Le recours au test de Jarque et Bera
à un niveau de confiance de 99% confirme ce constat puisque les
statistiques JB calculées dépassent de loin la statistique de khi
deux (2). On pourra penser dans ce cas à modéliser les
distributions par la loi de student. Cette dernière a
l'intérêt de tenir compte de phénomène
leptokurtique. On sait qu'en s'appuyant sur la théorie des valeurs
extrêmes, la mesure î de l'indice de queue peut être utiliser
pour tester différents modèles de distribution. Cet indice prend
la valeur 0 dans le cas normal. Il prend des valeurs entre 0 et 0.5 dans le cas
de student. Le calcul de cet indice pour les rendements journaliers du Nasdaq
100 donne la valeur 0,186. Lorsqu'il est calculé pour les rendements
journaliers du S&P 500 on le trouve proche de zéro. Les
résultats sont similaires pour les autres horizons de détentions.
Ceci témoigne du fait que la distribution du deuxième indice
s'approche plutôt de la normalité que de la loi de student. Pour
le cas de la distribution de student, le problème qui se pose est celui
du choix du degré de liberté. Devant cette nuance provenant
essentiellement de l'existence de queue épaisse, nous avons choisie dans
les sections suivantes d'étudier le modèle d'allocation d'actifs
en se référant à trois méthodes d'estimation de la
VaR : la méthode empirique, la méthode normale (issu du
modèle RiskMetrics) et la méthode TVE ( issu de la Théorie
des Valeurs Extrêmes).
Notons enfin que l'estimation de la Value-at-Risk à
partir des méthodes historiques requière théoriquement la
stationnarité des séries des rendements. Pour cela on peut se
référer au test de racine unitaire ADF (augmented Dickey-Fuller).
A titre illustratif, l'application de ce test sur la série de rendement
journalier sur la période d'étude du Nasdaq 100 donne une
statistique égale à -20.50381 (le logiciel utilisé est
Eviews 4.0). Cette dernière est inférieure à la valeur
critique au seuil de signification de 1% qui est égale à -3,4575
ce qui indique la non stationnarité de la série. On suppose dans
ce qui suit la stationnarité des séries de rendement des
portefeuilles constitués par les deux indices.
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