II-1 La modélisation du problème
d'optimisation du portefeuille :
Dans un cadre statique d'étude, notre objectif sera
principalement de déterminer deux éléments de la gestion
de portefeuille. Dans un premier temps, on cherchera les proportions optimales
de chaque actif risqué dans le portefeuille. Dans un deuxième
temps, on déterminera le montant B de liquidité à
prêter ou à emprunter de façon à constituer un
portefeuille avec une VaR qui correspond à la VaR
préfixé par l'investisseur. Ce niveau de VaR*
reflètera le degré de l'aversion au risque de l'investisseur.
Bien évidemment, le portefeuille constitué maximise
l'espérance de rendement que peut obtenir l'investisseur sous la
contrainte d'une VaR recherché. Dans ce qui suit, l'objectif
est de présenter un modèle traduisant la problématique.
On suppose que l'on dispose d'un montant W(0)
à investir sur un horizon de temps T. On rappelle qu'on cherche
à investir de manière à avoir un niveau de VaR
bien définie de notre portefeuille. Ce niveau peut être
fixé par le gestionnaire de risque dans les institutions
financières de sorte qu'il correspond aux exigences des autorités
règlementaires, ou fixé par un investisseur particulier
relativement à son degré d'aversion au risque. Ce montant peut
être
investie avec un autre montant B qui représente
un prêt si B<0 et un emprunt si B>0. est le
rf
taux d'intérêt sans risque pour lequel
l'investisseur peut prêter ou emprunter pendant la période T. On a
n actifs disponibles sur le marché. ã (i) indique la
fraction investie dans l'actif risqué i ainsi la somme des
ã (i) doit être égale à 1. Soit aussi
P(i, t) le prix de l'actif i au temps t (le présent correspond
à t=0).
La valeur initiale du portefeuille représente la
contrainte budgétaire:
n
|
W(0) + =
B ?= ã ( ) ( ,
i P i
i 1
|
0) (1)
|
Le problème fondamental sera ainsi de déterminer
les fractions ã (i) ainsi que le montant initial B
à emprunter ou à prêter.
En choisissant le niveau désiré de la VaR
comme VaR * (exprimé en valeur absolue), on peut formuler la
contrainte de perte potentielle de valeur comme suit:
Pr( (0) ( ) *) 1 (2)
W - W T = VaR = - c
Avec W(T) est la richesse final de l'investisseur
compte tenu de son remboursement de l'emprunt ou le cas éventuel de son
recouvrement du prêt avec les intérêts y associés,
c est le niveau de confiance. Ceci donne:
|
Pr( ( ) (0) *) 1
W T = W - VaR = - c
|
(3)
|
Du fait que la VaR est la perte maximale, sur l'horizon de
temps T, qui peut avoir lieu avec un niveau de confiance c, on
constate que le degré d'aversion au risque de l'investisseur est
reflété à la fois par le niveau de VaR
désiré et par le niveau de confiance associé.
L'investisseur est intéressé par la maximisation de la richesse
à la fin de la période T. Soit r(p) le rendement total
espéré sur le portefeuille p sur cette période.
La richesse finale espérée de l'investissement dans le
portefeuille p peut s'écrire:
) (4)
E W T
0 ( ( )) ( (0) )(1 ) (1
= W + B r p B r 1
+ - +
Résolution du problème d'optimisation du
portefeuille
A partir de l'équation (1), on détermine
l'expression de B:
n
|
B
|
= ?= ã ( ) (
i P
i 1
|
i W
,0) -
|
(0)
|
Si on remplace cette expression dans l'équation (4), on
obtient:
n
E W T W
( ( )) (0)(1 ) ( ) ( , 0)( )
= r 1 ã i P i r r
-
0 p 1
+ + ?=
i 1
VaR * +W (0
) rf
=
q
(5)
rf
n
(c , p)
On suppose pour simplifier que E0 ( W( T
)) = W(T ) , la valeur de rp est
ainsi donné par:
)) -W (0 )rf + rf
(W( T ) W(0
?
ã(i) P ( i , 0 )
i =1
A partir de la contrainte de la perte de la valeur de
l'équation (2), on essayera d'introduire rp dans
l'inéquation. On a ainsi :
Pr( W (0) - W(T ) VaR*)1-
c
Donc:
Pr( W (T ) - W(0) =- VaR*)1-
c
Pr( rp = rf
VaR * +W (0
Donc:
=1-
) r
c
f
n
?= 1
ã (i) P ( i,
0)
i
Introduisons maintenant le terme q(c,p) qui
représente le quantile correspondant à un niveau de confiance
c dans la distribution des rendements du portefeuille. En effet,
à partir de la dernière équation on peut obtenir les deux
résultats souhaitées: d'une part l'expression de la valeur
espéré de la richesse finale en fonction du quantile
q(c,p) et d'autre part l'expression de B.
Ceci passe par les étapes suivantes :
ce qui donne:
n VaR W r
* (0)
+ 1
?= ã( ) ( , 0)
i P i =
r q c p
- ( , )
i 1 1
Une fois remplacé dans la dernière équation
exprimant E0 ( W( T , p )) , on obtient:
r r
p 1
-
E W T W
0 ( ( )) (0)(1 )
= + +
r ( * (0) )
VaR W r
+
1 1
r 1
-
q
( , )
c p
En divisant par W(0) on obtient:
(6)
W T
( ) r r
p 1
-
E 0 ( ) (1 )
= + +
r ( * (0) )
VaR W r
+
1 1
W(0) W r W q c p
(0) (0) ( , )
-
1
Cette dernière équation implique que la
maximisation de l'espérance de rendement de l'investisseur passe
à travers la maximisation de l'expression M (p) suivante:
M ( )
p
r p - r 1
=
0) r W q c p
- (0) ( , )
1
W (
(7)
On constate que la richesse initiale W(0) n'affecte
pas le choix du portefeuille optimal puisque elle est considérée
comme une constante dans l'expression M (p) à maximiser. Le
processus d'allocation d'actif est ainsi indépendant de la richesse.
Cependant, l'avantage d'avoir la richesse initiale dans le dénominateur
est son interprétation. En effet, M (p) est égale au
ratio de prime de risque espéré du portefeuille par rapport au
risque assumé. Ce dernier est reflété à travers une
perte potentielle maximale relativement à une référence
(le rendement au taux sans risque). Vu que le produit du quantile
négatif par la richesse initiale constitue la VaR du
portefeuille pour un niveau donné de confiance, on pourra trouver une
nouvelle expression ö(c, p) pour le risque.
En notons VaR(c, p) la VaR du portefeuille
(avec un signe négatif vu que q(c,p) est un quantile
négatif), le dénominateur devient:
? ( c , p ) = W(0) r
f -VaR(c, p ) (8)
Cette mesure du risque correspond au profil des investisseurs
considérant le taux de rendement sans risque comme un benchmark pour le
rendement de leur portefeuille et souhaitant en même temps que
l'expression du risque soit en terme de perte potentielle. M (p) est
ainsi une mesure de performance comme l'indice de Sharpe et peut être
utilisé pour évaluer l'efficience de portefeuille (voir Sharpe
(1994)). En plus sous l'hypothèse que l'espérance de rendement du
portefeuille est normalement distribuée et que le taux sans risque est
nul, M (p) converge vers un multiple de l'indice de Sharpe. Dans ce
cas, les portefeuilles pour lesquelles ces deux indices sont maximisés
sont les mêmes.
On constate aussi que le portefeuille optimal qui maximise
M (p) est choisi indépendamment du niveau de la richesse
initial ainsi que du niveau de VaR désiré (VaR
*). En effet, la mesure de risque ö(c, p) pour les différents
portefeuilles dépend de la VaR estimé du portefeuille et
non de celui désiré. Les investisseurs débutent par la
détermination de l'allocation optimale entre les actifs risqués,
l'intervention ensuite du montant B vient pour montrer la
différence entre la VaR estimé du portefeuille et la
VaR désiré. Deux étapes séparées
caractérisent le processus de décision comme dans le cas de
l'approche de Moyenne Variance.
Afin de déterminer la valeur de B on combine
l'équation (1) et l'équation (5). Ceci donne enfin :
=
W * ( VaR
* (
+ VaR c p '
B
))
(0)
,
(9)
On note que dans cette dernière expression, la est
exprimé en valeur absolue et
VaR *
que la VaR est de signe négative. On remarque
aussi le fait que ce modèle est indépendant des hypothèses
de distribution de sorte que le modèle est dérivé dans le
cadre de la maximisation de l'espérance de rendement sous la contrainte
de perte de valeur désiré.
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