Enseigner les mathématiques en zone difficile

Annexe 9

Exemples de sujets de narration de recherche : Sujet 1 : Niveau 3ème

Construire deux carrés de telle sorte que le deuxième ait une aire double de celle du premier.

Sujet 2 : De la 6^ème à la 1ère

Étant donné quelques points placés sur une feuille, combien peut-on tracer de segments différents joignant deux quelconques de ces points ? Compléter le tableau suivant :
Si j'ai...	Je peux tracer...
1 point	0 segment
2 points	1 segment
3 points	3 segments
4 points	6 segments
5 points
6 points
7 points
12 points
20 points
108 points
n points (n est un entier positif)

Sujet 3 : De la 3^ème à la 1ère

A et B sont deux points donnés. On souhaite construire en utilisant seulement une règle non graduée (dont les extrémités sont rongées...) et un compas, le point C vérifiant les trois conditions suivantes :

1) C appartient à la droite (AB)

2) C n'appartient pas au segment [AB]

3) AC = 1 4 AB

Sujet 4 : Niveau 2nde

Vous disposez d'un cube de 10 cm d'arête et vous désignez par A un de ses sommets. Déterminez tous les points du cube situés à 15 cm du point A.

Sujet 5 :

Paul possède une certaine somme d'argent lorsqu'il part faire ses achats.

Dans le premier magasin, il dépense la moitié de ce qu'il possède, plus 1 €.

Dans le deuxième magasin, il dépense la moitié de ce qui lui reste, plus 1 €.

Paul entre dans un troisième magasin, et là, il dépense la moitié de de l'argent qui lui reste, plus 1 €.

Enfin il fait son dernier achat dans un quatrième magasin où il dépense la moitié de ce qui lui reste, plus 1 € , et il s'aperçoit alors qu'il a dépensé toutes ses économies.

Combien d'argent Paul possédait-il au départ ?

Sujet 6 :

Un petit garçon raconte ses vacances.

« Il y a eu 11 jours de pluie ; pendant ces 11 jours, quand il pleuvait le matin, il faisait beau l'après-midi, et s'il pleuvait l'après-midi, il avait fait beau le matin ».

Au total ce petit garçon a eu 9 matinées et 12 après-midi sans pluie. Peux-tu trouver combien de jours de vacances a eu ce petit garçon ?

Annexe 10

Si je calcule 13¹, le chiffre des unités est 3. Si je calcule 13² le chiffre des unités est 9.

Quel est le chiffre des unités de 13³, 13⁴, 13⁵ ?

Quel est le chiffre des unités de ¹³²⁰¹¹ ?

Vous raconterez sur votre feuille :

- Les différentes étapes de votre recherche (vous pouvez minuter le temps, joindre vos brouillons...)

- Les observations que vous avez pu faire et qui vous ont fait progresser ou changer de méthode (il vaut mieux chercher seul mais...)

- La façon dont vous expliquerez votre solution à un (ou une) camarade que vous devez convaincre.

L'évaluation ne portera pas sur la nature de la solution (juste, fausse, incomplète...) mais sur les trois points évoqués ci-dessus.

Annexe 11 Copie d'Émilien

Pour une première réalisation, Émilien a plutôt bien compris le principe de la narration de recherche. Il écrit tout ce qu'il fait mais par contre il n'explique pas assez ses

démarches. Sa copie permet d'expliquer ses

calculs, mais sans

justifier la raison de tel ou tel raisonnement.

Il s'est tout de même bien plié au jeu de la narration de recherche en cherchant

activement une solution à la question posée.

Copie de Joris

Cette copie est beaucoup plus sommaire ; il semble que Joris n'ai pas réellement compris le principe de l'exercice demandé. En réalité, Joris a fait des calculs sur une feuille de brouillon pour arriver à la conclusion que les chiffres se répétaient, mais il n'a pas joint son brouillon à la copie. Cette réaction montre que les habitudes qu'ont les élèves sont difficiles à déloger et à modifier.

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Copie de Juliette

La copie de Juliette est particulièrement satisfaisante, en effet Juliette explique clairement son raisonnement et ses démarches. Elle laisse apparaître une méthode qui n'a pas abouti, c'est d'ailleurs dommage qu'elle n'explique pas d'avantage pourquoi elle a abandonné cette voie. Juliette s'est invertie dans la recherche durant toute la séance et n'a pas hésité à poser des questions pour progresser.

Copie de Lory

Lory fait partie des élèves qui ont « confiance » en leur calculatrice, elle pense donc que 132011 ne peut pas exister étant donné que sa calculatrice ne le calcule pas. Sa copie est tout de même intéressante car elle essaye d'argumenter malgré tout son raisonnement contrairement à d'autres élèves qui ont simplement dit que c'était impossible. Ceci montre que Lory a tout de même intégré un des enjeux de la narration de recherche : l'argumentation.

Copie de Quentin

Cette copie est également relativement satisfaisante, même si là encore, il manque les commentaires et l'argumentation des différentes méthodes de recherche. La conclusion est la même que celle de Juliette car ces deux élèves ont travaillé ensemble durant la seconde partie de la séance. Dans la première phase de travail, on peut remarquer que Quentin a travaillé uniquement avec sa calculatrice en essayant de décomposer les opérations afin d'obtenir une suite d'opérations égale à ¹³²⁰¹¹ et réalisable par sa calculatrice. Le constat est flagrant, la calculatrice a fermé certaines pistes de réflexions pour Quentin qui n'avait pas envisagé de résoudre l'exercice sans.

Copie de Lise et Camille

Cette copie manque également beaucoup de rédaction. La partie recherche est bien présente en revanche. Malgré un travail sérieux de la part de ces deux élèves, leur copie montre bien, encore une fois, qu'il n'est pas évident de modifier les habitudes des élèves qui en mathématiques ne sont pas habitués à réaliser ce genre de travail. C'est un travail de longue haleine qui doit s'effectuer tout au long de l'année. Cette copie reflète également le « danger » que représente la calculatrice : en effet elle renvoie ici une écriture scientifique qui n'est d'aucune aide pour résoudre cet exercice et qui peut donc induire les élèves en erreur.

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Copie d'Inès et Florine

Dans la première partie de leur recherche commune, Inès et Florine ont réellement fourni un travail intéressant en essayant de trouver un lien entre les chiffres présents dans un nombre et le chiffre des unités de ce nombre. C'est tout à fait le travail attendu lors d'une narration de recherche : envisager différentes pistes de recherche. Même si là aussi la rédaction manque, la recherche est très satisfaisante. Après avoir constaté que ce raisonnement ne fonctionnait pas, Inès et Florine se sont rabattues, et c'est bien dommage, sur la calculatrice qui ne leur a pas été d'une grande aide. Elle leur a cependant fourni une autre piste de recherche.