CHAPITRE IV
DECOUPLAGE NON LINEAIRE AVEC
ORIENTATION DU FLUX
CHAPITRE IV: DECOUPLAGE NON LINEAIRE
AVEC ORIENTATION DU FLUX
IV-1. Introduction
De nos jours les moteurs asynchrones sont de plus en plus
utilisés dans la conduite de processus qui nécessite des
variations de vitesse et de position.
L'application des techniques de l'automatique moderne dans la
commande des machines électriques permet d'obtenir de très hautes
performances.
Actuellement, les recherches dans ce domaine, s'orientent de plus
en plus vers l'application de ces techniques lors de la commande des
machines.
Dans ce chapitre nous nous intéressons à
l'application du réglage par retour d'état linéarisant
(Feedback Linearization) à un actionneur asynchrone.
Cette technique nous permet de linéariser et de
découpler le système par l'utilisation de l'outil
géométrie différentielle. Par la suite la commande par
placement de pôle est appliquée au système. Enfin la
structure de la commande est testée par simulation sur le modèle
du moteur ainsi linéarisé.
IV-2. Linéarisation exacte par retour
d'état
Considérons la classe de système dynamique non
linéaire de la forme :
m
i
x f(x) ?
& = + g i (x) .u
i 1
=
y1=h1(x) (IV-1)
y m = hm ( x)
Où n
x? R, f(x),g1(x),..,g m (x) et
h1(x),..,hm(x) sont des fonctions vectorielles
différentiables de dimensions appropriées dans un
ouvert de Rn.
Le problème est alors de trouver une transformation de
coordonnées et un retour d'état non linéaire qui
linéarisent le système [20,2 1,22].
Considérons donc un retour d'état non
linéaire statique de la forme :
u = á(x) + â(x).v (IV-2)
Ou â(x) = [ â ij (x)] pour i=1,..., m et
j=1,..., m est non singulière
Et [ ]T
á (x) = á 1 (x ),..., á
m (x) .
La linéarisation exacte du système (IV-1) avec des
sorties hi(x) consiste alors à trouver ce retour d'état non
linéaire (IV-2) et la transformation de coordonnées :
Z = Ö (x) = [Ö1(x)... Ö n
(x)] qui mettent le système en boucle fermée sous la forme
canonique de BRUNOWSKY. z Az Bv
& = +
y Cz (IV-3)
où: V est le nouveau vecteur de commande.
1
0
=
0
0
0 ?
??
Avec: A = dia (A), B = dia (B) et C = dia(C) pour i = 1,..., m ;
avec :
? 0 1 0 . 0 ? ? 0 ?
? 0 0 1 . 0 ? ? ?
(IV-4)
0
? ? ? ?
A i i i
= ? ? ; B = ? . ? ; C
? ? ? ?
0 . . . 1 .
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? 0 . . . 0 ? ? 1
En relation avec les équations d'état (IV-1) on
définit le vecteur degré relatif{r1 ,..., r m } . Nous
dirons alors que le système donné par (IV-1) possède un
vecteur degré relatif {r1 ,...,rm } en un point
x0 si et seulement si :
a) Le produit : L L h i (x) 0
gj f = (IV-5)
k
Pour 1 = i = m ,1 = j = m, et pour tout k p r1 -1.
Lfh(x) est la dérivée de Lie de la fonction h(x)
suivant le champ de vecteur f.
b) La matrice de découplage [23,24,25] :
r
A(x) L gi L f h (x) ??
= - (IV-6)
? j 1 ?
j
?? ( i ,j )
Pour 1 = i = m et 1 = j= m est non singulière au
pointx0.
Le système est alors exactement linéarisable si et
seulement si r1 + ... + rm = n c'est à dire
après difféomorphisme et bouclage le système
sera constitué de m sous système linéaire et
découplé.
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