Linéarisation entree sortie et réglage flou d'une machine asynchrone avec pilotage vectoriel et observateur à mode glissant

V-3-3. Résultats de simulation

Fig V-2. l'évolution des flux réels et observés et l'erreur d'observation

Nous avons simulé le comportement de l'observateur du flux rotorique en utilisant le schéma de la figure V-1. La simulation effectuée dans la figure V-2 montre l'évolution des flux réels et des flux observés dans la machine. Nous remarquons que les flux observés convergent rapidement vers les flux réels et ne les quittent pas ultérieurement.

V-4. Observateur par mode de glissement

A cause des caractéristiques inhérentes aux systèmes non linéaires, l'estimation de l'état de ces systèmes continue à poser des problèmes difficiles. Dans ce fait les chercheurs ont été orientés vers le développement des observateurs d'état pour les systèmes non linéaires et/ou incertains. L'observateur par mode de glissement (Sliding Observer) est dérivé de la théorie des systèmes à structure variable. En effet, cette dernière s'adapte considérablement avec les systèmes non linéaires et incertains. [28]

V-4-1 Structure générale d'un observateur par mode glissant

Considérant le système non linéaire suivant :

x & =f(x,u,t) (V-21)

Considérant aussi le vecteur y des variables mesurables qui sont reliées linéairement avec les variables d'état ;

y = Cx (V-22)

Si le système est observable, l'objectif de l'observateur est de donner la meilleure estimation des variables d'état à partir des mesures sur la sortie y et l'entrée u.

Nous définissons l'observateur par la structure suivante [33] :

xà = f(xà ,y,u,t)+Ëu s

& (V-23)

Avec :

xà est de même dimension que x(n)

à

f est le modèle d'estimation

Ë est la matrice des gains de dimension n x r (r est la dimension de u) u _s est un vecteur définit par

u= sign (s ) sign (s ) K sign (s )

[ ]^t (V-24)

s 1 2 r

et

[ss s ] ^t S [ y C xà ]

2 K r = = - est une matrice carrée (r x r) à déterminer.

Nous définissons aussi le vecteur d'erreur e = x -xà en soustrayant les équations (V-23) et (V-21), ensuite nous obtenons :

e&=Äf-Ëu s

Avec

Äf = f(x, u, t) - f(xà, y, u, t) (V-25)

Le vecteur surface S=0 est attractif, si :

&

S _i S i < 0 pour i= 1, r (V-26)

Durant le mode de glissement, le terme de commutation (V-24) est nul. Car le vecteur surface et sa dérivée sont nuls (S = & S = 0). La grandeur équivalente du terme de commutation est donnée comme suit :

C( Ä f - Ë s = (V-27)

i ) 0

D'ou

u ( C ) C f

~ 1

s = Ë - Ä (V-28)

La matrice C Ë doit être inversible. Cela constitue la première exigence sur le choix de Ë et . La dynamique de l'erreur est gouvernée par l'équation (V-29).

ds

&

i

1 1

= -ë + ù + Ö + ù Ö + v

ds ds s qs dr r qr

k

i i k

T ó L

r s

&

i

1 1

= -ù - ë - ù Ö + Ö +

i i k k v

qs s ds qs r dr qr qs

T ó L

r s

ë i

ds

-

ù

s

-

M

1

à

-

-

k k

+

T

ë i

qs

Ö

dr

ù

r

i

ds

r

i

qs

-

de l'erreur vers zéro.

V-4-2 Observateur par mode de glissement (MG) du flux rotorique

L'objectif de l'observateur est d'estimer les flux rotoriques et _Ôdr et _Ôqr et les courants statoriques connaissant la mesure des courants et les tensions statoriques et la vitesse de rotation. Le vecteur sortie utilisé pour l'estimation est donné par :

?1 = = ? y C x ? 0

0 1

0 0

0 0

0 ? ? x 0 ?

(V-30)

Considérant maintenant le système du moteur asynchrone tenant compte des variables ids,

à à à à

iqs, Ôdr, Ôqr. Les variables à observer sont i _ds , i _qs , Ö _dr , Ö _qr . Nous donnons ainsi le modèle du

système à observer et le modèle d'observation. Le système à observer est :

Ö& = M - Ö + ù Ö

1

^dr T

i (V-31)

ds d r sl qr

T r r

1

1

Ë

1

+

ó

+

v

ds

u

s

L

s

1

2

Ë

1

+

ó

+

v

qs

u

s

L

s

Le modèle de l'observateur est :

Ö&

^qr T

= M - ù Ö - Ö

1

i qs sl dr qr

T r r

à

i

ds

-

1

T

r

1

Ö + ù Ö

k

dr r

Ö

qr

qr

à

à

&

à

i

ds

&

à

i

qs

&

à

Ö

dr

Ö à &

qr

+ ù +

i k

s qs

T

r

M

T

r

T

r

ù

sl

à à

u

s

1

+ Ë

2

+ù

sl

Ö

dr

Ö

qr

2

à

à

1

-

u

s

+ Ë

2

Ö

dr

T

r

Ö

qr

(V-32)

56

Avec k M

ó L _s L r

R R M 2

, 2

s r

ë = +

ó L ó L L

s s r

? Ë 1 ?

, ?

Ë = 2

2

2

? ?Ë 2 ?

Nous définissons la matrice des gains comme suit :

Ë ¹
? ?

Ë i = Ë Ë pour i = 1,2 et j = 1,2 avec ?

^j [ 1 2 ] Ë = 2 1

1 ? ?Ë 1 ?

Pour en avoir l'erreur d'observation, nous soustrayons (V-32) de (V-31)

u

s

2

u

s

1

Ö

dr

ù

sl

-

qr

T

r

qr 2

& 1

i k

= Ö + ù Ö - Ë

k

^ds T dr r qr

r

& 1

i k k

= -ù Ö + Ö - Ë

r dr qr

T

r

Ö = -

& 1 Ö + ù Ö - Ë ¹ u (V-33)

T

qs

1

1

dr dr sl qr 2 s

1 Ö - Ë

-

Ö &

2

u

s

r

Avec [ ]t

u s = sign (s ₁ ) sign (s ₂ )

? s ?

et ( y yà )

S =

1 ?? = -

?? s 2

Le vecteur d'erreur est : e = [ I_S Ö _r ]

Posons les représentations matricielles suivantes :

1

k

?

? T

C = [ 0 1] ,

? - ù

k k ?

r

? ?

k ù _r

? ? ?

?

1

ù _sl

-

-

-

T r

T r

? ? ? ? ? ?

1

A 2

ù _sl

Le système (V-33) devient :

Ö = A

&

₂ Ö r - Ë ₂ u

1

s

I s = A ₁ Ö r - Ë ₁ u

&

1

s

(V-34)

La surfaceS=(y- yà )=y, d'où S=I_s (V-35)

? ä

Ë = + Ë - -

1 1 1

2 2 ¹ 0

(Q A ) ?? ä

2

? ??

(V-44)

0

La fonction de Lyapunov est :

V t

1

= > 0 (V-36)

S S

2

D'où la dérivée V^& ,

&

V & = S ^t I (V-37)

s

Notons que d dt doit être nulle.

Après un calcul intermédiaire, nous obtenons :

V & = S ^t A Ö - S Ë u

t ¹ (V-38)

1 r 1 s

? ä ?

En posant ??

1 0 , il suffit de vérifier la condition (V-39) pour satisfaire la

Ë =

¹ 0

?? ä ₂

condition d'attractivité des surfaces.

ä ₁S₁ + ä ₂S₂ > S A Ö (V-39)

t

1 r

La détermination des gains se fait selon deux étapes.

· La première consiste à satisfaire la condition d'attractivité.

Ë = - 1 1 ? ä ^1 0 ??

0 ä 2

? ??

(V-40)

· La deuxième consiste à imposer pour l'erreur une dynamique de convergence exponentielle.

Lorsque le régime de glissement est établit (I_s = 0

& et I s = 0), nous avons :

~ = Ë - Ë Ö (V-41)

u s 1 ¹ 1 r

Par substitution, l'erreur sur Ö _r devient :

Ö & r = - - A ₂ + Ë ₂ Ë - 1 A Ö
( 1 ) r

¹(V-42) Pour que l'erreur converge exponentiellement, nous devons poser :

Ö r = - QÖ r (V-43)

? q 0 ?

Avec ??

Q , q ₁ , q₂ sont des constantes positives

1

= ?? 0 q 2

D'où :

Pour une raison de simplification, nous posons :

=Ë (V-45)

- 1

1

La condition d dt = 0 est vérifiée en considérant que la vitesse est suffisamment lente

devant la dynamique de l'observateur. Ce qui en résulte :

? ä 0 ?

1

Ë = A (V-46)

1 ¹ 0

??ä ??

2

? ä 0 ?

1

Ë = -

(Q A ) (V-47)

2 ² 0

?? ä ??

2

Par développement, nous obtenons :

? 1 ?

k - ù

k

? r ?

T r

? ?

? ?

( ) ?

2 k k

ù

+ ù

k r

r ? ? T r ?

2 ? 1 ? ? k ?

? Tr ?

1

1 (V-48)

? ? ? ? ? ?

1

k ù _r

Ë₁

T r

1

ä ä

1 k 1

T r

ä ù ä

2 r 2

k k

(V-49)

? - 1 ?
? q ?

? T r ?

ä ù

2 sl

?

ä ù

1sl ?

?

? ?

ä ? - 1

? q ?

2 2 ?

? T r ? ?

ä ₁

Ë₁

-

(V-50)

Ainsi, la condition d'attractivité devient comme suit :

ä 1 1 + ä 2 2 > Ö (V-51)

S S S ^t r

La dynamique de l'observateur doit être plus rapide que celle du système à observer. Cela exige un choix convenable des constantes ä ₁ , ä ₂ , q₁, q₂.