C. La duration risquée du CDS
Nous avions calculé plus haut la valeur du spread
s qui annule la valeur initiale du swap, c'est-à-
dire qui égalise la valeur des jambes fixes et
variables du swap. La jambe fixe est la jambe payeuse du spread à dates
régulières ti jusqu'à la maturité T
du CDS, sauf en cas de défaut de l'entité de
référence. Nous y revenons en simplifiant l'égalité
précédente
25 Jarrow Turnbull (95), Jarrow Lando Turnbull (97)
26 Hull & White (2004)
Dans l'hypothèse où le paiement s'effectue en
continu, la somme de Riemann ci-dessus converge en une intégrale et nous
obtenons :
Cette jambe fixe a une NPV égale au spread
multiplié par une quantité qui est considérée comme
étant la duration.
Rappelons : « la duration est une sorte de durée de
vie moyenne actualisée de tous les flux (intérêt et
capital). En effet, au numérateur on trouve les flux actualisés
et pondérés par le nombre d'années tandis qu'au
dénominateur figure la valeur actuelle du titre de créance
»27.
Le raisonnement adapté à notre cas donnera
(comme spread) au numérateur la jambe fixe et au dénominateur la
duration risquée que l'on nomme Dollar Value (DV). On en déduit
la jambe fixe :
Ainsi on a :
On déduit la valeur de cette duration risquée qui
est :
D. Exemples
1. Calcul de la jambe fixe à partir la duration
Soit un CDS dont les données sont les suivantes : taux
sans risque : 4%, Taux de recouvrement 40%, Maturité 5 ans et d'un
spread de 5 pbs.
27 Source: Vernimmen 2009)
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Cas du calcul DV et JF
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Données:
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r=
|
4.00%
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T=
|
5
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R=
|
40.00%
|
s=
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0.05
|
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Calculons en premier lambda (ë)
ë =
s/(1-R)
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0.08333333
3.73183315
0.18659166
|
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Passons au calcul de Dollar Value
DV = [1-e^(-(r+ë)t)]/[1+r]
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Calculons enfin la jambe fixe
JF = s*DV
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2. Valorisation discrète d'un CDS sur Marmara
On suppose la probabilité de défaut annuelle du
Groupe Marmara spécialisé dans l'hôtellerie et le voyage
à 8%.
On voudrait connaitre le coût supplémentaire de
notre banque pour l'octroi d'un prêt à cinq ans envers le dit
groupe.
Notre banque étant soumise à Bales II, le taux de
recouvrement qui doit être appliqué est de 40%
(Théorique).
Sur la base de la probabilité de défaut, du taux de
recouvrement et d'un taux sans risque de 4%, nous allons calculer la valeur de
ce supplément pour notre banque.
La méthode de calcul se découpera en trois phases,
inspirées du travail de Hull sur la valorisation discrète du
CDS.
a) Probabilité de défaut
inconditionnel
On déterminera en premier la probabilité de
défaut inconditionnelle (PDi) pour chaque année. Une
probabilité de défaut de 8% suppose une probabilité de
survie (PS) de 92%, l'on appliquera le même raisonnement années
après années. Cela nous donnera :
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Années
|
PDi
|
|
|
|
PS
|
|
1
|
8,00%
|
|
|
|
92,00%
|
|
2
|
0 ,92 × 0,08 =
|
7,36%
|
84,64%
|
|
3
|
0,8464 ×
|
0,08
|
=
|
6,77%
|
77,87%
|
|
4
|
0,7787 ×
|
0,08
|
=
|
6,23%
|
71,64%
|
|
5
|
0,7164 ×
|
0,08
|
=
|
5,73%
|
65,91%
|
b) Phase 1 : La valeur actuelle des paiements de
l'assuréImaginons pour l'instant que la prime
annuelle est de 1MAD. L'assuré payera donc 1MAD l'an
tant que l'évènement de défaut n'est pas
survenu. Ces espérances de paiements sont décrites dans la
troisième colonne du tableau suivant :
|
(A)
|
(B)
|
(C)= (B) × 1DH
|
(D)= 1 ÷ (1+r)^(A)
|
(E) = (C)×(D)
|
|
Années
|
PS
|
E(Paiement)
|
Facteur d'actualisation
|
Valeur actuelle des paiements
|
|
1
|
0,9200
|
0,92
|
0,9615
|
0,8846
|
|
2
|
0,8464
|
0,8464
|
0,9246
|
0,7825
|
|
3
|
0,7787
|
0,7787
|
0,8890
|
0,6923
|
|
4
|
0,7164
|
0,7164
|
0,8548
|
0,6124
|
|
5
|
0,6591
|
0,6591
|
0,8219
|
0,5417
|
|
Total
|
|
|
|
3,5135
|
c) Phase 2 : La valeur actuelle des indemnités
perçues
Supposons maintenant que le défaut intervient
systématiquement au milieu de l'année. Ceci équivaut
à dire que l'assureur paiera les 60% (1 - R) du montant dans chacun des
cas de défaut. Afin de l'évaluer, il nous faut utiliser la
probabilité de défaut inconditionnel (PDi).
|
( E )
|
(F)
|
(G) = 1 - R
|
(H)= (F)×(G)
|
(I)= 1÷(1+r)^(E)
|
(J)= (H) × (I)
|
|
Instant de défaut
|
Pdi
|
Perte espérée
|
E(Indemnité)
|
Facteur d'actualisation
|
Valeur actuelle
des indemnités
|
|
0,5
|
8,00%
|
60,00%
|
0,048
|
0,9806
|
0,04707
|
|
1,5
|
7,36%
|
60,00%
|
0,04416
|
0,9429
|
0,04164
|
|
2,5
|
6,77%
|
60,00%
|
0,04063
|
0,9066
|
0,03683
|
|
3,5
|
6,23%
|
60,00%
|
0,03738
|
0,8717
|
0,03258
|
|
4,5
|
5,73%
|
60,00%
|
0,03439
|
0,8382
|
0,02882
|
|
|
|
|
Total
|
0,18694
|
d) Phase 3 : La valeur actuelle de la prime
accrue
Le défaut pouvant intervenir au milieu de
l'année, cela veut dire que dans chaque cas (lignes du tableau)
l'assureur peut tout de même demander à l'assuré de payer
la fraction d'année échue. La question serait : qu'en serait il
si le défaut a lieu au cour de la première année ? Si
c'est le cas, nous devrions toujours la moitié de la prime ; il s'agira
de la valeur actuelle de l'espérance de la prime accrue
( E ) (F) (K)= (I)= 1 ÷ (1+r)^(E)
(L)=(K)×(I)
(F)×0,5DH
Facteur
accrue) d'actualisation
Valeur actuelle de la prime accrue
Instant Pdi E(Prime
0,5
|
8,00%
|
0,04
|
0,98058068
|
0,039223227
|
|
1,5
|
7,36%
|
0,0368
|
0,94286603
|
0,03469747
|
|
2,5
|
6,77%
|
0,033856
|
0,90660196
|
0,030693916
|
|
3,5
|
6,23%
|
0,03114752
|
0,87173265
|
0,02715231
|
|
4,5
|
5,73%
|
0,028655718
|
0,83820447
|
0,024019351
|
|
Total 0,155786274
|
Au total, la somme totale des paiements que sont : les
paiements de l'assuré et la prime accrue doit être
équivalent à la valeur actuelle des indemnisations, comme dans le
cas du swap conventionnel.
Ainsi nous aurons :
- Jambe de l'assurée : 3,6693
MAD
- Jambe de l'assureur : 0,1869 MAD
Vu que la prime est un coupon qui peut être
factorisé à travers tout le calcul, on aura : 0,1869 =
Taux risquée × 3,6693. On déduit ainsi ce taux qui
est de 5,09%.
La banque exigera donc 4 + 5,09 de rendement à
l'échéance du prêt soit un taux de 9,09% au
moins.
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