Evolution et révolution de la logique formelle des présocratiques à Georg Bool

· Bernard BOLZANO (1781-1848)

Bernard BOLZANO est un mathématicien précoce, théologien catholique et philosophe original. Il a consacré le reste de sa vie aux mathématiques, à la logique et à la philosophie. Son oeuvre fut longtemps méconnue. Pourtant, il a introduit dans la logique les variables, défini correctement la limite et, avant Cantor, s'est servi du concept d'ensemble. Ses travaux ont également porté sur les fonctions et la théorie des nombres.

Il est aussi connu pour le théorème qui porte son nom : théorème de BOLZANO, lequel s'énonce comme suit : « entre deux valeurs qui donnent des résultats de signe opposé, il y a au moins une solution réelle de l'équation » (^44(*)). Un demi-siècle plus tard, ce même théorème sera développé conjointement avec Karl Weierstrass et portera alors le nom de théorème de Bolzano-Weierstrass. Ainsi, il s'énoncera comme suit « une fonction réelle continue entre a et b, positive pour a et négative pour b, s'annule au moins une fois entre a et b ». (^45(*)) Pour ce, il définit le concept de continuité et celui de nombre réel.

· WILLIAM HAMILTON (1788-1856)

Son souci majeur semble celui de vouloir exprimer et formuler explicitement ce qui n'est pensé que sous une forme implicite. Ceci va l'amener à élaborer une doctrine de la quantification du prédicat permettant de distinguer dans une proposition telle que « tous les hommes sont des animaux » les deux propositions suivantes :

1° tous les hommes sont tous les animaux ;

2° tous les hommes sont quelques animaux.

Cette pratique mène Hamilton à concevoir la proposition comme une équation à réduire les trois types communément reconnus de conversion à la seule conversion simple et à esquisser une nouvelle notation logique.

Les disciples de Leibniz, on le sait, ont essayé de développer la logique formelle en s'y intéressant essentiellement sous l'angle des relations entre les compréhensions des termes. Au lieu d'évoluer dans la compréhension des termes, Hamilton va plutôt vers l'extension. Son souci étant qu'il faille « exprimer explicite ce qui est pensé implicite » (^46(*)).

Aussi, son nom est lié à la tentative d'enrichir la syllogistique de ce que l'on appelle « la quantification du prédicat ». Ceci consiste à faire précéder le prédicat d'un quantificateur, ce qu'on ne fait pas lorsqu'on énonce les propositions du carré logique. Ainsi, au lieu de ces quatre propositions (A, E, I, O,), nous obtenons les huit suivantes :

U : tous les S sont tous les P ;

I : quelques S sont quelques P ;

A : tous les S sont quelques P ;

Y : quelques S sont tous les P ;

E : aucun S n'est aucun P ;

W : quelques S ne sont pas quelques P ;

 : aucun S ne sont quelques P ;

O : quelques S ne sont aucun P.

* ⁴⁴ Cfr. « http:// fr.wikipedia.Org/ Bernard Bolzano » et JEAN-FRANCOIS MATTEI, op.cit p.p 1625-1626

* ⁴⁵ Idem

* ⁴⁶ Kotarbinski, op.cit, p.145