I.II.3.2.1 Modélisation paramétrique de
la distribution des excès
Cette modélisation de queue de distribution engage un
échantillon au-dessus du seuil u, lequel conduit à une
forme de loi GPD.
Dans la littérature financière et statistique,
les méthodes utilisées reposent sur le comportement graphique des
valeurs considérées supérieures à un seuil
donné. Cette méthode porte le nom de Ç
Peak-Over-Threshold È. Initialement développé par
Picklands en 1975, ce concept fut étudié par de
38
nombreux auteurs. Cependant, cette méthode reste
arbitraire. En réalité, u, doit être assez grand
pour que l'estimation de la distribution de Pareto
généralisée soit valide, mais pas trop
élevée pour garder une certaine cohérence
avec le modèle. Cet arbitrage est
analogue à la méthode BM vue
postérieurement.
3 8 Tel que Smith en 1987, Davison et Smith en 1990 ou Reiss et
Thomas en 2001, pour ne citer qu'eux.
42
I.II.3.2.2 Estimation du modèle de seuil par le
maximum de vraisemblance
Supposons que notre échantillon des
excès !=(!!,!!,...,!!U) est
indépendante et identiquement
identifiée avec comme fonction de
distribution la
GPD. La fonction de
densité g de G est alors pour
î??0 :
1
1 x 1
g(x) = (1+ ) .
Nous pouvons dès lors estimer la log-
vraisemblance:
N u
1
l( , , X)= Nu ln ( +1)
ln(1+
i= 1
|
Xi). Hosking et Wallis montre que
|
|
lorsque nous dérivons et , nous obtenons les
équations de
maximisation à partir desquelles nous calculons les
estimateurs du maximum de vraisemblance.
I.II.3.3 4 VALUE-AT-RISK EXTREME
Nous pouvons reconna»tre qu'il existe une similitude
certaine entre le concept de Value-at-Risk et la méthode d'approche des
queues de distribution des lois de valeurs extrêmes. Unir ensemble ces
deux fondements pourrait indubitablement donner un véritable outil de
contrôle du risque. Formulé précédemment, la
propriété des extrêmes peut être faite de deux facons
distinctes:
· Par la méthode des maximums d'une série de
variable aléatoire dans le temps : La méthode BM
· Par la méthode du seuil en prenant l'ensemble des
valeurs se situant
entre [#177;u; #177;8] : La méthode POT
Dans ce papier de recherche, nous utilisons la dernière
méthode énoncée qui
représente la plus
récente, mais aussi la plus efficace des méthodes connues
43
sur ce sujet. De plus, ce modèle se révèle
être pratique dans le fait qu'il considère un nombre limité
de donnée.
Afin de construire le modèle de Pareto
généralisée, nous allons donner un
seuil u
important. Soit Y1, Y2, É,
Yn, les données supérieures au seuil
défini
comme Y1=X -u. Belkema et de Haan en 1974 comme Picklands
en
1975 nous enseignent que F!y=G!,13 y est une estimation
assez
importante de u. A partir de !!y, prenons
x=u+y, nous pouvons
approximer F(x), pour x > u.
Nous obtenons:
F(x) = (1 F(u))G
F(u)
^, (u)(y)+
La fonction F(u) peut être
estimée empiriquement de facon nonparamétrique par la fonction de
distribution cumulative:
n
öF(u) Nu
=
n
Oü N représente le nombre d'occurrence
supérieure au seuil u et n
l'échantillon. En corroborant G!,! y et Fu à Fx,
nous pouvons ainsi
écrire:
ö
ö
ö
xu
ö
(
)
N u
F x
ö ( ) 1
= 1 +
1
n
Les paramètres î et f.? sont estimés
à partir de î et f.? respectivement, obtenus
à partir du maximum de vraisemblance.
44
Pour q > F(u), la VaRq peut
être calculé en résolvant x :
VaRq = uö +
|
ö nö
( (1 q) ) 1
ö Nu
|
|
Dans lequel u est le seuil défini, f.? est
l'estimation du paramètre d'échelle et î est l'estimation
du paramètre de localisation.
Le principal avantage de cette mesure non-paramétrique
réside dans le fait
0.4 qu'elle se concentre exclusivement sur
VaR(q) VaR 1/2(1-q)
les queues de distribution. Cependant, 0.35 nous pouvons en
conclure que cette 0.3 méthode ne considère pas les
0.25 rendements comme indépendants et 0.2 identiquement
distribués les uns des 0.15 autres.
0.1
0.05 0
45
| 
