Evaluation des options à barrière dans le modèle GARCH

2.3.2 Approximation bilinéaire

Changement d'espace d'états

Dans cette partie, nous allons définir une approximation qui est plus générale que la précédente. En effet, on présente une implémentation qui utilise une approximation bilinéaire et qui s'adapte facilement à tous les modèles GARCH existants.

On rappelle que le modèle GARCH pour la tarification des options présenté dans le deuxième chapitre s'écrit comme suit :

St+1 ^lnSt

= r-

1 2

\/Ht+1 + Ht+1Et+1

Ht+1 = g(Ht,Et)

Q

Et+1 j Ft ~ N (0_; 1)_;

En écrivant Et =	ln( St St1 )--r+ 2 1 Ht pHt à partir de la première équation et en le remplaçant dans la
deuxième, on trouve: Ht+1 = g(Ht,		ln(^St St1 ) - r + 1 2Ht pHt ) = g^'(St_1, St, Ht)

A l'aide de cette équation, on remarque que le calcul _Ht+1 à la date t nécessite la donnée des variables _{St_1,} St et Ht dans la fonction g!. Pour tenir compte de cela, on élargit l'espace d'états de la fonction valeur vt pour inclure l'observation du prix du sous-jacent _{St_1} à la date t - 1. On note ainsi la nouvelle fonction valeur à trois variables d'états 'Wt et on a l'égalité suivante :

wt(St_1, St, Ht, Bt) = vt(St, _{g'(St_1,} St, Ht), Bt)

Présentation de l'approximation bilinéaire

L'interpolation bilinéaire est une méthode qui se base sur des polynômes d'ordre 1. Elle consiste à attribuer à chaque point cible une combinaison linéaire des quatre points sources les plus proches de son antécédent par la transformation inverse.

On suppose que la valeur ^e'uit+1 (o, s, h, b) est connue aux points o = aj pour j = 0, ..., M, s = ak pour k = 0, .., M, h = dl pour l = 0, .., N et b E {0, 1}. On définit l'interpolation bilinéaire sur la fonction _e'it+1 comme suit :

^bwt+1(aj, ak, h, Bt+1) =

8 <>> >>:

^ewt+1(aj, ak, dl, b) dj+1_h dj+1_dj + ^e2t+1 (aj, ak, dl+1, b) h_dj dj+1_dj si h E [dl, dl+1] ^ewt+1(aj, ak, dN, b) si h ~ dN

9 >>= ;> >

(2.16)

L'interpolation sur l'axe des prix de l'actif sous-jacent donne :

(2.17)

^ewt+1(aj, ak, h, b) ak+1 - s ak+1 - ak

K _1

bwt+1(aj,s,h,b) =

~

+ - wt+1(aj, ak+1, h, b) s - ak I(s E [ak, ak+1))

ak+1 - ak

+ ^ewt+1(aj,aK,h,b) li(s ~ aK)

Suite à l'approximation présentée ci-dessus, nous allons calculer la valeur de détention ewt dans tous les points de la grille. D'après l'équation (2.14), la valeur de détention s'écrit :

[ewh t (aj, ak, dl, b) = e_r Etjklb[ ^bwt+1(ak , St+1, Ht+1, 0)] + Etjklb[ ^bwt+1(ak, St+1, Ht+1, 1)]

Afin de calculer la valeur de l'espérance de ^bwt+1(ak, St+1, Ht+1, 0) et de ^bwt+1(ak, St+1, Ht+1, 1), nous allons utiliser l'approximation bilinéaire sur deux parties. La première réalise l'interpolation sur la variable de prix puis la seconde sur la variable de volatilité. Dans ce qui suit, nous allons présenter les détails du calcul de l'interpolation de la fonction ^bwt+1(., 0). La même démarche est faite pour interpoler ^bwt+1(., 1).

En utilisant la définition de l'approximation bilinéaire présentée dans l'équation(2.17), on a:

"M_1 ~ ^ewt+1(ak, ^ai, Ht+1, ₀₎ai+1 - St+1

Etjklb[ ^bwt+1(ak, St+1, Ht+1, 0)] = Etjklbai+1-ai

i=0

)

+ ^ewt+1(ak, ai+1, Ht+1, ₀₎St+1 - ai T[(S _t+1 E [ai, ai+1))

ai+1 - ai

_I

+ ^ewt+1(ak, ^aM, Ht+1, ⁰⁾ T[(St+1 ~ aM)(2.18) On introduit dans ce qui suit deux constantes T¹jk li et T2 jkli indispensables pour le calcul de l'équation (2.18). Pour j, k = 1, ..., M, i = 0, ...M et l = 0, ...N, ces paramètres sont :

T 1 jkli = Etjkl[T[(St+1 ^E [ai,ai+1))]

T 2 jkli = Etjkl[St+1T[(St+1 ^E [ai,ai+1))]

Le calcul des ces deux constantes est explicité dans l'annexe B.

A l'aide de ces paramètres, l'équation (2.18) devient alors :

M--1_~

_X

jkli

^ewt+1(ak, ^ai, Ht+1, 0)ai+1T 1 jkli - T ²

ai+1 - ai

Etjklb[ ^bwt+1(ak, St+1, Ht+1, 0)] =

i=n

+ ^ewt+1(ak, ai+1, Ht+1, 0)	T 2 jkli - aiT 1 jkli	)(2.19)
	ai+1 - ai

+ ^ewt+1(ak, ^aM, Ht+1, 0)T 1 jklM

En faisant un changement de variable sur i et en regroupant tous les termes sous la même somme, l'équation (2.19) devient :

Etjklb[ ^bwt+1(ak, St+1, Ht+1, 0)] = _XM ^ewt+1(ak, ^ai, Ht+1, 0)Djkli (2.20)

i=n

où _Djkli est une combinaison linéaire de T¹jk li et T2 jk li qui s'écrit comme suit :

₈

<>>>

>>>:

Djkli =

e --r (

₉

>>>=

;>> >

pouri=1,...,M-1

~

ai+1T 1

ai+1--ai + T 2

jkli--T 2 kl,i~1--ai_1T 1

jkli jkl,i_1 ,

ai^--ai~1

~

T 1 jklM + T 2 jkl,M~1 --aM~1T 1 jkl ,M1 , pour i = M

aM ^--aM~1

e--r (a1T 1 ~

jkl0--T ² jkl0 , pour i = 0

a1^--a0

La deuxième partie de l'approximation consiste à interpoler _ewt+1(ak, ai, h, 0) sur la variable h. Comme la volatilité de l'option suit le processus GARCH, alors on a Ht+1 = g^'(o, s, h). Cette variable est alors déterministe et calculable. Ainsi, on définit l'indice _Jjkl tel que Jjkl = n si g^'(o, s, h) E [d_u, du+1). Ainsi, suite à la définition de l'interpolation bilinéaire présentée dans l'équation (2.16), on a:

^ewt+1(ak, ^ai, Ht+1, 0) =

8 <>> > >>>:

^ewt+1(ak, ai, dJjkl, 0)dJjkl+1--Ht+1 dJjkl+1--dJ jkl + ^ewt+1(ak, ai, dJjkl+1, 0) Ht+1 --dJ.kl dJjkl+1--dJjkl siJjkl = 0, ..., N - 1 ^ewt+1(ak,ai,dN,0) si Jjkl = N

9 >>>= ;>> >

L'équation (2.20) devient donc :

Etjklb[ ^bwt+1(ak, St+1, Ht+1, 0)] = _XM ]Djkli [ ^e'i2t+1(ak, ai, dJjkl, 0)Ujkl + ^e'i2t+1(ak, ai, dJjkl+¹, 0)Wjkl

i=0

(2.21)

avec

{Ujkl =

dJjkl+1_Ht+1 si ïjkl = 0 , ..., N - 1

dJ

jkl+¹_^dJjkl

1 si ïjkl=N

{Wjkl =

Ht+1_dJjkl si ïjkl = 0, ..., N - 1 ^dJjkl+^1_^dJjkl 0 si ïjkl=N

Enfin, la valeur de détention de l'option à barrière à la date t est :

[ _XM (

i=0

ewh _t (aj, ak, dl, b) = e_r Djkli ^ewt+1(ak, ai, dJjkl, 0)Ujkl + e _t+1(ak, ai, dJjkl+¹, 0)Wjkl

XM + i=0

(Djkli ^ewt+1(ak, ai, dJjkl, 1)Ujkl + e t+1(ak, ai, dJjkl+^1, 1)Wjkl