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Evaluation des options à barrière dans le modèle GARCH

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par Mohamed Salah BEN KHELIL
Ecole Polytechnique de Tunisie - Ingénieur Polytechnicien 2008
  

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2.3 Les fonctions d'approximations

Duan, Dudley, Gauthier et Simonato (2003) proposent une approximation par une chaine de Markov pour évaluer les options à barrière. Cette approximation est équivalente à une interpolation par une fonction constante par morceaux pour chaque variable d'état s et h. Dans cette section, nous allons présenter deux types d'approximations polynomiales qui approchent la fonction valeur mieux que l'approximation par une fonction constante par morceaux. La première approximation est faite par une fonction quadratique sur s et linéaire sur h. Avec cette approche, nous allons présenter des résultats du modèle NGARCH(1,1) présenté dans l'équation (2.2). La deuxième approximation utilise une fonction linéaire pour s et h. Certes, cette approximation est moins bonne que la première mais plus générale car elle s'adapte à n'importe quel modèle GARCH(1,1).

2.3.1 Approximation quadratique-linéaire

L'interpolation polynomiale qu'on présente ici est une approximation quadratique sur s et linéaire sur h. Le recours à une telle approximation vient du fait que la focntion valeur v de l'option à barrière est convexe par rapport à la variable s. Donc, une fonction quadratique approche nettement mieux la valeur de l'option qu'une autre approximation.

On définit deux ensembles I et J tel que I = {1, 3, 5, ..., M - 2} avec M impair et J = {1,2,3,...,N-1}. OnposeI=IU{-1,M}et J=JU{0,N}aveclaconventiona_1 =a0 et aM+2 = aM+1. Ainsi, les rectangles [ai, ai+2] x [bi, bj+1], pour i 2 I et j 2 J , couvrent tous l'espace prix-volatilité [0, oc) x [b0, oc).

On suppose que la valeur evt(s, h, b) est connue aux points s = ai pour i = 0, .., M, h = d j pour
j = 0, .., N et b 2 {0, 1}. Pour s 2 [ai, ai+2), i 2 I, On définit l'interpolation quadratique sur

la fonction iit comme suit :

(

-- ai)(ai+2 -- ai)

nijtb(s) = "iit(s, d , b)=7iit(ai, dj, b)(ai+1-- s)(ai+2 -- s) (ai+1

~

-- s)(ai+2 -- s

+ Ut(ai+1, ( (ai b)

-- ai+1)(ai+2 -- a)

+1) (2.12) ~

+ Ut(ai+2, d, b) (( (ai -- s)(ai+1 -- s)

-- ai+2)(ai+1 -- ai+2)

Par suite, on définit l'interpolation linéaire sur la fonction iit pour h E [dj, dj+1), j E J comme suit :

d .+1 -- h h --djut(a.d.+1 b)

î)t(ai, h, b)=71 _7 îlt(ai, d , b) + , (2.13)

3 d
· -- d
· z

aj+1 -- aj 3+1 3

En regroupant les équations (2.12) et (2.13), on définit l'approximation quadratique-linéaire pour (s, h) E [ai, ai+2) x [dj, dj+1), i E I, j E J par :

'1-t(s, h, b) = dj+1 -- h

nijtb(s)+h -- dj n

b(s)

dj+1 -- dj dj+1 -- d
· "

3

On rappelle que l'équation de la valeur de détention evht définie dans (2.11) est

i7th (s, h, b) = e--r (Etshb [-vt+1 (St+1 , Ht+2 , 0)] + EtshBt [-vt+1 (St+1 , Ht+2 , 1)] ) (2.14)

1

=

E
x=0

e--r (Etshb[-vt+1 (St+1 , Ht+2, x)])

En appliquant la formule (2.10) sur -vt+1(St+1, Ht+2, 0) et -vt+1(St+1, Ht+2,1)], la fonction /7h t à la date t et aux points (ak, dl) E gMN devient :

1

evht(ak, dl, b) =

e--rEEEtakdlb(dj+1-- Ht+2

x=0

iEI jEJ

dj+1 -- dj ni,M+1,x(St+1) (2.15)

L

Ht+2--dj

+ d ni, j+1,t+1,x(St+1) 1[(Rij)

avec

Rij = {St+1 2 [ai,ai+2) et Ht+2 2 [dj,dj+1)}

L'espérance conditionnelle Etakdlb dans l'équation (2.15) est indépendante de t tant que la grille de points MN est fixée dans le temps. En utilisant la formule de Pi;j;t;x donnée dans l'équation (2.12) dans l'équation précédente, le calcul de l'espérance revient alors à calculer six paramètres qui sont des éléments des matrices de transition. Ces matrices sont :

Akjij = Eakbl [T[(Rij)] ; Bkjij = Eakbl[St+1T[(Rij)],

Cklij = Eakbl [Ht+2T[(Rij)] ; Dkjij = Eakbl[St+1Ht+2T[(Rij)],

Ekjij = Eakbl[S2 t+1T[(Rij)] ; Fkjij = Eakbl[S2 t+1Ht+2T[(Rij)].

Comme la fonction valeur vt+1 dépend de deux variables d'états complétement aléatoires (St+1, Ht+2), toutes ces matrices ont été calculée pour le modèle NGARCH(1,1) qui est le plus utilisé dans la pratique. Le calcul de ces matrices est détaillé dans l'annexe A.

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