2.3 Les fonctions d'approximations
Duan, Dudley, Gauthier et Simonato (2003) proposent une
approximation par une chaine de Markov pour évaluer les options à
barrière. Cette approximation est équivalente à une
interpolation par une fonction constante par morceaux pour chaque variable
d'état s et h. Dans cette section, nous allons présenter deux
types d'approximations polynomiales qui approchent la fonction valeur mieux que
l'approximation par une fonction constante par morceaux. La première
approximation est faite par une fonction quadratique sur s et linéaire
sur h. Avec cette approche, nous allons présenter des résultats
du modèle NGARCH(1,1) présenté dans l'équation
(2.2). La deuxième approximation utilise une fonction linéaire
pour s et h. Certes, cette approximation est moins bonne que la première
mais plus générale car elle s'adapte à n'importe quel
modèle GARCH(1,1).
2.3.1 Approximation quadratique-linéaire
L'interpolation polynomiale qu'on présente ici est une
approximation quadratique sur s et linéaire sur h. Le recours à
une telle approximation vient du fait que la focntion valeur v de l'option
à barrière est convexe par rapport à la variable s. Donc,
une fonction quadratique approche nettement mieux la valeur de l'option qu'une
autre approximation.
On définit deux ensembles I et J tel que I = {1, 3, 5,
..., M - 2} avec M impair et J = {1,2,3,...,N-1}. OnposeI=IU{-1,M}et
J=JU{0,N}aveclaconventiona_1 =a0 et aM+2 = aM+1. Ainsi, les rectangles [ai,
ai+2] x [bi, bj+1], pour i 2 I et j 2 J , couvrent tous l'espace
prix-volatilité [0, oc) x [b0, oc).
On suppose que la valeur evt(s, h, b) est connue aux points s =
ai pour i = 0, .., M, h = d j pour
j = 0, .., N et b 2 {0, 1}.
Pour s 2 [ai, ai+2), i 2 I, On définit l'interpolation quadratique
sur
la fonction iit comme suit :
(
-- ai)(ai+2 -- ai)
nijtb(s) = "iit(s, d , b)=7iit(ai, dj,
b)(ai+1-- s)(ai+2 -- s) (ai+1
~
-- s)(ai+2 -- s
+ Ut(ai+1, ( (ai b)
-- ai+1)(ai+2 -- a)
+1) (2.12) ~
+ Ut(ai+2, d, b) (( (ai -- s)(ai+1 -- s)
-- ai+2)(ai+1 -- ai+2)
Par suite, on définit l'interpolation linéaire sur
la fonction iit pour h E [dj, dj+1), j E J comme suit :
d .+1 -- h h --djut(a.d.+1 b)
î)t(ai, h, b)=71 _7
îlt(ai, d , b) + , (2.13)
3 d
· -- d
· z
aj+1 -- aj 3+1 3
En regroupant les équations (2.12) et (2.13), on
définit l'approximation quadratique-linéaire pour (s, h) E [ai,
ai+2) x [dj, dj+1), i E I, j E J par :
'1-t(s, h, b) = dj+1 -- h
nijtb(s)+h -- dj n
b(s)
dj+1 -- dj dj+1 -- d
· "
3
On rappelle que l'équation de la valeur de
détention evht définie dans (2.11) est
i7th (s, h, b) = e--r (Etshb [-vt+1 (St+1
, Ht+2 , 0)] + EtshBt [-vt+1 (St+1 , Ht+2 ,
1)] ) (2.14)
1
=
E
x=0
e--r (Etshb[-vt+1 (St+1 , Ht+2, x)])
En appliquant la formule (2.10) sur -vt+1(St+1, Ht+2,
0) et -vt+1(St+1, Ht+2,1)], la fonction /7h t à la date t et
aux points (ak, dl) E gMN devient :
1
evht(ak, dl, b) =
e--rEEEtakdlb(dj+1-- Ht+2
x=0
iEI jEJ
dj+1 -- dj ni,M+1,x(St+1) (2.15)
L
Ht+2--dj
+ d ni, j+1,t+1,x(St+1) 1[(Rij)
avec
Rij = {St+1 2 [ai,ai+2) et Ht+2
2 [dj,dj+1)}
L'espérance conditionnelle Etakdlb dans
l'équation (2.15) est indépendante de t tant que la grille de
points MN est fixée dans le temps. En utilisant la formule de
Pi;j;t;x donnée dans l'équation (2.12) dans
l'équation précédente, le calcul de l'espérance
revient alors à calculer six paramètres qui sont des
éléments des matrices de transition. Ces matrices sont :
Akjij = Eakbl [T[(Rij)] ; Bkjij = Eakbl[St+1T[(Rij)],
Cklij = Eakbl [Ht+2T[(Rij)] ; Dkjij = Eakbl[St+1Ht+2T[(Rij)],
Ekjij = Eakbl[S2 t+1T[(Rij)] ; Fkjij =
Eakbl[S2 t+1Ht+2T[(Rij)].
Comme la fonction valeur vt+1 dépend de deux
variables d'états complétement aléatoires (St+1, Ht+2),
toutes ces matrices ont été calculée pour le modèle
NGARCH(1,1) qui est le plus utilisé dans la pratique. Le calcul de ces
matrices est détaillé dans l'annexe A.
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