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Evaluation des options à barrière dans le modèle GARCH

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par Mohamed Salah BEN KHELIL
Ecole Polytechnique de Tunisie - Ingénieur Polytechnicien 2008
  

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2.2.3 Application aux différents types d'options à barrière

Options Knock-out

Les options à barrière de type Knock-out sont désactivées et perdent leurs valeurs si, au cours de la durée de vie de l'option, le prix du l'actif sous-jacent franchit au moins une fois la barrière. Ainsi, si Bt = 1, on est sûr que le prix a franchi la barrière et donc la valeur de l'option est nulle.

='vt(s,h,1)=0 VtE[0,T], Vs, Vh,

x*(t,s,1)=0 VtE [0,T], Vs.

Le système de la programmation dynamique présenté en (2.11) devient alors:

evT(ST,HT+1,0) = x(T,s)

eve t (s,h,0) = x(t,s)

evh t (s, h, 0) = e_rEtsh,0[bvt+1(St+1, Ht+2, 0)] evt(s, h, 0) = max{eve t (s, h, 0), evh t (s, h, 0)}

Options Knock-in

Contrairement aux options Knock-out, les options à barrière de type Knock-in prennent une valeur si le cours du sous-jacent franchit la barrière au moins une fois pendant la durée de vie de l'option. Il est clair qu'à la maturité T, on a:

evT(s,h,0) = x*(T,s,0)=0

evT(s,h,1) = x*(T,s,1)=x(T,s)

la valeur d'exercice à la date t E [0, T] s'écrit :

eve t (s,h,0) = 0

eve t (s, h, 1) = x(t, s)

La valeur de détention à la date t E [0, T] devient:

evh t (s, h, 0) = e_r(Etsh,0[bvt+1(St+1, Ht+2, 0)] + Etsh,0[bvt+1(St+1, Ht+2, 1)])
evh t (s, h, 1) = e _r(Etsh;1[bvt+1(St+1 , Ht+2,0)] + Etsh,1[bvt+1(St+1, Ht+2, 1)])

La valeur de l'option est donc:

evt(s,h,0) = evh t (s,h,0)

evt(s, h, 1) = max{eve t (s, h, 1), ev' t (s, h, 1)}

A la date t = 0, la valeur de l'option Knock-in dépend de la position de S0 par rapport à la
barrière. Ainsi, si S0 touche la frontière, B0 = 1 et la valeur de l'option est ev0(S0, H1, 1). Par
contre, si S0 ne dépasse pas la valeur limite, B0 = 0 et la valeur de l'option est ev0(S0, H1, 0).

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