2.2.3 Application aux différents types d'options
à barrière
Options Knock-out
Les options à barrière de type Knock-out sont
désactivées et perdent leurs valeurs si, au cours de la
durée de vie de l'option, le prix du l'actif sous-jacent franchit au
moins une fois la barrière. Ainsi, si Bt = 1, on est sûr que le
prix a franchi la barrière et donc la valeur de l'option est nulle.
='vt(s,h,1)=0 VtE[0,T], Vs, Vh,
x*(t,s,1)=0 VtE [0,T], Vs.
Le système de la programmation dynamique
présenté en (2.11) devient alors:
evT(ST,HT+1,0) = x(T,s)
eve t (s,h,0) = x(t,s)
evh t (s, h, 0) =
e_rEtsh,0[bvt+1(St+1, Ht+2, 0)] evt(s, h, 0) = max{eve
t (s, h, 0), evh t (s, h, 0)}
Options Knock-in
Contrairement aux options Knock-out, les options à
barrière de type Knock-in prennent une valeur si le cours du sous-jacent
franchit la barrière au moins une fois pendant la durée de vie de
l'option. Il est clair qu'à la maturité T, on a:
evT(s,h,0) = x*(T,s,0)=0
evT(s,h,1) = x*(T,s,1)=x(T,s)
la valeur d'exercice à la date t E [0, T] s'écrit
:
eve t (s,h,0) = 0
eve t (s, h, 1) = x(t, s)
La valeur de détention à la date t E [0, T]
devient:
evh t (s, h, 0) =
e_r(Etsh,0[bvt+1(St+1, Ht+2, 0)] +
Etsh,0[bvt+1(St+1, Ht+2, 1)])
evh t (s, h, 1) = e
_r(Etsh;1[bvt+1(St+1 , Ht+2,0)] + Etsh,1[bvt+1(St+1,
Ht+2, 1)])
La valeur de l'option est donc:
evt(s,h,0) = evh t (s,h,0)
evt(s, h, 1) = max{eve t (s, h, 1), ev' t
(s, h, 1)}
A la date t = 0, la valeur de l'option Knock-in dépend
de la position de S0 par rapport à la
barrière. Ainsi, si S0
touche la frontière, B0 = 1 et la valeur de l'option est ev0(S0, H1, 1).
Par
contre, si S0 ne dépasse pas la valeur limite, B0 = 0 et la
valeur de l'option est ev0(S0, H1, 0).
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